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第3讲　机械能守恒定律及其应用
【目标任务】
1.理解重力势能和弹性势能，知道机械能守恒的条件，理解机械能守恒定律的内容。2.会应用机械能守恒定律解决单个物体或系统的机械能守恒问题。
【知识特训】
知识必记
一、重力做功与重力势能
1.重力做功的特点
(1)重力做功与路径无关，只与始、末位置的　　　　有关。
(2)重力做功不引起物体　　　　的变化。
2.重力势能
(1)公式：Ep=　　　　。
(2)特性：
①矢标性：重力势能是　　　　，但有正、负，其意义是表示物体的重力势能比它在参考平面上大还是小，这与功的正、负的物理意义不同。
②系统性：重力势能是物体和　　　　共有的。
③相对性：重力势能的大小与　　　　的选取有关。重力势能的变化是　　　　的，与参考平面的选取　　　　。
3.重力做功与重力势能变化的关系
(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就　　　　；重力对物体做负功，重力势能就　　　　。
(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量，即WG=Ep1-Ep2=　　　　。
二、弹性势能
1.定义：发生　　　　的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能。
2.大小
弹簧的弹性势能的大小与弹簧的　　　及劲度系数有关。
3.弹力做功与弹性势能变化的关系
弹力做　　　　，弹性势能减少，弹力做负功，弹性势能　　　　。
三、机械能守恒定律
1.机械能：动能和　　　　统称为机械能，其中势能包括　　　　势能和　　　　势能。
2.机械能守恒定律
(1)内容：在只有　　　　　做功的物体系统内，动能和势能可以互相　　　　　，而总的机械能保持　　　　。
(2)守恒的条件：只有重力或弹力做功。
(3)守恒表达式：
守恒观点 E1=E2，Ek1+Ep1=Ek2+Ep2
转化观点 ΔEk=　　　
转移观点 ΔEA减=　　　
基础必验
1.思考判断
(1)重力势能的大小与零势能参考平面的选取有关。 (　　)
(2)被举到高处的物体的重力势能一定不为零。 (　　)
(3)发生弹性形变的物体都具有弹性势能。 (　　)
(4)弹力做正功，弹性势能一定增加。 (　　)
(5)物体所受的合力为零，物体的机械能一定守恒。 (　　)
(6)物体的速度增大时，其机械能可能减小。 (　　)
(7)物体除受重力外，还受其他力，但其他力不做功，则物体的机械能一定守恒。 (　　)
2.[重力势能与机械能的理解](多选)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以地面为零势能面，而且不计空气阻力，则下列说法正确的是 (　　)
A.重力对物体做的功为mgh
B.物体在海平面上的重力势能为mgh
C.物体在海平面上的动能为m-mgh
D.物体在海平面上的机械能为m
3.[机械能守恒的简单应用]把小球放在竖立的弹簧上，并把球往下按至A位置，如图甲所示。迅速松手后，球升高至最高位置C(图丙)，途中经过位置B时弹簧正处于原长(图乙)。忽略弹簧的质量和空气阻力，则小球从A位置运动到C位置的过程中，下列说法正确的是 (　　)
A.经过位置B时小球的加速度为0
B.经过位置B时小球的速度最大
C.小球、地球、弹簧所组成系统的机械能守恒
D.小球、地球、弹簧所组成系统的机械能先增大后减小
【能力特训】
特训点一　机械能守恒的理解及判断(自主冲关类)
1.[对机械能守恒条件的理解](多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是 (　　)
　　甲　　　　　　　　乙
　　 丙　　　　　　　丁
A.甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B.乙图中，A置于光滑水平面上，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒
C.丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时，A加速下落、B加速上升过程中，A、B系统机械能守恒
D.丁图中，小球在竖直平面内来回摆动(不计空气阻力)，小球的机械能守恒
2.[含弹簧系统的机械能守恒的判断](2024·江苏苏州月考)如图所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板P连接，另一端与物体A相连，物体A置于光滑水平桌面上，A右侧连接一细线，细线绕过光滑的轻质定滑轮与物体B相连。开始时托住B，让A处于静止状态且细线恰好伸直，然后由静止释放B，直至B获得最大速度。下列有关该过程的分析正确的是(　　)
A.B受到细线的拉力保持不变
B.A、B组成的系统机械能守恒
C.B机械能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量
D.当弹簧的弹力大小等于B的重力时，A的动能最大
1.机械能守恒定律常用的三种表达式
守恒角度 转化角度 转移角度
表达式 E1=E2或Ek1+Ep1=Ek2+Ep2 ΔEk=-ΔEp 或ΔEk增=ΔEp减 ΔEA=-ΔEB 或ΔEA增=ΔEB减
