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第3讲　圆周运动
【目标任务】
1.掌握描述圆周运动的各物理量及它们之间的关系，掌握圆周运动动力学问题的处理方法。2.会分析水平面内、竖直面内和斜面上圆周运动的临界问题。3.会用控制变量法和图像法探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系。
【知识特训】
知识必记
一、匀速圆周运动及其描述
1.匀速圆周运动
(1)定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长　　　　　，则这种运动叫作匀速圆周运动。
(2)特点：加速度的大小不变，方向始终指向　　　　，是变加速运动。
(3)条件：合力大小不变，方向始终与　　　　　方向垂直且指向圆心。
2.描述匀速圆周运动的物理量及其关系
定义、意义 公式、单位
线速度 描述做圆周运动的物体沿圆弧运动快慢的物理量(v) v==　　　 单位：　　　　
角速度 描述物体绕圆心转动快慢的物理量(ω) ω==　　　 单位：　　　　
周期 物体沿圆周运动一圈的时间(T) T==，单位：s f=，单位：　　　 n=，单位：　　　
向心 加速度 (1)描述速度方向变化快慢的物理量(an) (2)方向指向圆心 an==　　　　　=ωv=r 单位：　　　
相互 关系 v=ωr=r=2πfr
二、匀速圆周运动的向心力
1.向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的　　　　　或某个力的　　　　　，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。
2.向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定　　　　的位置。
(2)分析物体的受力情况，所有的力沿半径方向指向圆心的合力，就是向心力。
3.向心力大小的公式：Fn=man=m=　　　　=mr=mr·4π2f2=mωv。
三、离心现象
1.定义：做圆周运动的物体，在所受合力突然消失或不足以提供圆周运动所需　　　　　的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。
2.本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周　　　　　方向飞出去的趋势。
3.受力特点
(1)当F=　　　时，物体做匀速圆周运动。
(2)当F=0时，物体沿　　　　　方向飞出。
(3)当F<　　　　　时，物体逐渐远离圆心。
F为实际提供的向心力，如图所示。
基础必验
1.思考判断
(1)匀速圆周运动是匀变速曲线运动。 (　　)
(2)物体做匀速圆周运动时，其线速度是不变的。 (　　)
(3)物体做匀速圆周运动时，其合力是不变的。 (　　)
(4)匀速圆周运动的向心力是产生向心加速度的原因。 (　　)
(5)做匀速圆周运动的物体，当合力突然消失时，物体将沿切线方向飞出。 (　　)
(6)摩托车转弯时速度过大就会向外发生滑动，这是摩托车受沿转弯半径向外的离心力作用的缘故。 (　　)
(7)做离心运动的物体所受合力一定为0。(　　)
2.[描述圆周运动的物理量](2024·黑吉辽卷)“指尖转球”是花式篮球表演中常见的技巧。如图，当篮球在指尖上绕轴转动时，球面上P、Q两点做圆周运动的 (　　)
A.半径相等
B.线速度大小相等
C.向心加速度大小相等
D.角速度大小相等
3.[向心力来源的分析]质量为m的小明坐在秋千上摆动到最高点，对该时刻，下列说法正确的是 (　　)
A.秋千对小明的作用力小于mg
B.秋千对小明的作用力大于mg
C.小明的速度为零，所受合力为零
D.小明的加速度为零，所受合力为零
【能力特训】
特训点一　描述圆周运动的物理量(自主冲关类)
1.[圆周运动各物理量间的关系]车牌自动识别系统的直杆道闸示意图如图所示，离地面高为1 m的细直杆可绕O在竖直面内匀速转动。汽车从自动识别线ab处到达直杆处的时间为3.3 s，自动识别系统的反应时间为0.3 s；汽车可看成高1.6 m的长方体，其左侧面底边在aa'直线上，且O到汽车左侧面的距离为0.6 m，要使汽车安全通过道闸，直杆转动的角速度至少为 (　　)
A. rad/s B. rad/s
C. rad/s D. rad/s
2.[齿轮传动]机动车检测站进行车辆尾气检测的原理如下：车的主动轮压在两个相同粗细的有固定转动轴的滚动圆筒上，可在原地沿前进方向加速，然后把检测传感器放入尾气出口，操作员把车加速到一定程度，持续一定时间，在与传感器相连的电脑上显示出一系列相关参数。现有检测过程简图：车轴A的半径为ra，车轮B的半径为rb，滚动圆筒C的半径为rc，车轮与滚动圆筒间不打滑。当车轮以恒定转速n(每秒钟n转)运行时，下列说法正确的是 (　　)
