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浙教版2025-2026学年九年级上数学第4章 相似三角形 单元培优卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．若，则（　　）
A． B． C． D．
2．如图，点，在直线上，点，在直线上，且，若，，，，则的值为（　　）
A．3 B．4 C． D．6
（第2题） （第3题） （第4题） （第5题）
3．如图，，，，则等于（　　）
A． B． C． D．
4．如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm，宽为8dm，上下边框的宽度都为xdm，左右边框的宽度都为ydm．则符合下列条件的x，y的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为（　　）
A．x=y B．3x=2y C．x=1，y=2 D．x=3，y=2
5．如图，在中，E是边上一点，连结并延长交的延长线于点F．若，则与的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在矩形中，点在边上，连接，过点作于点．若，，，则（　　）
A．15 B．16 C． D．
（第6题） （第7题） （第8题） （第9题）
7．如图，在四边形中，，连接交于点E，若，，，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，中，点在上，，，，则（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，为内一点，且，则的长为（　　）
A． B． C． D．
10．操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计：
方案一：图形中的圆过点A、B、C；
方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点纸片利用率100%．以上方案一、二的利用率分别为a、b，则（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．若线段 ， ，则线段 ， 的比例中项为　 　．
12．若线段AB＝10，且点C是AB的黄金分割点，且BC＞AC，则BC的长为 　 　．
13．如图，在中，对角线，交于点．是的中点，连结交于点．若的面积为2，则的面积为　 　．
（第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
14．如图，在菱形中，与相交于点O，，垂足为点M，交于点N，连接，若，则的值为　 　．
15．如图，已知，点D是线段BC上的点，点E是线段AD上的点，BD：CD=1：2，AE：ED=2：3，则AF：FC=　 　
16．如图，在矩形内放置6个与正方形相同大小的正方形，点E，F，M，N分别落在上，则的值是　 　，若点C，H，G在同一直线上，正方形的边长是1，则矩形的周长是　 　．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在的正方形网格中，点均在格点上，请按要求作图.
（1）在图1中画一个格点，使.
（2）在图2中画一条格点线段，交于点Q，使.
18．如图，在中，点D、B、C、E在同一条直线上，且．
（1）求证：；
（2）若，求的长度．
19．如图，在和中，，．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
20．如图，在四边形中，，，点在上，．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
21．如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，
（1）求证：
（2）若，求证：
22．如图， 交于点 ，过点 作 交 于点 ．已知 ．设 ．
（1）求 关于 的函数表达式。
（2）若 ，求 的长．
23．
（1）问题发现
如图 1，在正方形 中，点 和 分别在 和 上， ，垂足为点 ．求证： ．
（2）类比探究
如图 2，在矩形 中，点 和 分别在 和 上， ，垂足为点 ．求证： ．
（3）拓展延伸如图 3，在 中， ，点 和 分别在 和 上， 与 交于点 且 ，求 的值．
24．如图1，内接于，，过点C作，交于D，过D作于点E，交于点M，连结．
（1）求证：
①；
②；
（2）如图2，若是中点，求的值．
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浙教版2025-2026学年九年级上数学第4章 相似三角形 单元培优卷 （解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，∴，
∴1，∴，
故答案为：A．
2．如图，点，在直线上，点，在直线上，且，若，，，，则的值为（　　）
A．3 B．4 C． D．6
【答案】C
【解析】∵，∴，
∵，∴，∴，
解得：；
故答案为：C．
3．如图，，，，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
解：∵，，∴．
故选：D．
4．如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm，宽为8dm，上下边框的宽度都为xdm，左右边框的宽度都为ydm．则符合下列条件的x，y的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为（　　）
A．x=y B．3x=2y C．x=1，y=2 D．x=3，y=2
【答案】B
【解析】如图，当矩形ABCD∽矩形EFGH时，有，
∴，
∴3x=2y.
故答案为B.
