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第2讲　人造卫星　宇宙速度
【目标任务】
1.会比较卫星运行的各物理量之间的关系。2.理解三种宇宙速度，并会求解第一宇宙速度的大小。3.会分析天体的“追及”问题。
【知识特训】
知识必记
一、卫星运行参量的分析
1.基本公式
(1)线速度：由G=m，得v=　　　　。
(2)角速度：由G=mω2r，得ω=　　　　。
(3)周期：由G=m()2r，得T=　　　　。
(4)向心加速度：由G=man，得an=　　　　。
结论：同一中心天体的不同卫星，轨道半径r越大，v、ω、an　　　　，T　　　　，即越高越慢。
2.“黄金代换公式”的应用
忽略中心天体自转影响，则有mg=G，整理可得GM=　　　　。在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM。
3.人造卫星
卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道(赤道平面上的轨道)、极地轨道和其他轨道，静止卫星的轨道是赤道轨道。
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(2)静止卫星
①轨道平面与　　　　共面，且与地球自转的方向相同。
②周期与地球自转周期相等，T=　　　　。
③高度固定不变，h=3.6×107 m。
④运行速率约为v=3.1 km/s。
(3)近地卫星：轨道在　　　　附近的卫星，其轨道半径r=R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度(人造地球卫星的圆轨道最大运行速度)，T≈ 85 min(人造地球卫星的最小周期)。
注意：近地卫星的轨道可能为极地轨道，也可能为赤道轨道。
二、宇宙速度
1.第一宇宙速度
(1)第一宇宙速度是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动时的速度，其数值为　　　　km/s。
(2)第一宇宙速度是人造卫星的最小　　　　速度，也是人造卫星的最大　　　　速度。
(3)第一宇宙速度的计算方法
由G=m，得v=　　　　。
由mg=m，得v=　　　　。
2.第二宇宙速度
使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为　　　　km/s。
3.第三宇宙速度
使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为　　　　km/s。
基础必验
1.思考判断
(1)人造卫星中近地卫星的周期最小。 (　　)
(2)极地卫星通过地球两极，且始终和地球某一经线平面重合。 (　　)
(3)第一宇宙速度的大小与中心天体的质量有关。 (　　)
(4)若物体的发射速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，则物体会离开地球。 (　　)
(5)围绕同一中心天体运动的质量不同的两颗卫星，若轨道半径相同，速率不一定相同。 (　　)
2.[人造卫星](2024·北京二模)研究表明，2 000年来地球自转周期累计慢了2个多小时。假设这种趋势持续下去，地球其他条件不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在相比 (　　)
A.距地面的高度变小
B.向心加速度变大
C.线速度变小
D.角速度变大
3.[宇宙速度]若取地球的第一宇宙速度为8 km/s，某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球半径的1.5倍，则这颗行星的“第一宇宙速度”约为(　　)
A.2 km/s B.4 km/s
C.16 km/s D.32 km/s
【能力特训】
特训点一　卫星运行参量分析(逐点突破类)
1.[不同轨道行星运行参量的比较]“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是 (　　)
A.火星公转的线速度比地球的大
B.火星公转的角速度比地球的大
C.火星公转的半径比地球的小
D.火星公转的加速度比地球的小
1.“四个分析”
“四个分析”是指分析人造卫星的加速度、线速度、角速度和周期与轨道半径的关系。
G=越高越慢
2.“两个说明”
(1)行星绕太阳的公转轨道视为圆形轨道时，各行星绕太阳的运行规律与卫星绕地球的运行规律相同。
(2)卫星绕某星体表面做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，其所遵循的规律与卫星绕地球运行时所遵循的规律相同。
2.[同步卫星、近地卫星和赤道上物体比较](2024·海南海口模拟)如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随
地球自转做匀速圆周运动，b为在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约等于地球半径)，c为地球上空相对地球静止不动的卫星。下列关于a、b、c的说法正确的是 (　　)
A.地球上空相对地球静止的不同卫星都与c在同一个轨道上，并且它们受到的万有引力大小相等
B.a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为aa>ab>ac
C.a物体所受地球的万有引力全部作为a物体随地球自转的向心力
D.a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为Ta=Tc>Tb
同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较
