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浙教版2025-2026学年九年级上数学第1章 二次函数 单元培优卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．拋物线y=x2-4x+3与y轴的交点坐标是（　　）
A．(3，0) B．(-4，0) C．(0，3) D．(0，-4)
【答案】C
【解析】将x=0代入拋物线y=x2-4x+3得y=3，
∴ 拋物线y=x2-4x+3与y轴的交点坐标是 （0，3）.
故答案为：C.
2．若二次函数 的图像经过原点，则m的值为（　　）
A．2 B．0 C．2或0 D．1
【答案】A
【解析】∵函数过原点，∴m（m-2）=0，
∴m=0，m=2，又∵函数为二次函数，∴m≠0，
∴m=2，
故答案为：A.
3．抛物线y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是（　　）
A．(3，4) B．(－3，4) C．(3，－4) D．(2，4)
【答案】A
【解析】根据 的顶点坐标为 ，易得抛物线y=2（x﹣3）2+4顶点坐标是（3，4）.故答案为：A.
【分析】由于所给的抛物线的解析式就是顶点式，根据 的顶点坐标为 即可直接得出答案。
4．已知二次函数y＝a(x－1)2＋3，当x＜1时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（　　）
A．a≥0 B．a≤0 C．a＞0 D．a＜0
【答案】D
【解析】∵二次函数y=a（x-1)2+3，
∴该二次函数的对称轴为直线x=1，
又∵当x＜1时，y随x的增大而增大，
∴a＜0.
答案为：D
5．若抛物线的顶点在x轴上，则c的值是（　　）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【解析】∵抛物线y=-x2-4x+c的顶点在x轴上，
∴抛物线y=-x2-4x+c与x轴只有唯一的一个交点，
∴△=b2-4ac=（-4）2-4×（-1）c=0，
∴c=-4．
故答案为：B．
6．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
可知，抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
∴离对称轴越远函数值越小，
∵，，是抛物线上的三点，
且，
∴，
故答案为：D．
7．直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由一次函数的图象可知，，
则抛物线与轴的交点在原点上方，故排除AB选项；
∵，，
∴，
∴抛物线的对称轴直线，
即对称轴位于轴左侧，故C选项不符合题意，D选项符合题意；
故答案为：D。
8． 已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）上两点，且x1＜x2，则下列说法正确的是（　　）
A．若x1+x2＜4，则y1＜y2 B．若x1+x2＞4，则y1＜y2
C．若a（x1+x2﹣4）＞0，则y1＞y2 D．若a（x1+x2﹣4）＜0，则y1＞y2
【答案】D
【解析】∵P1（x1，y1），P2（x2，y2） 是抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）上的两点，
∴y1=ax12-4ax1+c，y2=ax22-4ax2+c，
∴y1-y2=（ax12-4ax1+c）-（ax22-4ax2+c）
=ax12-4ax1+c-ax22+4ax2-c
=a（x12-x22）-4a（x1-x2）
=a(x1-x2)(x1+x2)-4a(x1-x2)
=a(x1-x2)(x1+x2-4)
∵x1＜x2，
∴x1-x2＜0，
当a(x1+x2-4)＜0时，a(x1-x2)(x1+x2-4)＞0，
∴y1＞y2.
故答案为：D.
9．如图，OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上，则a的值为（　　）
A． B． C．﹣2 D．
【答案】B
【解析】如图，连接OB，过B作BD⊥x轴于D，
∴∠BOC＝45°，
∵∠DOC＝15°，
∴∠BOD＝30°；
已知正方形的边长为1，则OB＝，
Rt△OBD中，OB＝，∠BOD＝30°，
∴BD＝OB＝，OD＝cos∠BOD OB＝×＝；
故B（，），
将B（，）代入y＝ax2，得：
（）2a＝，
解得a＝；
故答案为：B．
10．已知二次函数的图像过点，对称轴为直线．下列四个结论：①；②若点，均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④对于任何实数k，关于x的方程必有两个不相等的实数根，其中正确的（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【解析】二次函数的图象经过点，对称轴为直线，
二次函数的图象经过点，
即时，，
，故①正确；
，
点，关于直线对称，
，故②正确；
二次函数的图象过点和，
，
解得，
，
当时，抛物线开口向上，当时，为最小值，
若为任意实数，则；
当时，抛物线开口向下，当时，为最大值，
若为任意实数，则；
故③错误；
由得，
，
又，，
得，，
则△，
关于的方程必有两个不相等的实数根，
故④正确．
故选：B．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知一条抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，它的顶点坐标为，则此抛物线的解析式　 　．
【答案】
【解析】∵抛物线的顶点坐标为（-2，1），抛物线的形状、开口方向与抛物线y=-3x2相同，
∴所求抛物线的解析式为．
故答案为：．
12．将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位后所得到的抛物线的解析式为　 　 ．
【答案】
【解析】将抛物线向右平移个单位后的解析式为，再将向上平移个单位后的解析式为，
故答案为：.