物理意义 系统初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等 系统减少的势能等于系统增加的动能 若系统由A、B两部分组成，则A部分物体机械能的增加量与B部分物体机械能的减少量相等
注意事项 应用时应选好重力势能的零势能面，且初、末状态必须用同一零势能面计算势能 应用时可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差 常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题
2.机械能守恒的条件
(1)只有重力做功，只发生动能和重力势能的相互转化。如自由落体运动、抛体运动等。
(2)只有系统内弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化。如在光滑水平面上运动的物体碰到一个弹簧，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒。
(3)只有重力和系统内弹力做功，只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化。如自由下落的物体落到竖直的弹簧上，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒。
(4)除受重力或系统内弹力外，还受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代数和为零。如物体在沿斜面向下的拉力F的作用下沿斜面向下运动，其拉力的大小与摩擦力的大小相等，在此运动过程中，其机械能守恒。
3.机械能是否守恒的三种判断方法
4.机械能守恒定律应用时的注意事项
(1)机械能守恒的条件绝不是合力的功等于零，更不是合力等于零，而是看是否只有重力或系统内的弹力做功。
(2)对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能不一定守恒。
(3)机械能守恒时，物体的运动轨迹可以是曲线也可以是直线，力可以是恒力也可以是变力。
(4)在研究单个物体与地球构成的系统时，通常用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面。
特训点二　机械能守恒定律的简单应用(逐点突破类)
1.[单个物体单过程中机械能守恒](多选)如图甲，在竖直平面内固定一光滑的半圆形轨道ABC，半径为0.4 m，小球(可视为质点)以一定的初速度从最低点A冲上轨道，图乙是小球在半圆形轨道上从A运动到C的过程中，其速度二次方与其对应高度的关系图像。已知小球在最高点C受到轨道的作用力为2.5 N，空气阻力不计，B点为轨道中点，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是 (　　)
　　　 甲　　　 　　　　　乙
A.在最高点时小球所受的合力竖直向下
B.图乙中x=25
C.小球在B点受到轨道的作用力为10 N
D.小球质量为0.2 kg
(1)物体在竖直光滑轨道上做圆周运动时，因只有重力做功，物体的机械能守恒。
(2)物体做平抛运动时，因只有重力做功，物体的机械能守恒。
2.[单个物体多过程中机械能守恒](多选)如图，一个质量为0.9 kg的小球(可视为质点)以某一初速度从P点水平抛出，恰好从光滑圆弧ABC的A点沿切线方向进入圆弧(不计空气阻力，进入圆弧时无机械能损失)。已知圆弧的半径R=0.3 m，B、C分别是圆弧的最低点与最高点，OB与OA的夹角θ=60°，小球到达A点时的速度大小vA=4 m/s，g=10 m/s2。下列说法正确的是 (　　)
A.小球做平抛运动的初速度v0=2m/s
B.P点和C点等高
C.小球到达C点时对轨道的压力大小为12 N
D.P点与A点的竖直高度差h=0.6 m
应用机械能守恒定律解题的基本思路
在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面。
特训点三　连接体的机械能守恒问题(逐点突破类)
1.[轻绳连接的物体系统]如图所示，A、B两点位于同一高度，细线的一端系有质量为M的小物块，另一端绕过B点处的定滑轮固定在A点，质量为m的小球固定在细线上C点。现将小球从图示水平位置由静止释放，已知小球运动到D点时速度恰好为零(此时小物块未到达B点)，然后向上运动。已知图中△ABD为直角三角形，小物块和小球均可视为质点，∠DBA=37°，忽略一切摩擦，重力加速度为g，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，则 (　　)
A.小球还能回到初始位置C点
B.M∶m=5∶6
C.运动过程中小物块的速度和小球的速度大小相等
D.小球运动到最低点D时，小物块受到的拉力大小为Mg
常见 情景
三点 提醒 (1)分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等 (2)用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系 (3)对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能可能守恒
2.[轻杆连接的物体系统](2024·东北三省三校联合模拟)如图所示，竖直平面内固定两根足够长的细杆L1、L2，L2水平，两杆相互垂直但不接触，且两杆间的距离忽略不计。两个小球a、b(视为质点)质量均为m，a球套在竖直杆L1上，b球套在水平杆L2上，a、b通过铰链用长度为l的刚性轻杆L(质量不计)连接，将a球从图示位置(轻杆与L2杆夹角为45°)由静止释放，不计一切摩擦，已知重力加速度为g。在此后的运动过程中，下列说法正确的是 (　　)
