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第1讲　万有引力定律及其应用
【目标任务】
1.理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会运用其解决相关问题。2.掌握计算天体质量和密度的方法。3.会比较卫星运行的各物理量之间的关系。4.理解万有引力与重力的关系，并会运用其解决相关问题。
【知识特训】
知识必记
一、开普勒三定律
定律 内容 图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是　　　　，太阳处在　　　　的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的　　　　相等
开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的　　　　跟它的公转周期的　　　　的比值都相等 =k，k是一个与行星无关的常量
二、万有引力定律
1.内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成　　　　、与它们之间距离r的二次方成　　　　。
2.表达式
F=G，G是比例系数，叫作引力常量，G=6.67×10-11 N·m2/kg2。
3.适用条件
(1)公式适用于　　　　间的相互作用。当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是　　　　间的距离。
三、天体运动问题分析
1.将天体或卫星的运动看成　　　　运动，其所需向心力由　　　　提供。
2.基本关系式
G=ma=
基础必验
1.思考判断
(1)行星在椭圆轨道上运行的速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。 (　　)
(2)只有天体之间才存在万有引力。 (　　)
(3)地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心。 (　　)
(4)不同轨道上的行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。 (　　)
(5)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F=G计算物体间的万有引力。 (　　)
2.[开普勒行星运动定律](2024·江苏徐州模拟)中国古代天文学专著《甘石星经》最早记载了部分恒星位置和金、木、水、火、土五颗行星“出没”的规律。现在我们知道 (　　)
A.恒星都是静止不动的
B.行星绕太阳做圆周运动
C.行星绕太阳运行的速率不变
D.各行星绕太阳运行的周期不同
3.[万有引力定律](2024·广西卷)潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在 (　　)
A.a处最大 B.b处最大
C.c处最大 D.a、c处相等，b处最小
【能力特训】
特训点一　开普勒行星运动定律及其应用(自主冲关类)
1.[对开普勒行星运动定律的理解]火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知 (　　)
A.太阳位于木星运行椭圆轨道的一个焦点上
B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C.由于火星与木星的轨道不同，火星与木星公转周期的二次方之比与其所对应轨道半长轴的三次方之比不相等
D.相同时间内，火星与太阳的连线扫过的面积等于木星与太阳的连线扫过的面积
2.[对开普勒第二定律的理解及应用](2024·湖北武汉模拟)(多选)节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，早在《淮南子》中就有记载。现行二十四节气划分是以地球和太阳的连线每扫过15°定为一个节气，北半球二十四个节气时地球在公转轨道上位置的示意图如图所示，其中冬至时地球在近日点附近。根据下图，下列说法正确的是 (　　)
A.芒种时地球公转的速度比小满时的小
B.芒种到小暑的时间间隔比大雪到小寒的长
C.立春时地球公转的加速度与立秋时的大小相等
D.春分、夏至、秋分、冬至四个节气刚好将一年的时间分为四等份
3.[对开普勒第三定律的理解及应用](2024·山东济南三模)2024年3月20日，鹊桥二号中继星由长征八号遥三运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射升空。如图所示，鹊桥二号中继星临近月球时，先在周期为24小时的环月大椭圆冻结轨道Ⅰ上运行一段时间，而后在近月点P变轨，进入周期为12小时的环月大椭圆冻结轨道Ⅱ。已知近月点P距离月球表面的高度为h1，远月点Q距离月球表面的高度为h2，月球半径为R，≈0.6，忽略地球引力的影响，则轨道Ⅱ的远月点Q'距离月球表面的高度为 (　　)