A.C边缘的线速度大小为2πnrc
B.A、B的角速度大小相等，均为2πn，且A、B沿顺时针转动，C沿逆时针转动
C.A、B、C的角速度大小相等，均为2πn，且均沿顺时针转动
D.B、C的角速度大小之比为
3.[皮带传动]如图所示，某山地自行车有六个飞轮和三个链轮，链轮和飞轮的齿数如表所示，前、后轮半径为30 cm，某人脚踩踏板做匀速圆周运动的角速度是4 rad/s，则人骑自行车的最大速度为 (　　)
名称 链轮 飞轮
齿数 48 35 28 15 16 18 21 24 28
A.7.68 m/s B.3.84 m/s
C.2.4 m/s D.1.2 m/s
1.匀速圆周运动各物理量间的关系
2.三种传动方式及其特点
(1)皮带传动：皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘的线速度大小相等。
(2)齿轮传动：两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘的线速度大小相等。
(3)同轴传动：两轮固定在同一转轴上转动时，两轮转动的角速度相等。
特训点二　向心力来源的分析及离心现象(逐点突破类)
1.[圆周运动向心力来源的分析](2024·江苏模拟)(多选)如图所示，细绳穿过竖直的管子拴住一个小球，让小球在A高度处做水平面内的匀速圆周运动。现用力将细绳缓慢下拉，使小球在B高度处做水平面内的匀速圆周运动，不计一切摩擦，则 (　　)
A.线速度vA>vB B.角速度ωA <ωB
C.向心加速度aAFB
1.匀速圆周运动中向心力的方向
方向时刻在变化，始终指向圆心，与线速度的方向垂直。
2.向心力的特点：由于向心力的方向与物体运动方向始终垂直，故向心力是变力，其作用不改变线速度的大小，只改变线速度的方向。
3.向心力的来源：在匀速圆周运动中，向心力等于物体的合力，常等效为三种情况：合力充当向心力，某一个力充当向心力，某个力的分力充当向心力。
2.[离心现象分析](2024·辽宁模拟)(多选)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们与盘间的动摩擦因数相同。当圆盘转动到两物体刚好还未发生滑动时，烧断细线，两物体的运动情况是 (　　)
A.物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动
B.物体A发生滑动，离圆盘圆心越来越远
C.两物体仍随圆盘一起做圆周运动，不发生滑动
D.两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远
圆周运动与离心运动的判定
(1)当物体沿半径方向指向圆心的合力恰好等于向心力时，物体做匀速圆周运动。
(2)当物体沿半径方向指向圆心的合力不足以提供向心力时，物体将做离心运动，只有当提供向心力的合力突然消失时，物体才沿切线方向飞出。
(3)静摩擦力提供向心力时，当静摩擦力达到最大静摩擦力时，物体将开始做离心运动。
特训点三　三个平面内的匀速圆周运动题型分析(综合提升类)
1.运动特点
(1)运动轨迹在水平面内。
(2)做匀速圆周运动。
2.受力特点
(1)物体所受合力大小不变，方向总是指向圆心。
(2)合力提供向心力。
3.分析思路
4.常见模型
运动模型 向心力的来源图示
飞机水平转弯
火车转弯
圆锥摆
飞车走壁
汽车在水 平路面转弯
水平转台(光滑)
考法一　水平转盘上的圆周运动
典例1 (2024·山西模拟)如图所示，叠放在水平转台上的小物体A、B和物体C都能随转台一起以角速度ω匀速转动。A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B与转台、C与转台间的动摩擦因数都为μ，B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r，重力加速度为g，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，以下说法正确的是 (　　)
A.B对A的摩擦力一定为3μmg
B.C与转台间的摩擦力大于A与B间的摩擦力
C.转台的角速度应满足ω≤
D.转台的角速度应满足ω≤
①审题关键点：a.随转台一起以角速度ω匀速转动；b.B对A的摩擦力；c.C与转台间的摩擦力；d.转台的角速度应满足一定的条件。
②解题切入点：a.向心力来源于摩擦力；b.提供向心力；c.整体法、隔离法与临界值的综合应用，确定临界值——A相对B、B相对转台和C相对转台的临界角速度各是多少。
考法二　圆锥筒模型
圆锥筒模型如图所示，筒内壁光滑，向心力由重力mg和支持力FN的合力提供，即=m=mω2r，解得v=、ω=。
(1)稳定状态下小球所处的位置越高，半径r越大，角速度ω就越小，线速度v就越大。
(2)小球受到的支持力FN=并不随位置的变化而变化。
典例2 如图所示，
