资源简介

专题突破7　卫星变轨问题　双星模型
【目标任务】
1.会处理人造卫星的变轨和对接问题。2.掌握双星、多星系统，会解决相关问题。3.会应用万有引力定律解决星球“瓦解”和黑洞问题。
【能力特训】
素能提优一　卫星变轨和对接问题(综合提升类)
1.变轨原理
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有G=m，如图所示。
(2)卫星在轨道Ⅰ上的A点(轨道Ⅱ近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，有G(3)卫星在椭圆轨道上的B点(轨道Ⅱ远地点)将做近心运动，有G>m，再次点火加速，使G=m，进入圆轨道Ⅲ。
2.变轨过程分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB。卫星在A点加速，则vA>v1，卫星在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论在轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同。
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律=k可知T13.变轨过程中的能量变化
(1)同一轨道上的能量：卫星在稳定轨道(包含圆周轨道、椭圆轨道)上运行，由于卫星只受到万有引力作用，机械能由动能和引力势能组成，机械能是守恒的。
(2)不同轨道上的能量：卫星在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。
①突变模型：卫星的速率增大(发动机做正功)，卫星会做离心运动，轨道半径增大，万有引力做负功，卫星动能减小，由于变轨时遵从能量守恒定律，稳定在圆轨道上时需满足=，则卫星在较高轨道上的运行速率小于在较低轨道上的运行速率，但机械能增大；相反，卫星的速率减小(发动机做负功)，卫星会做向心运动，轨道半径减小，万有引力做正功，卫星动能增大，同理可知，卫星在较低轨道上的运行速率大于在较高轨道上的运行速率，但机械能减小。
②缓变模型：卫星在稀薄大气中运行时，会逐渐(或缓慢)地做向心运动，大气对卫星做负功，卫星的机械能减小。
同样质量的卫星，轨道半径越大，即离地面越高，卫星具有的机械能越大，发射难度越大。
典例1 (2024·黑龙江哈尔滨模拟)在发射一颗人造地球同步卫星时，先将其发射到贴近地球表面运行的圆轨道Ⅰ上(离地面高度忽略不计)，再通过一椭圆轨道Ⅱ变轨后到达距地面高为h的预定圆轨道Ⅲ上。已知它在圆轨道Ⅰ上运行的加速度大小为g，地球半径为R，卫星在变轨过程中质量不变，则(　　)
A.卫星在轨道Ⅲ上运行的加速度大小为()2g
B.卫星在轨道Ⅲ上运行的线速度大小为
C.卫星在轨道Ⅲ上的动能大于在轨道Ⅰ上的动能
D.卫星在轨道Ⅲ上的机械能小于在轨道Ⅰ上的机械能
①审题关键点：先发射到圆轨道Ⅰ上，再通过一椭圆轨道Ⅱ变轨后到达距地面高为h的预定圆轨道Ⅲ上。
②解题切入点：卫星在轨道Ⅲ上运行时，根据牛顿第二定律求解卫星在轨道Ⅲ上的加速度，根据线速度的计算公式求解线速度大小；根据万有引力提供向心力分析线速度大小；根据变轨原理分析机械能的大小。
解决天体(卫星)运动问题的基本思路：a.在地面附近万有引力近似等于物体的重力，即可得到GM=gR2；b.天体运动都可近似地看成匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，根据向心力的计算公式进行分析。
对点特训
1.[卫星变轨问题中各物理量及能量的变化](2024·河南省九师联盟三模)(多选)处理废弃卫星的方法之一是将报废的卫星推到更高的轨道——“墓地轨道”，这样它就远离正常卫星，继续围绕地球运行。我国实践21号卫星(SJ-21)曾经将一颗失效的北斗导航卫星从拥挤的地球同步轨道上拖拽到了“墓地轨道”上。拖拽过程如图所示，轨道1是同步轨道，轨道2是转移轨道，轨道3是“墓地轨道”，则下列说法正确的是(　　)
A.卫星在轨道2上的周期大于24小时
B.卫星在轨道1上P点的速度小于在轨道2上P点的速度
C.卫星在轨道2上Q点的加速度大于在轨道3上Q点的加速度
D.卫星在轨道2上的机械能大于在轨道3上的机械能
2.[对飞船对接问题的考查]2021年10月16日，神舟十三号载人飞船与在轨飞行的天和核心舱顺利实现径向自主交会对接，整个交会对接过程历时约6.5小时。为实现神舟十三号载人飞船与空间站顺利对接，飞船安装有几十台微动力发动机，负责精确地控制它的各种转动和平动。对接前飞船要先到达和空间站很近的相对静止的某个停泊位置(距空间站200 m)。为到达这个位置，飞船由惯性飞行状态转入发动机调控状态，下列方法可行的是 (　　)
A.飞船先到空间站同一圆周轨道上同方向运动，在合适位置减速靠近即可
B.飞船先到与空间站圆周轨道垂直的同半径轨道上运动，在合适位置减速靠近即可
C.飞船先到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可
D.飞船先到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置加速即可
素能提优二　双星或多星模型(综合提升类)
1.双星模型
绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。
2.特点