A.a球和b球所组成的系统机械能不守恒
B.b球的速度为零时，a球的加速度大小为零
C.b球的最大速度为
D.a球的最大速度为
常见 情景
三大 特点 (1)平动时两物体的线速度相等，转动时两物体的角速度相等，两物体通过轻杆关联时在沿着杆的方向的分速度相等 (2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒 (3)对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒
3.[轻弹簧连接的物体系统](2023·全国甲卷)如图，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为Ep。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等；垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h，重力加速度大小为g，忽略空气阻力。求：
(1)小球离开桌面时的速度大小；
(2)小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。
题型特点 由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒
四点提醒 (1)对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，无论弹簧是伸长还是压缩 (2)物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关 (3)弹簧两端的物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大 (4)如果系统内每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度(如绷紧的弹簧由静止释放)
特训点四　用等效法处理非质点类机械能守恒问题(综合提升类)
　　“液柱”“绳(考虑重力)”“链条”“过山车”等物体，它们在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能视为质点来处理。物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体的机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则、物体各部分的重心位置及其高度的变化量，根据初、末状态物体重力势能的减少量等于动能的增加量列式求解。
典例 [“液柱”类物体的机械能守恒问题](多选)内径面积为S的U形圆筒竖直放在水平面上，筒内装水，底部阀门K关闭时两侧水面高度分别为h1和h2，如图所示。已知水的密度为ρ，不计一切阻力，重力加速度为g。现把连接两筒的阀门K打开，当两筒水面高度相等时，则该过程中(　　)
A.水柱的重力做正功
B.大气压力对水柱做负功
C.水柱的机械能守恒
D.当两筒水面高度相等时，水柱的动能是ρgS(h1-h2)2
①审题关键点：不计一切阻力；现把连接两筒的阀门K打开，当两筒水面高度相等时。
②解题切入点：重力做功量度重力势能的变化，本题中液体不能看成质点，可以等效求解移动水的重心下降的高度，确定出重力势能的变化，从而得到重力做功，由机械能守恒定律得出水面高度相等时水柱的动能。
对点特训
[“链条”类物体的机械能守恒问题]如图所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为α的足够长的光滑斜面，斜面体固定不动，AB、BC间用一小段光滑圆弧轨道相连。一条长为L的均匀柔软链条开始时静止地放在ABC面上，其一端D至B的距离为L-a。重力加速度为g，现自由释放链条，则：
(1)链条在下滑过程中的机械能是否守恒 简述理由。
(2)链条的D端滑到B点时，链条的速率为多大
参考答案
知识特训
知识必记
一、
1.(1)高度差　(2)机械能
2.(1)mgh　(2)①标量　②地球　③参考平面　绝对　无关
3.(1)减少　增加　(2)-ΔEp
二、
1.弹性形变　2.形变量　3.正功　增加
三、
1.势能　重力　弹性
2.(1)重力或弹力　转化　不变　(3)-ΔEp　Δ
基础必验
1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×　(6)√　(7)√
2.AD　解析：从地面到海平面，重力对物体做的功为mgh，A正确；地面为零势能面，所以物体在海平面的重力势能为-mgh，B错误；物体在地面上的机械能为m，由机械能守恒定律得，物体在海平面上的机械能也为m，D正确；物体在海平面上的动能为m-(-mgh)=m+mgh，C错误。
3.C　解析：A到B的过程中，小球先加速后减速，当加速度为零时，弹力大小等于重力大小，速度最大，但位置在B点下方，A、B错误；小球由A到C的过程中，只有重力和弹簧的弹力做功，小球、地球和弹簧组成的系统机械能守恒，C正确、D错误。
能力特训
特训点一