半径为R的半球形陶罐固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO'重合。转台以一定角速度ω匀速转动。一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO'之间的夹角θ=60°。重力加速度的大小为g。
(1)若ω=ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0；
(2)在(1)的前提下，求ω=ω0时小物块受到的摩擦力大小和方向。
①审题关键点：a.小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止；b.ω=ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零；c.若ω=ω0，求小物块受到的摩擦力大小和方向。
②解题切入点：a.匀速圆周运动；b.当摩擦力为零时，支持力和重力的合力提供向心力；c.当ω=ω0时，物块所受重力和支持力的合力不足以提供其做圆周运动的向心力，物块相对罐壁有上滑的趋势，摩擦力方向沿罐壁切线向下。
考法三　竖直面内的圆周运动
1.常见模型
物理情景 最高点无支撑 最高点有支撑
实例 球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的过山车等 球与杆连接、球在内壁光滑的圆管道中的运动等
图示
受力特征 除重力外，物体受到的弹力：向下或等于零 除重力外，物体受到的弹力：向下、等于零或向上
受力示 意图
力学方程 mg+F弹=m mg±F弹=m
临界特征 F弹=0 mg=m 即vmin= v=0 即F向=0 F弹=mg
过最高点 的条件 在最高点的速度v≥ v≥0
模型归纳 轻绳模型 轻杆模型
2.分析思路
典例3 [轻杆模型]如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定的能量后，杆和球在竖直平面内转动，当球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力。忽略空气阻力，重力加速度为g，则球B在最高点时 (　　)
A.球B的速度为零
B.球A的速度大小为
C.水平转轴对杆的作用力为1.5mg
D.水平转轴对杆的作用力为2.5mg
①审题关键点：a.光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点；b.球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力。
②解题切入点：a.球A做圆周运动的半径为L，球B做圆周运动的半径为2L；b.球B在最高点只受重力作用，重力恰好提供向心力。
对点特训
1.(2024·广东卷)如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动。若v过大，插销会卡进固定的端盖，使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止，v的最大值为 (　　)
A.r B.l C.r D.l
2.如图所示，质量均为m的物块A、B放在水平转盘上，两物块到转轴的距离均为r，与转盘之间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。A、B分别用细绳系于转盘转轴上的O1、O2点，细绳都刚好拉直。现缓慢增大转盘的转速，重力加速度为g。
(1)求O1A绳即将出现张力时转盘的角速度ω；
(2)通过计算说明谁先脱离转盘。
3.如图甲所示，竖直面内的圆形管道半径R远大于横截面的半径，有一小球(直径比管横截面直径略小)在管道内做圆周运动。小球过最高点时，小球对管壁的弹力大小用F表示，速度大小用v表示，当小球以不同速度经过管道最高点时，其F-v2图像如图乙所示，则 (　　)
甲　　　　乙
A.小球的质量为
B.当地的重力加速度大小为
C.v2=b时，小球对管壁的弹力方向竖直向下
D.v2=3b时，小球受到的弹力大小是重力大小的5倍
参考答案
知识特训
知识必记
一、
1.(1)相等　(2)圆心　(3)速度
2.　m/s　　rad/s　Hz　r/s　ω2r　m/s2
二、
1.合力　分力　2.(1)圆心　3.mω2r
三、
1.向心力　2.切线　3.(1)mω2r　(2)切线　(3)mω2r
基础必验
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√　(6)×　(7)×
2.D　解析：由题意可知，球面上P、Q两点转动时属于同轴转动，故角速度大小相等，D正确；由题图可知，球面上P、Q两点做圆周运动的半径的关系为rP3.A　解析：在最高点，小明的速度为0，设秋千的摆长为l，摆到最高点时摆绳与竖直方向的夹角为θ，秋千对小明的作用力为F，则对小明进行受力分析，沿摆绳方向有F-mgcos θ=m，由于小明的速度为0，则有F=mgcos θ能力特训
