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第4讲　功能关系　能量守恒定律
【目标任务】
1.熟练掌握几种常见的功能关系；理解能量守恒定律。2.掌握应用功能关系或能量守恒定律解决问题的方法。3.应用能量观点解决生活生产中的实际问题。
【知识特训】
知识必记
一、功能关系
1.能的概念：一个物体能对外做功，这个物体就具有能量。
2.功能关系
(1)功是　　　　的量度，即做了多少功就有　　　　发生了转化。
(2)做功的过程一定伴随着　　　　，而且　　　　必通过做功来实现。
二、能量守恒定律
1.内容：能量既不会凭空　　　　，也不会凭空消失，它只能从一种形式　　　　为其他形式，或者从一个物体　　　到别的物体，在　　　　的过程中，能量的总量　　　　。
2.适用范围：能量守恒定律是贯穿物理学的基本规律，是各种自然现象中　　　　的一条规律。
3.表达式
(1)E初=E末，初状态各种能量的　　　　等于末状态各种能量的　　　　。
(2)ΔE增=ΔE减，增加的能量总和等于减少的能量总和。
4.两个特殊的功能关系
(1)滑动摩擦力与两物体间相对位移的乘积等于产生的内能，即　　　　　=Q。
(2)感应电流克服安培力做的功等于产生的电能，即W克安=E电。
基础必验
1.思考判断
(1)若物体下落h，则重力做功为mgh，物体具有的能量为mgh。 (　　)
(2)在物体的机械能减少的过程中，动能有可能是增加的。 (　　)
(3)一个物体的能量增加，必定有别的物体能量减少。 (　　)
(4)滑动摩擦力做功时，一定会产生热量。(　　)
(5)重力和弹簧弹力之外的力做功的过程是机械能和其他形式能量转化的过程。 (　　)
2.[功、能及其关系]有关功和能，下列说法正确的是 (　　)
A.力对物体做了多少功，物体就具有多少能
B.物体具有多少能，就一定能做多少功
C.物体做了多少功，就有多少能量消失
D.能量从一种形式转化为另一种形式时，可以用功来量度能量转化的多少
3.[功能关系的应用](2023·浙江1月选考)一位游客正在体验蹦极，绑上蹦极专用的橡皮绳后从跳台纵身而下。游客从跳台下落直到最低点过程中 (　　)
A.弹性势能减小
B.重力势能减小
C.机械能保持不变
D.绳一绷紧动能就开始减小
【能力特训】
特训点一　几种常见的功能关系(自主冲关类)
1.[功与机械能变化的关系](2024·江苏南京高三检测)如图所示，在电梯中的斜面上放置了一滑块，在电梯加速上升的过程中，滑块相对斜面静止，则在该过程中 (　　)
A.斜面对滑块的摩擦力对滑块做负功
B.斜面对滑块的弹力对滑块所做的功小于滑块增加的机械能
C.斜面对滑块的弹力对滑块所做的功等于滑块增加的重力势能
D.滑块所受合力对滑块所做的功等于滑块增加的机械能
2.[功与重力势能、动能变化的关系](2023·新课标卷)无风时，雨滴受空气阻力的作用在地面附近会以恒定的速率竖直下落。一质量为m的雨滴在地面附近以速率v下落高度h的过程中，克服空气阻力做的功为(重力加速度大小为g)(　　)
A.0 B.mgh
C.mv2-mgh D.mv2+mgh
3.[弹簧弹力做的功与弹性势能变化的关系](多选)如图1，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，刚接触轻弹簧的瞬间速度是5 m/s，接触弹簧后小球速度v和弹簧缩短的长度Δx之间关系如图2所示，其中A为曲线的最高点。已知该小球的重力为2 N，弹簧在受到撞击至压缩到最短的过程中始终发生弹性形变。在小球向下压缩弹簧的全过程中，下列说法正确的是(　　)
　　图1　　　　　　　图2