如图所示，a为近地卫星，轨道半径为r1；b为地球同步卫星，轨道半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r3。
比较项目 近地卫星(r1、ω1、v1、a1) 同步卫星(r2、ω2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3)
向心力来源 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力
轨道半径 r2>r1=r3
角速度 ω1>ω2=ω3
线速度 v1>v2>v3
向心加速度 a1>a2>a3
特训点二　宇宙速度(自主冲关类)
1.[第一宇宙速度](2024·湖北三模)2024年2月29日中国在西昌卫星发射中心成功发射了卫星互联网高轨卫星01星，标志着中国互联网的效率与质量将进一步提升。已知该卫星与地球中心的连线在时间t内转过的弧度为θ，扫过的面积为S，该卫星绕地球做匀速圆周运动，地球的半径为R，引力常量为G，则 (　　)
A.该卫星可以静止在咸宁的正上方
B.地球的质量为
C.地球表面的重力加速度为
D.地球的第一宇宙速度为
2.[宇宙速度](多选)2021年2月10日，在历经近7个月的太空飞行后，我国首个火星探测器“天问一号”成功“太空刹车”，顺利被火星捕获，进入环火星轨道。物体在万有引力场中具有的势能叫作引力势能，若取两物体相距无穷远时的引力势能为零，一个质量为m的质点距质量为M的引力源中心为r时，其引力势能Ep=-(式中G为引力常量)。已知地球半径约为6 400 km，地球的第一宇宙速度为7.9 km/s，火星半径约为地球半径的，火星质量约为地球质量的。以下“天问一号”相对于火星的速度大于火星第二宇宙速度的是 (　　)
A.7.9 km/s B.5.5 km/s
C.4.0 km/s D.3.2 km/s
1.第一宇宙速度的推导
方法一：由G=m，得v== m/s≈7.9×103 m/s。
方法二：由mg=m，得v== m/s≈7.9×103 m/s。
第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星在圆周轨道上运行的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，即最短周期Tmin=2π=2π s≈5 075 s≈85 min，这也是近地卫星的周期。
2.宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发=7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动。
(2)7.9 km/s(3)11.2 km/s≤v发<16.7 km/s，卫星会脱离地球的引力场。
(4)v发≥16.7 km/s，卫星可挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
特训点三　天体的“追及”问题(综合提升类)
天体“相遇”指两天体相距最近，以地球和行星“相遇”为例(“行星冲日”)，某时刻行星与地球相距最近，此时行星、地球与太阳三者共线且行星和地球的运转方向相同(如图甲)。根据=mω2r可知，地球公转的速度较快，从该时刻到之后“相遇”(地球与行星间的距离最小)，有两种方法可以解决问题：
1.角度关系
ω1t-ω2t=n·2π(n=1，2，3，…)
解得t=(n=1，2，3，…)
2.圈数关系
-=n(n=1，2，3，…)
解得t=(n=1，2，3，…)
同理，若两者从相距最近到相距最远(行星处在地球和太阳连线的延长线上，如图乙)，
则有ω1t-ω2t=(2n-1)π(n=1，2，3，…)
或-=(n=1，2，3，…)
典例 (多选)如图，在万有引力作用下，a、b两卫星在同一平面内绕某一行星c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知两卫星的轨道半径之比ra∶rb=1∶4，则下列说法正确的是(　　)
A.a、b运动的周期之比Ta∶Tb=1∶8
B.a、b运动的周期之比Ta∶Tb=1∶4
C.从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次
D.从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次
①审题关键点：a、b两卫星在同一平面内绕某一行星c沿逆时针方向做匀速圆周运动。
②解题切入点：a.相距最近：两同心转动的卫星(rab.相距最远：两同心转动的卫星(ra对点特训
1.[对中心天体相同的“追及”问题的考查]2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图所示。根据以上信息可以得出 (　　)
A.火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8
B.当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大
C.火星与地球表面的重力加速度大小之比约为9∶4
D.下一次“火星冲日”出现在2023年12月8日之前
2.[对中心天体不同的“追及”问题的考查]深空中，地球(X)绕太阳(Y)逆时针方向公转，月亮(Z)绕地球逆时针方向运行(在北半球观看)，地球轨道与月亮轨道在同一平面内。如图，某时刻月亮、地球和太阳在同一直线上，经过时间t，月亮、地球和太阳再次在同一直线上(相对位置的顺序不变)。已知月亮绕地球做匀速圆周运动的周期为T，地球绕太阳做匀速圆周运动的周期大于T，地球与太阳间的距离为r，引力常量为G，则太阳的质量为 (　　)
