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第2讲　抛体运动
【目标任务】
1.掌握平抛运动的规律，学会运用运动的合成与分解处理类平抛、斜抛运动问题。2.学会处理斜面或圆弧面约束下的平抛运动问题。3.会处理平抛运动中的临界、极值问题。
【知识特训】
知识必记
一、平抛运动
1.定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在　　　　　作用下的运动。
2.性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，其运动轨迹是　　　　　。
3.平抛运动的条件：(1)v0≠0，沿　　　　；(2)只受重力作用。
4.研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的　　　　运动和竖直方向的　　　　　运动。
5.基本规律(如图所示)
(1)速度关系
(2)位移关系
(3)轨迹方程：y=x2。
二、一般的抛体运动
1.定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在　　　　　作用下的运动。
2.性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是　　　　　。
3.研究方法：运动的合成与分解。
(1)水平方向：　　　　　直线运动。
(2)竖直方向：　　　　　直线运动。
4.基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示)
(1)水平方向：v0x=　　　　　，F合x=0。
(2)竖直方向：v0y=　　　　　，F合y=mg。
基础必验
1.思考判断
(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。 (　　)
(2)做平抛运动的物体的速度方向时刻在变化，加速度方向也时刻在变化。 (　　)
(3)做平抛运动的物体，在任意相等的时间内速度的变化量是相同的。 (　　)
(4)做平抛运动的物体，初速度越大，在空中飞行的时间越长。 (　　)
(5)无论是平抛运动还是斜抛运动，都是匀变速曲线运动。 (　　)
2.[平抛运动规律及其应用](2024·湖北卷)如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到 (　　)
A.荷叶a B.荷叶b
C.荷叶c D.荷叶d
【能力特训】
特训点一　平抛运动规律及其应用(自主冲关类)
1.[对平抛运动的理解]如图，这是探究平抛运动规律的一种方法。用两束光分别沿着与x轴和y轴平行的方向照射物体，在两个坐标轴上留下了物体的两个“影子”，O点作为计时起点，其运动规律为x=3t、y=t+5t2(式中的物理量单位均为国际单位制基本单位)，经1 s物体到达轨迹A点(g=10 m/s2)。下列说法正确的是 (　　)
A.O点为平抛运动的起点
B.物体运动的轨迹方程为y=x2+x
C.物体在A点的速度大小为4 m/s
D.O、A两点间的距离为3 m
2.[平抛运动规律的应用](2024·浙江1月选考)如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为 (　　)
A.
B.
C.
D.(+1)D
3.[平抛运动推论的应用]如图所示，从某高度处水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，其速度方向与水平方向的夹角为θ。不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是 (　　)
A.小球水平抛出时的初速度大小为
B.小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为
C.若小球的初速度增大，则小球做平抛运动的时间变长
D.若小球的初速度增大，则θ增大
1.平抛运动的四个物理量
物理量 决定因素
飞行时间(t) t=，即飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关
水平射程(x) x=v0t=v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定