特训点一
1.D　解析：由题意可知，在3.3 s-0.3 s=3.0 s的时间内，横杆上距离O点0.6 m的点至少要抬高1.6 m-1.0 m=0.6 m，即横杆至少转过，则角速度ω== rad/s，D正确。
2.B　解析：根据v=2πnR可知，B的线速度大小vb=2πnrb，B、C边缘线速度大小相同，即C边缘的线速度大小vc=vb=2πnrb，A错误；A、B为主动轮且同轴，角速度大小相等，即ω=2πn，C为从动轮，A、B顺时针转动，C逆时针转动，B正确、C错误；B、C边缘线速度大小相同，B、C角速度大小之比等于半径的反比，则=，D错误。
3.B　解析：链轮和飞轮的线速度是相等的，所以链轮半径越大，飞轮半径越小，人骑自行车的速度越大，根据ω链r链=ω飞r飞，得===，且ω链=4 rad/s，解得ω飞= rad/s，飞轮与后轮有共同的角速度，故人骑自行车的最大速度v=ω飞r轮=3.84 m/s，B正确。
特训点二
1.BC　解析：设绳子与竖直方向的夹角为θ，绳子长度为l，小球所在平面距离顶点的竖直高度为h，对小球分析，有F向=mgtan θ=mlsin θ=m=ma，整理得v=，ω=，a=gtan θ。由于v=，小球从A处到达B处，l减小，θ增大，无法判断vA、vB的关系，A错误；由于ω=，其中cos θ=，联立得ω=，由题意可知，小球从A处到达B处，h减小，则ωA < ωB，B正确；由于a=gtan θ，由题意知，θ变大时，小球所受向心力变大，即FA < FB，向心加速度也变大，即aA < aB，C正确、D错误。
2.AB　解析：当圆盘转速加快到两物体刚要发生滑动时，A物体所受细线的拉力与圆盘的最大静摩擦力的合力提供向心力，B所受指向圆心的静摩擦力和拉力的合力提供向心力，所以烧断细线后，A所受最大静摩擦力不足以提供其做圆周运动所需要的向心力，A要发生相对滑动，且离圆盘圆心越来越远，但是B所需要的向心力小于B的最大静摩擦力，所以B仍保持相对圆盘静止的状态，做匀速圆周运动，且静摩擦力比绳子烧断前减小。A、B正确，C、D错误。
特训点三
典例1　C　解析：物体A受重力、支持力以及B对A的静摩擦力，静摩擦力提供向心力，有FfA=(3m)ω2r≤μ(3m)g，A错误；物体A与C转动的角速度相同，对C由摩擦力提供向心力有FfC=m(1.5r)ω2<3mrω2，即C与转台间的摩擦力小于A与B间的摩擦力，B错误；为使物体A、B、C能随转台一起以角速度ω匀速转动，则对物体A、B整体有(3m+2m)ω2r≤μ(3m+2m)g，对物体C有mω2(1.5r)≤μmg，对物体A有3mω2r≤μ(3m)g，联立解得ω≤，C正确、D错误。
典例2　(1)　(2)mg，方向沿罐壁切线向下
解析：(1)当摩擦力为零时，支持力和重力的合力提供向心力，如图甲所示
则根据牛顿第二定律得mgtan θ=mRsin θ
解得ω0=。
(2)当ω=ω0时，物块所受重力和支持力的合力不足以提供其做圆周运动的向心力，物块相对罐壁有上滑的趋势，摩擦力方向沿罐壁的切线向下，如图乙所示
在水平方向上有Ffcos θ+FNsin θ=mω2Rsin θ
在竖直方向上有Ffsin θ+mg=FNcos θ
联立两式解得Ff=mg。
典例3　C　解析：球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，有mg=m，解得v=，A错误；由于A、B两球的角速度相等，则球A的速度大小v'=，B错误；球B运动到最高点时，对杆无弹力，此时球A所受重力和拉力的合力提供向心力，有F-mg=m，解得F=1.5mg，根据牛顿第三定律可知，C正确、D错误。
对点特训
1.A　解析：由题意可知当插销刚卡进固定端盖时弹簧的伸长量Δx=，根据胡克定律有F=kΔx=，插销与卷轴同轴转动，角速度相同，对插销有F=mlω2，对卷轴有v=rω，联立解得v=r，故选A。
2.(1)　(2)见解析
解析：(1)当物块A所受静摩擦力达到最大时，O1A绳即将出现张力，对A有μmg=mω2r
解得ω=。
(2)设细绳与竖直方向的夹角为α，当转盘对物块的支持力恰好为零时，竖直方向有FTcos α=mg
水平方向有FTsin α=mr
联立解得ωm=
由上式可知，由于O1A绳与竖直方向的夹角较小，所以物块A先脱离转盘。
3.D　解析：在最高点，若v=0，则F=mg=c，若F=0，重力提供向心力，则mg=m=m，解得g=，m=，A、B错误；若F=0，有v2=a，则v2=b时，小球所受的弹力方向竖直向下，此时小球对管壁的弹力方向竖直向上，C错误；当v2=b时，根据mg+F=m，F=c=mg，解得b=2gR，当v2=3b时，根据mg+F'=m，解得F'=5mg，D正确。

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