(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即=m1r1，=m2r2。
(2)两颗星的周期及角速度都相同，即T1=T2，ω1=ω2。
(3)两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1+r2=L。
3.推论
(1)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即=。
(2)双星的运动周期T=2π。
(3)双星的总质量m1+m2=。
4.多星模型
研究星体所受万有引力的合力提供其做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。常见的多星模型及规律：
常见 的三 星模 型 ①+=ma向
②×cos 30°×2=ma向
常见 的四 星模 型 ①×cos 45°×2+=ma向
②×cos 30°×2+=ma向
典例2 (2024·河北石家庄调研)夜空中我们观测到的亮点，其实大部分并不是单一的恒星，而是多星系统。在多星系统中，双星系统是最常见的，图甲为绕连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的由两颗中子星组成的双星系统，其抽象示意图如图乙所示。若两中子星的质量之比mP∶mQ=k∶1，则 (　　)
甲　　乙
A.根据图乙可以判断出k>1
B.若P、Q的角速度和它们之间的距离一定，则P、Q做圆周运动的线速度大小之和一定
C.P的线速度大小与P、Q之间的距离成正比
D.仅增大P、Q之间的距离，P、Q运行的周期变小
①审题关键点：图甲为绕连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的由两颗中子星组成的双星系统。
②解题切入点：双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，利用牛顿第二定律并结合双星模型的特点，即可对各选项进行分析判断，根据题目条件先分析出天体的运动周期，在计算过程中要注意区分星体的运动半径和双星之间的距离的区别，切勿混淆。
对点特训
1.[对双星模型的考查](2024·江苏连云港高三月考)如图所示，某双星系统中质量较大的B星球正在“吸食”质量较小的A星球的表面物质，从而实现质量转移。若“吸食”过程中A、B球心间距离不变，运动轨道均视为圆周，则在“吸食”的最初阶段，下列说法正确的是 (　　)
A.A、B运动的周期变大
B.A、B之间的万有引力保持不变
C.B星球做圆周运动的轨道半径变大
D.A星球做圆周运动的线速度变大
2.[对多星模型的考查](2024·福建三明一模)(多选)宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量相同。现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做圆周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图乙所示。设两种系统中三个星体的质量均为m，且两种系统中各星间的距离已在图甲、图乙中标出，引力常量为G，则下列说法正确的是(　　)
甲　　乙
A.直线三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为
B.直线三星系统中星体做圆周运动的周期为4π
C.三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为2
D.三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为
素能提优三　星球“瓦解”问题　黑洞问题(综合提升类)
1.星球的瓦解问题
当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是赤道上的物体所受星球的引力恰好提供其做圆周运动的向心力，即=mω2R，得ω=。当ω>时，星球瓦解；当ω<时，星球稳定运行。
2.黑洞问题
黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞。当天体的第二宇宙速度(为其第一宇宙速度的倍)大于或等于光速时，该天体就是黑洞。
典例3 2021年11月中国科学院上海天文台与国内外合作者利用“中国天眼”FAST，发现了球状星团NGC6712中的首颗脉冲星，并命名为J1853-0842A，相关研究成果发表在《天体物理学报》上，该脉冲星自转周期T=2.15 ms。假设该星体是质量分布均匀的球体，引力常量为6.67×10-11 N·m2/kg2。已知在宇宙中某星体自转速度过快的时候，该星体表面物质会因为缺少引力束缚而解体，则以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为 (　　)
A.1.3×1010 kg/m3 B.3×1013 kg/m3
C.3×1016 kg/m3 D.3×1019 kg/m3
①审题关键点：该脉冲星自转周期T=2.15 ms，该星体表面物质会因为缺少引力束缚而解体。
②解题切入点：解此题一定要找到该星体以周期T稳定自转的密度最小时的条件。星球赤道表面的物体随脉冲星一起自转时受到的脉冲星的万有引力恰好提供向心力，会用周期表示向心力，还要知道球体的体积公式及密度公式，即可求出脉冲星的最小密度，同时注意公式间的化简。