13．已知抛物线 过 和 两点，那么该抛物线的对称轴是直线　 　．
【答案】x=2
【解析】∵抛物线y=ax2+bx+c过（﹣1，1）和（5，1）两点，
∴对称轴为x= =2，
14．若二次函数：y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如表，则a+b+c＝　 　.
x ﹣7 ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2
y ﹣27 ﹣13 ﹣3 3 5 3
【答案】﹣27
【解析】由表格可知对称轴为直线x＝﹣3，
∴x＝1与x＝﹣7对应的函数值相等，
∴x＝1时，y＝﹣27，
∴a+b+c＝﹣27.
故答案为：﹣27.
15．某品牌汽车刹车后行驶的距离s米与行驶的时间t秒的函数关系式是，汽车刹车后到停下来前进了　 　米．
【答案】45
【解析】，
，
时，s取得最大值45，
汽车刹车后到停下来前进了45米，
故答案为：45．
16．当k－2≤x≤k时，函数y＝x2－4x＋4（k为常数）的最小值为4，则k的值是　 　．
【答案】0或6
【解析】∵y=x2-4x+4=（x-2）2
∴顶点坐标为（2，0）
∴当k≤2时，x=k时，函数y=x2-4x+4的最小值为4
故k2-4k+4=4
解得k=0或k=4(舍去)
当k-2≥2时，x= k-2时，函数y=x2-4x+4的最小值为4
故（k-2）2-4（k-2）+4=4
解得k=6或k=2(舍去)
故答案为：6或0．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．二次函数的图象经过点，，.
（1）求此二次函数的关系式；
（2）求此二次函数图象的顶点坐标.
【答案】解：（1）设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，根据题意得，解得，
所以二次函数解析式为；
（2）由（1）可得：，
所以二次函数图象的顶点P坐标为（1，-4）．
18．已知抛物线经过点和点，
（1）求这个抛物线的解析式及顶点坐标．
（2）求抛物线与x轴两个交点之间的距离．
【答案】（1）解：由题意得
解之：
∴抛物线的解析式为： ；
∴y=-2（x+1）2+6，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，6）
（2）解：当y=0，
∴-2（x+1）2+6=0
∴（x+1）2=3，
解之：，
∴抛物线与x轴两个交点之间的距离为.
a，b的值，可得到函数解析式；再将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标.
（2）由y=0可得到关于x的方程，解方程求出x的值，列式计算可得到抛物线与x轴两个交点之间的距离.
19．如图，已知抛物线经过，两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标．
（2）当时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：将点，代入，得
，解得：，
抛物线的解析式为，
，
抛物线的顶点坐标为
（2）解：由图可知，当时，．
20．如图，在直角坐标系中，抛物线交x轴于点A和点，点为抛物线上的一点．
（1）求b的值及该抛物线的对称轴．
（2）若，求n的最大值与最小值的差．
【答案】（1）解：把 代入 ，则 ，
解得 ，
则
那么对称轴 ；
（2）解：由（1）知 ，对称轴 ，
∵ 为抛物线上的一点，且 ，
∴把 ， 和 分别代入 ，
∴当 时，
当 时， ；
当 时， ；
所以n的最大值与最小值的差为 ．
21．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为，试分别确定、的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？
【答案】（1）解：两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，设CG为am，DG为(12-a)m，那么
AD×DC-AE×AH=32
即12×3-1×（12-a）=32
解得：a=8
∴CG=8m，DG=4m．
（2）解：设两块矩形总种植面积为ym2，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，两块矩形总种植面积=BC×DC
即y=x·(21-3x)
∴y=-3x2+21x
=-3(x-)2+
∵21-3x≤12
∴x≥3
∴当BC=m时，y最大=m2．
22．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点.
（1）求的值.
（2）若二次函数的顶点为，求的最大值.
【答案】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
∴
（2）解：∵二次函数的顶点为，
∴，
∴，
∵，
∴的最大值为-3
23．记函数的图象为，函数的图象记为，图象和记为图象G．
（1）若点在图象G上，求m的值．
（2）已知直线l与x轴平行，且与图象G有三个交点，从左至右依次为点A，点B，点C，若，求点C坐标．
（3）若当时，，求n的取值范围；
【答案】（1）解：∵3＞0，
∴
解之：
（2）解：如图，
∵抛物线y=x2-2x=（x-1）2-1，
开口向上，对称轴为直线x=1，
当x=2时y=0；
抛物线 的对称轴为y轴，开口向下，
∵BA=1，
∴点A的横坐标为
当x=时，y=；
当时，
解之：（舍去），
∴点C
（3）解：如图，
∵抛物线G1：y=（x-1）2-1，
∴图象G1的顶点坐标为（1，-1）
当x=-1时，y=x2-2x=1+2=3；
当y=-1时，
解之：，
∴当 时，n的取值范围是.