A. B.
C. D.
1.行星绕太阳的运动轨道通常按圆轨道处理。
2.开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。
3.在开普勒第三定律=k中，k值只与中心天体有关，不同的中心天体的k值不同。但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。
特训点二　万有引力与重力的关系(综合提升类)
1.赤道和南、北两极上的重力
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
2.黄金代换
由于物体随地球自转所需的向心力较小，所以常认为重力和万有引力近似相等，即G=mg，整理得GM=gR2。该公式常用于g已知而M未知时的物理量代换，称为黄金代换。
3.星体表面的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度为g(不考虑地球自转)：
mg=G，得g=。
(2)在地球上空距离地心r=R+h处的重力加速度为g'，由mg'=，得g'=，所以=。
4.万有引力的“两个推论”
①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为零，即 F引=0。
②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M')对它的万有引力，即F=G。
典例1 [万有引力与重力的大小关系](2024·广东广州高三期中)2020年9月，我国明确提出2030年“碳达峰”与2060年“碳中和”目标。人类社会的快速进步使得碳排放量不断增加，这导致温室效应加剧，地球南、北两极的生态环境遭到一定的破坏。一头质量为m的北极熊在失去家园后，被运送到了位于赤道上的北极熊馆加以照料，它在北极和北极熊馆内的重力之差为ΔF。已知地球自转周期为T。根据以上信息，可求出地球的半径为 (　　)
A. B.
C. D.
①审题关键点：北极熊在北极和北极熊馆内的重力之差为ΔF。
②解题切入点：北极熊在赤道上的北极熊馆时，万有引力与重力的差值提供向心力，在北极时，万有引力等于重力大小。
典例2 [求天体表面某深度处的重力加速度]理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示。一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的重力大小用F表示，则如图所示的四个F随x的变化关系图正确的是 (　　)
①审题关键点：a.质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零；b.假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心；c.一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的重力大小用F表示，则如图所示的四个F随x的变化关系图。
②解题切入点：当x≤R时，可将地球“分割”为两部分——厚度为(R-x)的球壳和半径为x的球体，然后利用题给信息即可确定重力的大小F。
对点特训
1.[对重力和万有引力的关系的考查]某行星为质量分布均匀的球体，半径为R、质量为M。科研人员研究同一物体在该行星上所受的重力时，发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1.1倍。已知引力常量为G，则该行星自转的角速度为 (　　)
A. B.
C. D.
2.[对地球表面下重力加速度的计算的考查](2024·湖北模拟)中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自主模式下刷新了中国下潜深度纪录，最大下潜深度超过了10 000米，首次实现了无缆无人潜水器万米坐底并连续拍摄高清视频影像。若把地球看成质量分布均匀的球体，且球壳对球内任一质点的万有引力为零，忽略地球的自转，则下列关于“海斗一号”下潜所在处的重力加速度大小g和下潜深度h的关系图像可能正确的是 (　　)
A.
B.
C.
D.
特训点三　天体质量和密度的计算(逐点突破类)
1.[利用“重力加速度法”计算天体质量和密度](2024·广东高三检测)航天员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R。求：(不考虑月球自转的影响)
(1)月球表面的重力加速度大小g月；
(2)月球的质量M；
(3)月球的密度ρ。
利用天体表面重力加速度求解天体质量和密度
已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1)由G=mg，得天体质量M=。
(2)天体密度ρ===。
(3)GM=gR2称为黄金代换公式。