A.小球的动能先变大后变小，但小球的机械能守恒
B.小球速度最大时受到的弹力为2 N
C.弹簧的弹性势能增加，小球的机械能减少
D.小球受到的最大弹力为12.2 N
1.对功能关系的理解
(1)功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化。
(2)做功的过程一定伴随着能量的转化，而且能量的转化必须通过做功来实现。
2.几种常见的功能关系
几种常见力做功 对应的能量变化 数量关系式
重力 正功 重力势能减少 WG=-ΔEpG
负功 重力势能增加
弹簧的弹力 正功 弹性势能减少 W弹=-ΔEp弹
负功 弹性势能增加
电场力 正功 电势能减少 W电=-ΔEp电
负功 电势能增加
合力 正功 动能增加 W合=ΔEk
负功 动能减少
重力、系统内弹力以外的其他力 正功 机械能增加 W其他=ΔE
负功 机械能减少
特训点二　摩擦力做功与能量转化的关系(综合提升类)
两种摩擦力的做功情况的比较
类别 静摩擦力 滑动摩擦力
不同点 能量的转化方面　 在静摩擦力做功的过程中，只有机械能从一个物体转移到另一个物体(静摩擦力起着传递机械能的作用)，没有机械能转化为其他形式的能量 (1)相对运动的物体通过滑动摩擦力做功，将部分机械能从一个物体转移到另一个物体 (2)部分机械能转化为内能，此部分能量就是系统机械能的损失量
一对摩擦力的总功方面 一对静摩擦力所做功的代数和总等于零 一对相互作用的滑动摩擦力对物体系统所做的总功，等于摩擦力与两个物体相对路程的乘积且为负功，即Wf=-Ff·x相对，表示物体克服摩擦力做功，系统损失的机械能转化成内能
相同点 正功、负功、不做功方面 两种摩擦力对物体都可以做正功、负功，还可以不做功
典例 [摩擦力做功与能量转化的关系](2024·杭州上城区期中)如图所示，半径R=1.0 m的光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，轨道的一个端点B和圆心O的连线与水平方向夹角θ=37°，另一个端点C为轨道的最低点。C点右侧的水平地面上紧挨着C静止放置一足够长的木板，木板质量M=0.5 kg，上表面与C点等高。质量m=0.5 kg的物块(可视为质点)从空中A点以v0=1.2 m/s的速度水平抛出，恰好从轨道的B端沿切线方向进入圆弧轨道。已知物块和木板间的动摩擦因数μ1=0.2，木板与水平地面之间的动摩擦因数μ2=0.05，g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。求：
(1)物块从A点到B点的运动时间和物块在B点时重力的功率；
(2)物块在经过C点时，圆弧轨道对物块的支持力大小；
(3)经过足够长时间，物块与木板之间因摩擦产生的热量Q1以及木板与水平地面之间因摩擦产生的热量Q2。
①审题关键点：半径R=1.0 m的光滑圆弧轨道，物块(可视为质点)从空中A点以v0=1.2 m/s的速度水平抛出，恰好从轨道的B端沿切线方向进入轨道。
②解题切入点：a.求解物块在B点竖直方向的速度大小，根据运动学公式求解物块从A点到B点的运动时间，根据功率计算公式求解物块在B点时重力的功率；b.从B到C根据动能定理求解物块在C点的速度大小，在C点根据牛顿第二定律求解支持力大小；c.物块相对于木板滑动过程中，对物块、木板根据牛顿第二定律求解加速度大小，求出共速时二者的位移大小，再求出二者一起减速过程中的位移大小，根据摩擦力乘以相对距离求解产生的热量。
求解物体相对滑动的能量问题的方法
(1)正确分析物体的运动过程，做好受力情况分析。
(2)利用运动学公式，结合牛顿第二定律分析物体的速度关系及位移关系。