落地速度(v) v==，偏角θ满足tan θ==，即落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关
速度改变量 任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv=gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示
2.平抛运动的两个重要推论
(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过对应时间段水平位移的中点，如图所示，即xB=。
推导：→xB=
(2)做平抛运动的物体在任意时刻的任意位置处，有tan θ=2tan α。
推导：→tan θ=2tan α
特训点二　多体平抛与斜抛问题(逐点突破类)
1.[同一高度平抛后落在同一水平面上的多体平抛问题]发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网，其原因是 (　　)
A.速度较小的球下降相同距离所用的时间较多
B.速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大
C.速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少
D.速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大
多个物体从同一高度抛出的特点
(1)若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动。
(2)若两物体从同一点先后抛出，两物体的竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动。
(3)多个物体从同一高度抛出，又落在同一水平面上：
①由h=gt2可知，各物体下落的时间一定相同。
②由x=v0t可知，各物体的水平位移大小之比等于平抛初速度大小之比。
2.[不同高度平抛后落在同一水平面上的多体平抛问题](2024·陕西二模)在某飞镖锦标赛中，若甲、乙飞镖的抛出点是同一竖直线上的A、B两点，将飞镖沿水平方向抛出后，飞镖均扎在靶心O点处，甲、乙飞镖的轨迹分别如图中曲线1、2所示，飞镖扎在靶上瞬间的速度与水平方向的夹角分别为α、β。已知AB、BO的竖直高度相同，飞镖可视为质点，空气阻力忽略不计。下列说法正确的是 (　　)
A.甲、乙飞镖在空中的运动时间之比为2∶1
B.甲、乙飞镖抛出时的初速度大小之比为1∶
C.α=2β
D.sin α=2sin β
多个物体从不同高度平抛的特点
(1)若两物体同时从不同高度抛出，则两物体的高度差始终与抛出点的高度差相同，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定。
(2)物体从不同高度同时平抛，物体落在同一水平面上的时间不相同。
(3)若物体做平抛运动的初速度相同，则由x=v0t可知，物体的水平位移大小之比等于下落时间之比。
3.[两抛体空中相遇问题](2023·湖南卷)如图(a)，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图(b)所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1 和v2，其中v1 方向水平，v2 方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是 (　　)
图(a)　　图(b)
A.谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
B.谷粒2在最高点的速度小于v1
C.两谷粒从O到P的运动时间相等
D.两谷粒从O到P的平均速度相等
两个物体平抛相遇问题的三要点
(1)两条平抛运动轨迹的交点是两物体的必经之处，两物体要在此处相遇，必须同时到达此处。即轨迹相交是物体相遇的必要条件。
(2)若两物体同时从同一高度水平抛出，则两物体始终处在同一高度，且一定能在轨迹相交处相遇。
(3)若两物体同时从不同高度抛出，则两物体的高度差始终与抛出点的高度差相同，不可能在轨迹相交处相遇。
特训点三　落点有约束条件的平抛运动(逐点突破类)