对点特训
1.[对星球的瓦解问题的考查]我国500 m口径球面射电望远镜(中国天眼)发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转周期T=5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为6.67×10-11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为 (　　)
A.5×109 kg/m3 B.5×1012 kg/m3
C.5×1015 kg/m3 D.5×1018 kg/m3
2.[对黑洞的考查](2024·安徽安庆二模)史瓦西半径是任何具有质量的物质都存在的一个临界半径特征值，该值的含义是：如果特定质量的物质被压缩到此临界半径时，该物质就被压缩成一个黑洞，即此时它的第二宇宙速度等于光速。已知某星球的第二宇宙速度为其第一宇宙速度的倍，该星球半径R=6 400 km，表面重力加速度g取10 m/s2，不考虑星球的自转，则该星球的史瓦西半径约为 (　　)
A.9纳米 B.9毫米
C.9厘米 D.9米
参考答案
能力特训
素能提优一
典例1　B　解析：卫星在轨道Ⅲ上运行时，根据万有引力提供向心力得G=ma=m，在地球表面附近由mg=G得GM=gR2，所以卫星在轨道Ⅲ上的加速度大小a=()2g，线速度大小v=，A错误、B正确；卫星的线速度大小v=，卫星在圆轨道上运行的动能Ek=mv2=，可知卫星在轨道Ⅲ上的动能小于在轨道Ⅰ上的动能，C错误；卫星从轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ要点火加速，机械能增大，从椭圆轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ要再次点火加速，机械能继续增大，所以卫星在轨道Ⅲ上的机械能大于在轨道Ⅰ上的机械能，D错误。
对点特训
1.AB　解析：由于轨道2的半长轴大于轨道1的半径，根据开普勒第三定律可知，卫星在轨道2上的周期大于在轨道1上的周期，则卫星在轨道2上的周期大于24小时，A正确；卫星从轨道1变轨到轨道2需要在P点点火加速，则卫星在轨道1上P点的速度小于在轨道2上P点的速度，B正确；根据牛顿第二定律有G=ma，可得a=G，由于M、r 都相同，可知卫星在轨道2上Q点的加速度等于在轨道3上Q点的加速度，C错误；卫星从轨道2变轨到轨道3需要在Q点点火加速，则卫星在轨道2上的机械能小于在轨道3上的机械能，D错误。
2.D　解析：卫星变轨时，由低轨道进入高轨道需要点火加速，反之要减速，所以飞船先到空间站下方的圆周轨道上同方向运动，在合适的位置加速靠近即可，D正确。
素能提优二
典例2　B　解析：设P、Q之间的距离为L，P做圆周运动的轨道半径为r1，Q做圆周运动的轨道半径为r2，角速度为ω，则有G=mPω2r1，G=mQω2r2，联立可得==，由于r1>r2，则k<1，A错误；根据线速度与角速度之间的关系有vP=ωr1、vQ=ωr2，又r1+r2=L，则vP+vQ=ω(r1+r2)=ωL，可知，若P、Q的角速度和它们之间的距离一定，则P、Q做圆周运动的线速度大小之和一定，B正确；根据G=mP，可得vP==，C错误；根据G=mPr1，G=mQr2，可得T=2π，若仅增大P、Q之间的距离，则P、Q运行的周期将变大，D错误。
对点特训
1.D　解析：设A、B星球的质量分别为mA、mB，稳定的双星系统两星球角速度大小相等，根据万有引力提供向心力，对A星球有G=mAω2rA，同理，对B星球有G=mBω2rB，r=rA+rB，联立可得G=ω2r，则ω=，由于质量在两星球间转移，总质量不变，则角速度大小不变，由T=知A、B星球运动的周期不变，A错误；由万有引力定律有F=G，若mB增大，则mA减小，mAmB乘积变化，可知万有引力变化，B错误；由于两星球的向心力大小始终保持相等，有mAω2rA=mBω2rB，则=，B星球的质量较大，在“吸食”A星球表面物质后质量变大，质量较小的A星球的质量变小，则变大，又r=rA+rB不变，则rA变大，rB变小，由于角速度大小不变，由v=ωr知B星球的线速度变小，A星球线速度变大，C错误、D正确。
2.BD　解析：在直线三星系统中，星体做圆周运动的向心力由其他两星对它的万有引力的合力提供，根据万有引力定律和牛顿第二定律，有G+G=m，解得v=，A错误；由周期T=，知直线三星系统中星体做圆周运动的周期T=4π，B正确；同理，对三角形三星系统中做圆周运动的星体，有2Gcos 30°=mω2·，解得ω=，C错误；由2Gcos 30°=ma，得a=，D正确。
素能提优三　
典例3　C　解析：星球恰好能维持自转不瓦解时，万有引力恰好能提供其表面物体做圆周运动所需的向心力，设该星球的质量为M，半径为R，表面一物体质量为m，有=m，又ρ==，式中ρ 为该星球密度，联立解得ρ=，代入数据可得ρ≈3×1016 kg/m3 ，C正确。
对点特训
1.C　解析：脉冲星稳定自转，万有引力提供向心力，则有G≥mr，又知M=ρ·πr3，整理得密度ρ≥= kg/m3≈5.2×1015 kg/m3，C正确。
2.B　解析：该星球表面附近有=mg，临界状态光速恰好等于其第二宇宙速度，可得第一宇宙速度可表示为v1=，根据万有引力提供向心力可得=m，联立解得R'≈0.009 m=9 mm，B正确。

展开更多......

收起↑