注意：无论是计算滑动摩擦力做功，还是计算静摩擦力做功，都应代入物体相对地面的位移。
(3)公式Q=Ff·x相对中x相对为两接触物体间的相对位移，若物体在接触面上做往复运动，则x相对为两物体总的相对路程。
对点特训
1.[传送带模型中的功能关系]如图所示，某工厂用传送带向高处运送物体。将一物体轻轻放在传送带底端，第一阶段物体被加速到与传送带具有相同的速度，第二阶段物体与传送带相对静止，匀速运动到传送带顶端。下列说法正确的是 (　　)
A.第一阶段摩擦力对物体做正功，第二阶段摩擦力对物体不做功
B.第一阶段摩擦力对物体做的功等于第一阶段物体动能的增加量
C.第一阶段物体和传送带间因摩擦产生的热量等于第一阶段物体机械能的增加量
D.物体从底端到顶端全过程机械能的增加量大于全过程摩擦力对物体所做的功
2.[板块模型中的功能关系](2024·江苏南京师大附中高三期中)(多选)一长木板静止于光滑水平面上，一小物块(可视为质点)从左侧以某一速度滑上木板，最终和木板相对静止一起向右做匀速直线运动，如图。物块从滑上木板到和木板相对静止的过程中，物块的位移是木板位移的4倍，设板、块间滑动摩擦力大小不变，则 (　　)
A.物块动能的减少量等于木板动能的增加量
B.摩擦力对木板做的功等于木板动能的增加量
C.因摩擦而产生的热量等于物块克服摩擦力所做的功
D.因摩擦而产生的热量是木板动能增加量的3倍
特训点三　能量守恒定律的理解及应用(自主冲关类)
1.[能量守恒定律的应用](2024·辽宁大连高三期中)(多选)如图所示，倾角θ=53°的足够长的固定粗糙斜面上有一A点，长度l=0.5 m的木板质量分布均匀，其质量M=3 kg，开始时用外力使木板下端与A点对齐，如图。木块质量m=1 kg，两者用一轻质细绳绕过光滑定滑轮连接在一起，木板与斜面间的动摩擦因数μ=，重力加速度g=10 m/s2，sin 53°=0.8，cos 53°=0.6。现撤去外力让木板由静止开始运动到上端刚好过A点(木块没有碰到定滑轮)，此过程中，下列说法正确的是 (　　)
A.木板和木块组成的系统机械能守恒
B.木板上端刚过A点时速度大小为m/s
C.木板减少的机械能等于木块增加的机械能与系统产生的热量之和
D.系统产生的热量为10 J
2.[能量守恒定律的理解和应用](2024·辽宁沈阳开学考)如图所示，固定斜面的倾角θ=30°，物体A与斜面之间的动摩擦因数μ=，轻弹簧下端固定在斜面底端，弹簧处于原长时上端位于C点。用一根不可伸长的轻绳通过轻质光滑的定滑轮连接物体A和B，滑轮右侧绳子始终与斜面平行，A的质量为2m=4 kg，B的质量m=2 kg，初始时物体A到C点的距离L=1 m，现给A、B一初速度v0=3 m/s，使A开始沿斜面向下运动，B向上运动，物体A将弹簧压缩到最短后又恰好能弹回到C点。已知重力加速度大小g=10 m/s2，不计空气阻力，整个过程中轻绳始终处于伸直状态。求在此过程中：
(1)物体A向下运动，刚到C点时的速度大小；
(2)弹簧的最大压缩量；
(3)弹簧的最大弹性势能。
1.对能量守恒定律的理解
(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
2.应用能量守恒定律解题的思路
(1)分清有多少种形式的能(动能、势能、内能等)发生变化。
(2)明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量
减少，并且列出减少的能量总和ΔE减和增加的能量总和ΔE增的表达式。
(3)列出能量守恒关系式ΔE减=ΔE增。
3.能量问题的解题方法
(1)涉及滑动摩擦力做功的能量问题的解题方法
①当涉及滑动摩擦力做功，机械能不守恒时，一般应用能量守恒定律。