1.[落点在水平台阶上的平抛运动](多选)如图所示，虚线为A、B两小球从等宽不等高的台阶抛出的运动轨迹。A球从台阶1的右端水平抛出后，运动至台阶2右端正上方的同时，B球从台阶2的右端水平抛出，经过一段时间后两球在台阶3右端点相遇，不计空气阻力，则 (　　)
A.两球抛出时的速度大小相等
B.两球相遇时，A的速度大小为B的两倍
C.台阶1、2的高度差是台阶2、3高度差的4倍
D.两球相遇时，A的速度方向与水平方向夹角的正切值为B的两倍
当水平位移受限制时，其临界轨迹为自抛出点到水平位移端点的一条抛物线，确定轨迹后再结合平抛运动的规律即可求解。本题小球平抛的水平间距相等，后一阶段的运动时间相等，根据h=gt2和x=vt，求出各物理量之比。
2.[落点在斜面上的平抛运动](2024·湖北模拟)(多选)如图，两小球M、N从同一高度同时分别以v1 和v2 的初速度水平抛出，经过时间t都落在了倾角θ=45°的斜面上的A点，其中小球N垂直打到斜面上，则 (　　)
A.初速度v1、v2大小之比为1∶2
B.初速度v1、v2 大小之比为2∶7
C.若其他条件不变，v1、v2 都变为原来的2倍，则两球在空中相遇，从抛出到相遇经过的时间为
D.若其他条件不变，v1、v2 都变为原来的一半，则两球在空中相遇，从抛出到相遇经过的时间为2t
落点在斜面上的平抛运动处理思路
图示 方法 基本规律 运动时间
分解速度，构建速度的矢量三角形 水平速度vx=v0 竖直速度vy=gt 合速度v= 由tan θ==得t=
分解位移，构建位移的矢量三角形 水平位移x=v0t 竖直位移y=gt2 合位移x合= 由tan θ==得t=
在运动起点同时分解v0、g 由0=v1-a1t，0-=-2a1d得t=，d=
分解平行于斜面的速度v 由vy=gt得t=
3.[沿切线进入圆弧轨道的圆周运动]如图所示，A点距水平面BC的高度h=1.8 m，BC与光滑圆弧轨道CDE相接于C点，D为圆弧轨道的最低点，圆弧轨道DE对应的圆心角θ=37°，圆弧轨道和倾斜传送带EF相切于E点，EF的长度l=10 m，一质量m=1 kg的小物块(可视为质点)从A点以v0=8 m/s的速度水平抛出，经过C点恰好沿切线进入圆弧轨道，物块经过E点时速度大小与经过C点时速度大小相等，随后物块滑上传送带EF。已知物块与传送带EF间的动摩擦因数μ=0.5，重力加速度g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。
(1)求A、C两点的水平距离L；
(2)求物块到达C点时的速度；
(3)若传送带顺时针运转的速度大小为5 m/s，且物块到F端时的速度恰好为零，求物块从E端运动到F端所用的时间。
落点在圆弧面上的平抛运动处理思路
从圆心处水平抛出，落到圆弧上，如图所示，已知圆弧半径为R，则平抛运动的位移大小等于R x=v0t y=gt2 x2+y2=R2
从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到圆弧上，如图所示，已知圆弧半径为R，则水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方 x=R+Rcos θ x=v0t y=Rsin θ=gt2 (x-R)2+y2=R2
沿切线射入圆弧内 tan θ==→t=
特训点四　抛体运动的临界和极值问题(综合提升类)
1.平抛运动中临界问题的两种常见情形
(1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度。
(2)物体的速度方向恰好达到某一方向。
2.解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题。
典例 [平抛运动的临界问题](2024·四川模拟)如图所示，窗子上、下沿间的高度差H=1.6 m，墙的厚度d=0.4 m。某人在到墙壁的距离L=1.4 m、距窗子上沿高度h=0.2 m处的P点，将可视为质点的小物件以速度v水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上。取重力加速度g=10 m/s2，则v的取值范围是 (　　)
A.v>7 m/s B.v>2.3 m/s
C.3 m/s①审题关键点：a.将可视为质点的小物件以速度v水平抛出；b.小物件直接穿过窗口并落在水平地面上。
②解题切入点：a.小物件做平抛运动；b.恰好擦着窗子上沿右侧穿过时v最大，恰好擦着窗口下沿左侧穿过时v最小。
对点特训