1.CD　解析：题图甲中物体A的重力和弹簧弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，A错误；题图乙中物体B除受重力外，还受A的支持力，A的支持力对B做负功，B的机械能减小，B的机械能不守恒，但从能量转化角度看，A、B组成的系统机械能守恒，B错误；题图丙中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B系统机械能守恒，C正确；题图丁中小球在竖直平面内来回摆动过程中，只有重力做功，机械能守恒，D正确。
2.D　解析：对A，由牛顿第二定律有FT-kx=mAa，对B，由牛顿第二定律有mBg-FT=mBa，联立有mBg-kx=(mA+mB)a，由于弹簧的伸长量x逐渐变大，故从开始到B速度达到最大的过程中，B的加速度逐渐减小，可知细线对B的拉力逐渐增大，A错误；由于该过程弹簧对A做负功，所以A、B组成的系统机械能不守恒，B错误；对于A、B以及弹簧组成的系统，只有弹簧的弹力和重力做功，系统的机械能守恒，B机械能的减少量等于A机械能的增加量与弹簧弹性势能的增加量之和，所以B机械能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量，C错误；当弹簧的拉力与细线的拉力大小相等时，A的速度最大，动能最大，此时A的加速度为零，B的加速度也为零，细线的拉力大小等于B的重力，弹簧的弹力大小也等于B的重力，D正确。
特训点二
1.ABD　解析：在最高点，小球所受重力和弹力的合力提供向心力，方向竖直向下，A正确；由题图乙可得在最高点，小球速度的二次方=9 m2/s2，由牛顿第二定律得mg+FC=m，解得小球的质量m=0.2 kg，D正确；小球从A运动到C的过程中，由机械能守恒定律得m=m+mg×2R，解得x==25 m2/s2，B正确；小球从A运动到B的过程中，由机械能守恒定律得m=m+mgR，解得=17 m2/s2，小球在B点受到轨道的作用力FB=m=8.5 N，C错误。
2.CD　解析：小球恰好从光滑圆弧ABC的A点沿切线方向进入圆弧，则小球到达A点时的速度与水平方向的夹角为θ，所以v0=vx=vAcos θ=2 m/s，A错误；小球到达A点时的竖直分速度vy=vAsin θ=2 m/s，由平抛运动规律得=2gh，解得h=0.6 m，而A、C的竖直距离为R+Rcos θ=0.45 m，可知P点高于C点，B错误、D正确；取A点所在水平面的重力势能为零，由机械能守恒定律得m=m+mg(R+Rcos θ)，代入数据得vC= m/s，在C点时由牛顿第二定律得FNC+mg=m，代入数据得FNC=12 N，根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力大小FNC'=FNC=12 N，C正确。
特训点三
1.A　解析：根据系统机械能守恒可知，小球还能回到初始位置C点，A正确；设AD长为3L，根据机械能守恒定律有Mg·2L=mg·3Lcos 37°，解得M∶m=6∶5，B错误；AC长度不变，小球做圆周运动，小球沿BD方向的分速度大小等于小物块的速度大小，C错误；设小球在最低点D时，沿BD方向的加速度大小为a，BD中的拉力为FT，根据牛顿第二定律有Mg-FT=Ma，FT-mgcos 53°=ma，解得FT=Mg，D错误。
2.C　解析：a球和b球组成的系统没有外力做功，只有a球和b球的动能和重力势能相互转换，因此a球和b球所组成的系统机械能守恒，A错误；设轻杆L和水平杆L2的夹角为θ，由运动关联可知vbcos θ=vasin θ，则vb=vatan θ，可知当b球的速度为零时，轻杆L处于水平位置且与杆L2平行，则此时a球在竖直方向只受重力mg，因此a球的加速度大小为g，B错误；当杆L和杆L1第一次平行时，a球运动到最下方，b球运动到L1和L2交点位置，b球的速度达到最大，此时a球的速度为0，因此由系统机械能守恒有mg(l+l)=m，解得vb=，C正确；当轻杆L和杆L2第一次平行时，由运动的关联可知此时b球的速度为零，由系统机械能守恒有mg·l=m，解得va=，此时a球具有向下的加速度g，故此时a球的速度不是最大，a球将继续向下做加速度减小的加速运动，到加速度为0时速度达到最大，D错误。
3.(1)　(2)
解析：(1)从释放弹簧到小球离开桌面的过程中，小球与弹簧组成的系统机械能守恒，设小球离开桌面时的速度大小为v0，由机械能守恒定律有Ep=m
解得v0=。
(2)小球与地面碰撞弹起后在竖直方向做竖直上抛运动，设弹起时小球的竖直速度为vy1，由运动学公式有=2gh
设小球落地前的瞬间竖直方向速度大小为vy，有vy1=vy
小球从桌面水平飞出后，做平抛运动的过程中，有vy=gt
其水平位移x=v0t
联立解得x=。
特训点四
典例　ACD　解析：从把连接两筒的阀门打开到两筒水面高度相等的过程中大气压力对左筒水面做正功，对右筒水面做负功，总功为零。水柱的机械能守恒，重力做功等于重力势能的减少量，等于水柱增加的动能，等效于把左管高的水柱移至右管，如图所示，重心下降，重力所做正功WG=()·ρgS·()=ρgS(h1-h2)2，A、C、D正确。
对点特训
(1)见解析　(2)
解析：(1)链条在下滑过程中机械能守恒，因为斜面BC和水平面AB均光滑，链条下滑时只有重力做功，符合机械能守恒的条件。
(2)设链条质量为m，可以认为始、末状态的重力势能变化是由L-a段下降引起的
高度减少量h=(a+)sin α=sin α
该部分的质量m'=(L-a)
由机械能守恒定律得(L-a)gh=mv2
解得v=。

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