②解题时，首先确定初、末状态，然后分析状态变化过程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加，求出减少的能量总和ΔE减和增加的能量总和ΔE增，最后由ΔE减=ΔE增列式求解。
(2)涉及弹簧弹力做功的能量问题的解题关键
两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统相互作用的过程，具有以下特点：
①能量变化上，如果只有重力和系统内弹簧弹力做功，系统机械能守恒。
②如果系统中每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，则当弹簧伸长或压缩到最大程度时两物体速度相同。
参考答案
知识特训
知识必记
一、
2.(1)能量转化　多少能量　(2)能量的转化　能量转化
二、
1.产生　转化　转移　转化或转移　保持不变
2.普遍适用
3.总和　总和
4.Ff·x相对
基础必验
1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√
2.D　解析：功是能量转化的量度，力对物体做了多少功，就有多少能量发生了转化；并非力对物体做了多少功，物体就具有多少能；也并非物体具有多少能，就一定能做多少功，A、B错误。做功的过程是能量转化的过程，能量在转化过程中总量守恒，并不消失，C错误、D正确。
3.B　解析：游客从跳台下落，开始阶段橡皮绳未拉直，游客只受重力作用做匀加速运动，下落到一定高度时橡皮绳开始绷紧，游客受重力和向上的弹力作用，弹力从零逐渐增大，游客所受合力先向下减小后向上增大，速度先增大后减小，到最低点时速度减小到零，弹力达到最大值，橡皮绳绷紧后弹性势能一直增大，A错误；游客高度一直降低，重力一直做正功，重力势能一直减小，B正确；下落阶段橡皮绳对游客做负功，游客机械能减少，转化为橡皮绳的弹性势能，C错误；绳刚绷紧开始一段时间内，弹力小于重力，合力向下做正功，游客动能在增加，当弹力大于重力后，合力向上对游客做负功，游客动能逐渐减小，D错误。
能力特训
特训点一
1.B　解析：在电梯加速上升的过程中，对滑块受力分析可知，摩擦力沿斜面向上，与速度方向的夹角为锐角，故摩擦力做正功，A错误；根据功能关系可知，弹力和摩擦力做功之和等于滑块的机械能增加量，两力均做正功，故弹力对滑块做的功小于滑块机械能增加量，B正确；由于加速度大小未知，根据题目信息无法判断支持力沿竖直方向分力与重力大小关系，无法判断弹力做功与重力做功大小关系，故无法判断弹力对滑块所做的功与滑块增加的重力势能大小关系，C错误；除重力之外其他力做的功等于滑块机械能的增加量，合力包含重力，故合力对滑块所做的功不等于滑块增加的机械能，D错误。
2.B　解析：在地面附近雨滴做匀速运动，根据动能定理得mgh-Wf=0，故雨滴克服空气阻力做的功为mgh，B正确。
3.BCD　解析：由题图可知，小球的速度先增大后减小，故小球的动能先增大后减小，小球受到弹簧的弹力作用，小球的机械能不守恒，A错误；小球下落时，当重力与弹簧弹力平衡时小球的速度最大，此时小球受到的弹力为2 N，B正确；在小球开始下落至弹簧压缩到最短过程中，只有重力和弹簧弹力做功，故小球与弹簧组成的系统机械能守恒，在压缩弹簧的过程中弹簧的弹性势能增加，故小球的机械能减少，C正确；小球速度最大时，弹簧的弹力为2 N，此时的形变量为0.1 m，故可得弹簧的劲度系数k==20 N/m，弹簧弹力最大时形变量最大，根据胡克定律知，小球受到的最大弹力Fmax=kxmax=20×0.61 N=12.2 N，D正确。
特训点二