1.(2024·山东卷)(多选)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是 (　　)
A.运动时间为2 s
B.落地速度与水平方向夹角为60°
C.重物离PQ连线的最远距离为10 m
D.轨迹最高点与落点的高度差为45 m
2.[体育运动中的临界与极值问题]2019年女排世界杯，中国女排以十一连胜夺冠。排球比赛场地的示意图如图所示，其长度为L，宽度为s，球网高度为h。现女排队员在底线中点正上方沿水平方向发球，发球点高度为1.5h，排球做平抛运动(排球可看成质点，忽略空气阻力)，重力加速度为g，则排球 (　　)
A.能过网的最小初速度为
B.能落在界内的最大位移为
C.能过网而不出界的最大初速度为
D.能落在界内的最大末速度为
参考答案
知识特训
知识必记
一、
1.重力　2.抛物线
3.水平方向　4.匀速直线　自由落体
5.(1)gt　　
(2)v0t　gt2　　
二、
1.重力　2.抛物线　3.(1)匀速　(2)匀变速
4.(1)v0cos θ　(2)v0sin θ
基础必验
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√
2.C　解析：青蛙做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，则有x=vt，h=gt2，可得v=x，因此水平位移越小，竖直高度越大，初速度越小，青蛙应跳到荷叶c上面，C正确。
能力特训
特训点一
1.B　解析：根据匀变速直线运动的位移与时间公式x=v0t+at2可知，物体在x轴方向做速度vx=3 m/s的匀速直线运动，在y轴方向做初速度v0=1 m/s、加速度a=10 m/s2的匀加速直线运动，所以O点不是平抛运动起点，A错误；1 s时，物体在A点的竖直方向的速度vy=v0+at=11 m/s，所以物体在A点的速度vA== m/s，C错误；O、A间的水平距离x=3t=3×1 m=3 m，竖直方向的高度差y=t+5t2=1 m+5 m=6 m，O、A两点间的距离s==3 m，D错误；根据x=3t、y=t+5t2，物体运动的轨迹方程为y=x2+x，B正确。
2.C　解析：设出水口到水桶中心的距离为x，则有x=v0，水落到A点时，有x+=v0，解得v0=，C正确。
3.A　解析：如图所示，由tan θ=可得，小球平抛的初速度大小v0=，A正确；由tan α====tan θ可知，α≠，B错误；小球做平抛运动的时间t=，与小球的初速度大小无关，C错误；由tan θ=可知，v0越大，θ越小，D错误。
特训点二
1.C　解析：由题意知，两个乒乓球均做平抛运动，则根据h=gt2及=2gh可知，乒乓球运动的时间、下降的高度及竖直方向速度的大小均与水平方向的速度大小无关，A、B、D错误；由发出点到球网的水平距离相同知，速度较大的球运动时间短，在竖直方向下落的距离较小，可以越过球网，C正确。
2.B　解析：由题意，假设乙下落的高度为h，则甲下落的高度为2h，竖直方向均做自由落体运动，则由公式y=gt2，得t=，则t1=，t2=，所以甲、乙在空中运动的时间之比=，A错误；假设甲、乙两飞镖的初速度大小分别为v01、v02，两飞镖的水平位移相同，设水平位移为x，则有v01=x，v02=x，解得=，B正确；甲、乙两飞镖落在O点的竖直分速度分别为vy1=gt1=，vy2=gt2=，又tan α==，tan β==，整理得tan α=2tan β，C、D错误。
3.B　解析：抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用，加速度均为重力加速度，故谷粒1的加速度等于谷粒2的加速度，A错误；谷粒2做斜向上抛运动，谷粒1做平抛运动，均从O点运动到P点，故位移相同，在竖直方向上谷粒2做竖直上抛运动，谷粒1做自由落体运动，竖直方向上位移相同，故谷粒2运动时间较长，C错误；谷粒2做斜抛运动，水平方向上为匀速直线运动，故运动到最高点的速度即为水平方向上的分速度，与谷粒1比较，水平位移相同，但运动时间较长，故谷粒2水平方向上的速度较小，即谷粒2在最高点的速度小于v1，B正确；两谷粒从O点运动到P点的位移相同，运动时间不同，故平均速度不相等，D错误。
特训点三