5．如图，在中，E是边上一点，连结并延长交的延长线于点F．若，则与的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴，，，
∴△CDE∽△FAE，∴，∴，
∴，∴，
∵，
∴△AEF∽△BCF，
∴．
故答案为：D．
6．如图，在矩形中，点在边上，连接，过点作于点．若，，，则（　　）
A．15 B．16 C． D．
【答案】D
【解析】四边形是矩形，，，，
，，
，
于点，
，
，，
，
，
，
故答案为：D．
7．如图，在四边形中，，连接交于点E，若，，，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】∵，∴，
∴，∴，，
∴，∴，
∵，，，∴，
解得，
故答案为：B．
8．如图，中，点在上，，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，作平分线，
设，则，，
，，
，
又，，．
，
，，
．
．
故答案为：C．
9．如图，在中，，，为内一点，且，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，，
∴，
，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得：或（负值不符合题意，舍去），
∴的长为．
故答案为：A．
10．操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计：
方案一：图形中的圆过点A、B、C；
方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点纸片利用率100%．以上方案一、二的利用率分别为a、b，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】方案一中，连接，，，
，
∵棱长为1cm的正方体纸盒，
∴，，
∴，即，
∴为该圆的直径，
∴该圆的半径为：，
∴，
方案二中先将图进行命名：
，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，即，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．若线段 ， ，则线段 ， 的比例中项为　 　．
【答案】6
【解析】设线段 ， 的比例中项为x，
∵线段x是a，b的比例中项，
∴x2=ab，即x2=36，
∴x=6（负数舍去），
故答案为：6．
12．若线段AB＝10，且点C是AB的黄金分割点，且BC＞AC，则BC的长为 　 　．
【答案】-5
【解析】∵AB＝10，点C是AB的黄金分割点，且BC＞AC，
∴BC＝AB＝×10＝-5.
故答案为：-5.
13．如图，在中，对角线，交于点．是的中点，连结交于点．若的面积为2，则的面积为　 　．
【答案】12
【解析】四边形是平行四边形，
，，
是的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
是以对角线、的交点为对称中心的中心对称图形，
将绕点旋转与△完全重合，
，
，
故答案为：12．
14．如图，在菱形中，与相交于点O，，垂足为点M，交于点N，连接，若，则的值为　 　．
【答案】
【解析】∵菱形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：．
15．如图，已知，点D是线段BC上的点，点E是线段AD上的点，BD：CD=1：2，AE：ED=2：3，则AF：FC=　 　
【答案】
【解析】如图，过点D作 交AC于H，
∴设
∴
故答案为：
16．如图，在矩形内放置6个与正方形相同大小的正方形，点E，F，M，N分别落在上，则的值是　 　，若点C，H，G在同一直线上，正方形的边长是1，则矩形的周长是　 　．
【答案】；
【解析】∵矩形，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∴；
设，则，，，
∵，
∴，解得：，
∴
∵，∴，
∵ ∵，
∴，即，解得：，
∴，，
∴矩形的周长是．
故答案为：，．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在的正方形网格中，点均在格点上，请按要求作图.
（1）在图1中画一个格点，使.
（2）在图2中画一条格点线段，交于点Q，使.
【答案】（1）解：如图所示：
即为所求（答案不唯一）；
（2）解：如图所示：
线段即为所求（答案不唯一）.
18．如图，在中，点D、B、C、E在同一条直线上，且．
（1）求证：；
（2）若，求的长度．
【答案】（1）证明：∵
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵∴
∵，
∴，
解得.
19．如图，在和中，，．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
【解析】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
20．如图，在四边形中，，，点在上，．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，，∴，即，
∴，
在中，
在中，
在中，．
21．如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，
（1）求证：
（2）若，求证：
【答案】（1）证明：，
，
在和中，，
，
．
（2）证明：，
，
，即，
在和中，，
，
，
由（1）已证：，
，
．
22．如图， 交于点 ，过点 作 交 于点 ．已知 ．设 ．
（1）求 关于 的函数表达式。
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）解：∵EF∥AB交BC于点F， AE =BC，CE=3. CF=x， AE=y，
∴
∴
∴
（2）解：当x=CF=2时，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴
∵AB=8，
∴
∴CD=4.
23．
（1）问题发现
如图 1，在正方形 中，点 和 分别在 和 上， ，垂足为点 ．求证： ．
（2）类比探究
如图 2，在矩形 中，点 和 分别在 和 上， ，垂足为点 ．求证： ．
（3）拓展延伸如图 3，在 中， ，点 和 分别在 和 上， 与 交于点 且 ，求 的值．
【答案】（1）解：∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ．
∵ ，
∴
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴。
（3）解：过点 作 ，在四边形 中， ，
∴ ，
即 是等边三角形， ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
设 ， ，
∴。
24．如图1，内接于，，过点C作，交于D，过D作于点E，交于点M，连结．
（1）求证：
①；
②；
（2）如图2，若是中点，求的值．
【答案】（1）证明：①，
，
，
，
即：，
．
②过点A作于H，
，
，
由（1）得：，
，
，
，即：，
，
，
（2）解：，，
，
，即：，
，
，
，
∴
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