典例　(1)0.16 s　8 W　(2)23 N　(3)6 J　3 J
解析：(1)由题意得，物块在B点的速度与竖直方向夹角θ=37°，如图所示
则有tan θ=
物块从A点到B点的运动时间t0=0.16 s
物块在B点时重力的功率P=mgvy=mg·gt0=8 W。
(2)物块在B点的速度vB==2 m/s
从B到C，根据动能定理可得mgR(1+sin θ)=m-m
在C点，根据牛顿第二定律可得FN-mg=m
联立解得FN=23 N。
(3)物块相对于木板滑动过程中，对物块，根据牛顿第二定律可得μ1mg=ma1
对木板，根据牛顿第二定律可得μ1mg-μ2(m+M)g=Ma2
解得a1=2 m/s2，a2=1 m/s2
物块与木板共速时，有vC-a1t=a2t
解得t=2 s
物块与木板的位移分别为
x1=vCt-a1t2
x2=a2t2
解得x1=8 m，x2=2 m
则物块与木板之间因摩擦产生的热量
Q1=μ1mg(x1-x2)
解得Q1=6 J
板块共速后一起做匀减速运动的加速度a3==0.5 m/s2
匀减速的位移x3==4 m
木板与水平地面之间因摩擦产生的热量
Q2=μ2(m+M)g(x2+x3)
代入数据解得Q2=3 J。
对点特训
1.C　解析：对物体进行受力分析知，其在两个阶段所受摩擦力方向都沿传送带向上，与其运动方向相同，摩擦力对物体都做正功，A错误；由动能定理知，合力做的总功等于物体动能的增加量，B错误；物体机械能的增加量等于摩擦力对物体所做的功，D错误；设第一阶段物体的运动时间为t，传送带速度为v，对物体有x1=t，对传送带有x1'=v·t，因摩擦产生的热量Q=Ffx相对=Ff(x1'-x1)=Ff·t，物体机械能增加量ΔE=Ff·x1=Ff·t，所以Q=ΔE，C正确。
2.BD　解析：根据能量守恒定律可知，物块动能减少量等于木板动能增加量与因摩擦产生的热量之和，A错误；根据动能定理可知，摩擦力对木板做的功等于木板动能的增加量，B正确；设物块与木板之间的摩擦力为Ff，木板的位移为x，则物块的位移为4x，物块克服摩擦力所做的功Wf=Ff·4x，对木板，根据动能定理可得木板动能的增加量ΔEk=Ffx，因摩擦产生的热量Q=Ffx相=Ff·3x，可知因摩擦而产生的热量小于物块克服摩擦力所做的功，因摩擦而产生的热量是木板动能增加量的3倍，C错误、D正确。
特训点三
1.BC　解析：由于斜面是粗糙的，木板和木块组成的系统在运动中会因摩擦而产生热量，所以木板和木块组成的系统机械能不守恒，A错误；对木板和木块组成的系统，由能量守恒定律有Mglsin θ-mgl=(M+m)v2+μMglcos θ，解得v= m/s，B正确；根据能量守恒定律可知木板减少的机械能等于木块增加的机械能与系统产生的热量之和，C正确；系统产生的热量Q=μMglcos θ=6 J，D错误。
2.(1)2 m/s　(2)0.4 m　(3)6 J
解析：(1)在物体A向下运动，刚到C点的过程中，应用能量守恒定律可得
μ·2mgcos θ·L=×3m-×3mv2+2mgLsin θ-mgL
解得v=2 m/s。
(2)对A、B组成的系统分析，在物体A从C点压缩弹簧至最短后到恰好返回到C点的过程中，系统动能的减少量等于因摩擦产生的热量，即×3mv2-0=μ·2mgcos θ·2x，其中x为弹簧的最大压缩量，解得x=0.4 m。
(3)设弹簧的最大弹性势能为Epm，弹簧从开始压缩到被压缩至最短过程中，由能量守恒定律可得
×3mv2+2mgxsin θ-mgx=μ·2mgcos θ·x+Epm
解得Epm=6 J。

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