1.AD　解析：由题意知，B球从台阶2的右端水平抛出时，A球运动到台阶2右端正上方，即两球运动到水平方向同一位置，之后两球能够相遇，所以在相同时间内两球运动了相同的水平位移，则两球的水平初速度相等，且每个台阶的宽度相等，则A、B两球运动的总时间之比为2∶1，所以相遇时两球竖直速度大小之比为2∶1，而水平速度相等，故合速度大小之比并非2∶1，由竖直位移与时间的关系h=gt2可知，两球下落的高度之比为4∶1，所以台阶1、2的高度差与台阶2、3的高度差之比为3∶1，A正确，B、C错误；设两球相遇时A球竖直速度为v1，B球竖直速度为v2，两球水平速度均为v0，由题意知，A球的速度方向与水平方向夹角的正切值为，B球的速度方向与水平方向夹角的正切值为，且v1∶v2=2∶1，所以A的速度方向与水平方向的夹角的正切值为B的两倍，D正确。
2.AC　解析：N小球垂直打到斜面上，则N小球落到斜面时速度与水平方向的夹角α=90°-θ=45°，有tan 45°=，M小球落到斜面时，有tan 45°==，联立解得=，A正确、B错误；若v1、v2 都变为原来的2倍，两球会在空中相遇，设相遇时间为t1，则有(v1+v2)t=2(v1+v2)t1，解得t1=，相遇点在A点正上方，C正确；若v1、v2 都变为原来的一半，两球在空中相遇，相遇点必与A点在同一竖直线上，则两小球相遇前运动的时间为2t，根据竖直方向的运动规律y=gt2，知此时的竖直位移是yA 的4倍，相遇点在A点正下方，不符合事实，D错误。
3.(1)4.8 m　(2)10 m/s，方向与水平方向夹角为37°　(3)3 s
解析：(1)物块从A到C做平抛运动，下落时间
t==0.6 s
L=v0t=4.8 m。
(2)物块运动到C点时，竖直方向的速度大小
vy=gt=6 m/s
物块在C点时的速度大小
vC==10 m/s
设vC与水平方向的夹角为α，则
tan α==
得α=37°
所以物块到达C点时速度大小为10 m/s，方向与水平方向夹角为37°。
(3)物块刚滑上传送带时，物块的速度大于传送带的速度，设物块的加速度大小为a1，根据牛顿第二定律可知
mgsin 37°+μmgcos 37°=ma1
解得 a1=10 m/s2
物块与传送带速度相等所需时间
t1==0.5 s
这段时间内物块通过的位移大小
x1==3.75 m达到相同速度后，由于mgsin 37°>μmgcos 37°，故物块继续向上做减速运动，设加速度大小为a2，根据牛顿第二定律可得
mgsin 37°-μmgcos 37°=ma2
解得 a2=2 m/s2
当物块到达F端时，速度恰好为零，设物块做匀减速运动的时间为t2，则
t2==2.5 s
则物块从E端运动到F端所用的时间
t3=t1+t2=3 s。
特训点四
典例　C　解析：小物件做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧穿过时v最大，此时有L=vmaxt，h=gt2，代入数据解得vmax=7 m/s，恰好擦着窗口下沿左侧穿过时v最小，则有L+d=vmint'，H+h=gt'2，代入数据解得vmin=3 m/s。故v的取值范围是3 m/s对点特训
1.BD　解析：将初速度分解为沿PQ方向的分速度v1和垂直PQ方向的分速度v2，则有v1=v0cos 60°=10 m/s，v2=v0sin 60°=10 m/s，将重力加速度分解为沿PQ方向的分加速度a1和垂直PQ方向的分加速度a2，则有a1=gsin 30°=5 m/s2，a2=gcos 30°=5 m/s2。垂直PQ方向，根据对称性可得重物的运动时间t==4 s，重物离PQ连线的最远距离dmax==10 m，A、C错误；重物到达落点Q时竖直分速度大小vy=-v0sin 30°+gt=30 m/s，则其在落点Q的速度与水平方向夹角的正切值tan θ===，可得θ=60°，B正确；重物从抛出至运动到最高点所用时间t1==1 s，则从最高点到落点Q所用时间t2=t-t1=3 s，轨迹最高点与落点Q的高度差h=g=45 m，D正确。
2.C　解析：排球做平抛运动，设能过网的最小初速度为v1，此种情况下，水平位移x1==v1t，竖直位移为1.5h-h=gt2，联立解得v1=，A错误；设排球过网而不出界的最大初速度为v2，此种情况下，排球落到对角线的顶点处，水平位移x2==v2t'，竖直位移1.5h=gt'2，联立解得v2=，C正确；能落在界内的最大位移smax=>，B错误；排球做平抛运动，落地时竖直分速度vy==，能落在界内的最大末速度v==，D错误。

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