A. B.
C. D.
参考答案
知识特训
知识必记
一、
1.(1)　(2)　(3)2π
(4) 　越小　越大
2.gR2
3.(2)①赤道平面　②24 h　(3)地球表面
二、
1.(1)7.9　
(2)发射　环绕　
(3)　
2.11.2
3.16.7
基础必验
1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×
2.C　解析：根据万有引力提供向心力有G=mr，解得r=，地球自转周期变大，则地球同步卫星轨道半径变大，距地面的高度变大，A错误；根据牛顿第二定律有G=ma，解得a=，地球自转周期变大，则地球同步卫星轨道半径变大，向心加速度变小，B错误；根据万有引力提供向心力有G=m=mω2r，解得v=，ω=，地球自转周期变大，则地球同步卫星轨道半径变大，线速度变小，角速度变小，C正确、D错误。
3.C　解析：设地球质量为M，该行星质量为6M，地球半径为r，该行星半径为1.5r，由万有引力提供做匀速圆周运动的向心力得G=，解得v=，则v地球=，v行星==2 =2v地球=16 km/s，C正确。
能力特训
特训点一
1.D　解析：根据万有引力提供向心力，有=m，可得T=，因为火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍，即火星的公转周期大于地球的公转周期，由此可知火星公转的半径大于地球的公转半径，C错误；根据万有引力提供向心力，有=m=ma=mω2r，解得v=、a=、ω=，根据上述关系式可知，火星公转的线速度、角速度和加速度都比地球的小，D正确，A、B错误。
2.D　解析：地球上空相对地球静止的卫星都与c在同一个轨道上，轨道半径相等，但是卫星的质量不一定相等，根据万有引力定律公式F=G 可知，它们受到的万有引力大小不一定相等，A错误；对于卫星b、c，由万有引力提供向心力得G=ma，解得a=，其中rc>rb，所以ab>ac，由于a、c绕地球运动的周期相等，根据a=rω2，其中rc>ra，可得ac>aa，所以a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为ab>ac>aa，B错误；a物体与地球的万有引力一部分提供a物体随地球自转需要的向心力，一部分为物体的重力，C错误；对于a、c，其周期相等，Ta=Tc，对于卫星b、c，由万有引力提供向心力得G=mr，解得T=2π，其中rc>rb，所以Tc>Tb，即a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为Ta=Tc>Tb，D正确。
特训点二
1.B　解析：静止卫星在赤道正上方，因此该卫星不可能静止在咸宁的正上方，A错误；由题意可知，高轨卫星01星受到的万有引力提供向心力，有G=mrω2，又S=πr2，ω=，综合解得M=，B正确；在地球表面处有G=mg，解得地球表面的重力加速度g=，C错误；贴近地球表面处，由万有引力提供向心力，可得G=m，解得地球的第一宇宙速度v1=，D错误。
2.AB　解析：设物体在星球表面的速度为v2，当它脱离该星球引力时，r→∞，此时速度为零，由机械能守恒定律得m-=0，解得星球的第二宇宙速度v2=，第一宇宙速度是星球表面附近卫星的最大环绕速度，由G=m，解得v1=，故火星第一宇宙速度与地球第一宇宙速度之比==，又v火2=v火1，代入数据解得火星第二宇宙速度v火2≈5.27 km/s，A、B正确。
特训点三
典例　AD　解析：根据开普勒第三定律，椭圆轨道半长轴的三次方与周期的二次方成正比，则a、b运动的周期之比为1∶8，A正确、B错误。设题图所示位置ac连线与bc连线的夹角为θ(θ<)，b转动一周(圆心角为2π)的时间为Tb，则a、b相距最远时有Tb-Tb>(π-θ)+n·2π(n=0，1，2，3，…)，可知n=0，1，2，…，6，n可取7个值；a、b相距最近时有Tb-Tb>(2π-θ)+m·2π(m=0，1，2，3，…)，可知m=0，1，2，…，6，m可取7个值，故在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次，C错误、D正确。
对点特训
1.B　解析：火星和地球均绕太阳运动，由于火星与地球的轨道半径之比约为3∶2，根据开普勒第三定律有=，可得==，A错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，速度大小均不变，当火星与地球相距最远时，由于两者的速度方向相反，故此时两者相对速度最大，B正确；在星球表面根据万有引力定律有G=mg，由于不知道火星和地球的质量之比以及火星和地球的半径之比，故无法得出火星和地球表面的重力加速度大小之比，C错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，有ω火=，ω地=，要发生下一次“火星冲日”，则有(-)t=2π，得t=>T地，可知下一次“火星冲日”出现在2023年12月8日之后，D错误。
2.A　解析：在0~t时间内X公转的角度设为θ，则Z绕X转过的角度为2π+θ，X公转的周期T'=，Z绕X运行的周期T=，得T'=；设Y的质量为M，X的质量为m，由Y对X的万有引力提供向心力有G=m()2r，解得M=，B、C、D错误，A正确。

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