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其对称轴直线与轴交于点．
（1）求该抛物线的函数表达式为______；
（2）如图1，点为抛物线上第四象限内的一动点，连接，，，求四边形面积最大值和点此时的坐标；
（3）如图2，将该抛物线向左平移得到抛物线，当抛物线经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点，点为抛物线对称轴上的一点，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，请直接写出满足条件的点的坐标______．
【答案】（1）
（2）解：设，
由题意可得，当时，，
解得，，故，
当时，，故，
∵对称轴直线与轴交于点，
∴，
=
=
，
∵，
∴当时最大，最大值为，
当时，，
∴；
（3）或或或
【解析】【解答】（1）解：由题意可得，
，
解得，
∴抛物线解析式为：；
故答案为：；
（3）解：由题意可得，B点移动到了O点，即函数向左平移了6个单位，
，
当时，，
∴坐标为：，
设F点坐标为，
①当，，时，
∵，，，根据平移的性质可得，
∴，
根据可得，
，
，
∴或；
②当， ，时，
∵，，，根据平移的性质可得，
∴，
根据，
，
解得：，
，，
综上所述M点坐标为：或或或．
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浙教版2025-2026学年九年级上数学第1章 二次函数 单元培优卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．拋物线y=x2-4x+3与y轴的交点坐标是（　　）
A．(3，0) B．(-4，0) C．(0，3) D．(0，-4)
2．若二次函数 的图像经过原点，则m的值为（　　）
A．2 B．0 C．2或0 D．1
3．抛物线y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是（　　）
A．(3，4) B．(－3，4) C．(3，－4) D．(2，4)
4．已知二次函数y＝a(x－1)2＋3，当x＜1时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（　　）
A．a≥0 B．a≤0 C．a＞0 D．a＜0
5．若抛物线的顶点在x轴上，则c的值是（　　）
A．4 B． C． D．
6．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
7．直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ）
A． B． C． D．
8． 已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）上两点，且x1＜x2，则下列说法正确的是（　　）
A．若x1+x2＜4，则y1＜y2 B．若x1+x2＞4，则y1＜y2
C．若a（x1+x2﹣4）＞0，则y1＞y2 D．若a（x1+x2﹣4）＜0，则y1＞y2
9．如图，OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上，则a的值为（　　）
A． B． C．﹣2 D．
10．已知二次函数的图像过点，对称轴为直线．下列四个结论：①；②若点，均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④对于任何实数k，关于x的方程必有两个不相等的实数根，其中正确的（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知一条抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，它的顶点坐标为，则此抛物线的解析式　 　．
12．将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位后所得到的抛物线的解析式为　 　 ．
13．已知抛物线 过 和 两点，那么该抛物线的对称轴是直线　 　．
14．若二次函数：y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如表，则a+b+c＝　 　.
x ﹣7 ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2
y ﹣27 ﹣13 ﹣3 3 5 3
15．某品牌汽车刹车后行驶的距离s米与行驶的时间t秒的函数关系式是，汽车刹车后到停下来前进了　 　米．
16．当k－2≤x≤k时，函数y＝x2－4x＋4（k为常数）的最小值为4，则k的值是　 　．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．二次函数的图象经过点，，.
（1）求此二次函数的关系式；
（2）求此二次函数图象的顶点坐标.
18．已知抛物线经过点和点，
（1）求这个抛物线的解析式及顶点坐标．
（2）求抛物线与x轴两个交点之间的距离．
19．如图，已知抛物线经过，两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标．
（2）当时，直接写出的取值范围．
20．如图，在直角坐标系中，抛物线交x轴于点A和点，点为抛物线上的一点．
（1）求b的值及该抛物线的对称轴．
（2）若，求n的最大值与最小值的差．
21．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为，试分别确定、的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？
22．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点.
（1）求的值.
（2）若二次函数的顶点为，求的最大值.
23．记函数的图象为，函数的图象记为，图象和记为图象G．
（1）若点在图象G上，求m的值．
（2）已知直线l与x轴平行，且与图象G有三个交点，从左至右依次为点A，点B，点C，若，求点C坐标．
（3）若当时，，求n的取值范围；
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其对称轴直线与轴交于点．
（1）求该抛物线的函数表达式为______；
（2）如图1，点为抛物线上第四象限内的一动点，连接，，，求四边形面积最大值和点此时的坐标；
（3）如图2，将该抛物线向左平移得到抛物线，当抛物线经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点，点为抛物线对称轴上的一点，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，请直接写出满足条件的点的坐标______．
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