2.[利用“环绕法”计算天体质量和密度](2024·山东临沂模拟)(多选)某同学想根据平时收集的部分火星资料计算出火星的密度，下列计算火星密度的公式正确的是(引力常量G已知，忽略火星
自转的影响) (　　)
火星的小档案
直径d=6 794 km
质量M=6.421 9×1023 kg
火星表面重力加速度g0=3.7 m/s2
近火卫星的周期T=3.4 h
A.ρ= B.ρ=
C.ρ= D.ρ=
利用运行天体求解天体质量和密度
已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
(1)由G=mr，得M=。
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ===。
(3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ=，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
参考答案
知识特训
知识必记
一、
椭圆　椭圆　面积　三次方　二次方
二、
1.正比　反比
3.(1)质点
(2)两球心
三、
1.匀速圆周　万有引力
2.　　2π
基础必验
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
2.D　解析：恒星都是运动的，A错误；根据开普勒第一定律可知行星绕太阳做椭圆运动，B错误；根据开普勒第二定律可知行星绕太阳运行的速率与行星和太阳的距离有关，C错误；根据开普勒第三定律可知，各行星绕太阳运行的周期不同，D正确。
3.A　解析：根据万有引力公式F=G 可知图中a处单位质量的海水受到月球的引力最大，A正确。
能力特训
特训点一
1.A　解析：根据开普勒行星运动定律可知，所有行星分别沿不同大小的椭圆轨道绕太阳运动，太阳处于椭圆的一个焦点上，A正确；火星和木星在不同的椭圆轨道上绕太阳运动，二者的速度大小不相等，B错误；所有绕太阳运动的行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，C错误；对每一个行星而言，太阳与行星的连线在相同时间内扫过的面积才相等，D错误。
2.AB　解析：从题图中我们可以看到，冬至时地球位于近日点附近，公转速度最快，随着地球向远日点移动，公转速度逐渐减慢，因此，芒种时的公转速度应该比小满时的小，A正确；地球公转轨道是椭圆形的，但轨道上的速度并不是均匀分布的，由于公转速度的变化，芒种到小暑的时间间隔与大雪到小寒的时间间隔并不相等，从题图中可以看出，芒种到小暑的时间间隔要大于大雪到小寒的时间间隔，B正确；地球公转的加速度与地球到太阳的距离有关，立春时和立秋时，地球到太阳的距离并不相等(立春时地球离太阳较近，立秋时地球离太阳较远)，因此公转加速度也不相等，C错误；春分、夏至、秋分、冬至四个节气虽然在天文上分别代表了春、夏、秋、冬四季的开始，但它们并不刚好将一年的时间分为四等份，实际上，由于地球公转轨道是椭圆形的，各季节的长度并不相等，D错误。
3.A　解析：鹊桥二号中继星在两个轨道上运动时，根据开普勒第三定律有=，解得h=，A正确。
特训点二
典例1　A　解析：设地球的质量为m地，北极熊在赤道上的北极熊馆时，万有引力的一部分提供向心力，即-mg=m()2R，北极熊在北极时，有=mg'，根据题意，有ΔF=m()2R，得R=，A正确，B、C、D错误。
典例2　A　解析：设地球的密度为ρ，当x≥R时，地球可看成位于球心处的质点，小物体所受的重力F==G，F∝；当x对点特训
1.B　解析：设“赤道”处的重力加速度大小为g，物体在“两极”处时所受万有引力大小等于重力大小，即G=1.1mg，在“赤道”上某处时万有引力大小等于重力和随行星自转所需的向心力的合力大小，即G=mg+mω2R，由以上两式解得该行星自转的角速度ω=，B正确。
2.D　解析：设地球的质量为M，地球的半径为R，“海斗一号”下潜h深度后，设以地心为球心、以(R-h)为半径的球体的质量为M'，则根据密度相等有=，由于球壳对球内任一质点的万有引力为零，根据万有引力定律有G=mg，联立以上两式并整理可得g=(R-h)，由该表达式可知，D正确，A、B、C错误。
特训点三
1.(1)　(2)　(3)
解析：(1)月球表面附近的物体做自由落体运动，有h=g月t2
解得月球表面的重力加速度大小g月=。
(2)不考虑月球自转的影响，有G=mg月
解得月球的质量M=。
(3)月球的密度ρ===。
2.ACD　解析：设近火卫星的质量为m，对近火卫星，火星的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，则有=·，可得M=，火星的密度ρ==，将M=代入上式可得ρ=，C、D正确；又火星对其表面物体的万有引力近似等于火星表面物体的重力，则有m0g0=G，解得M=，因此火星的密度ρ===，A正确、B错误。

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