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浙教版2025-2026学年九年级上数学第3章 圆的基本性质 单元培优卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．若⊙O 是以1为半径的圆，点M在圆内，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】的半径为1，点A在的内部，
.
故答案为：A.
2．如图，四边形是的内接四边形，其中，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴，
∵，
∴.
故答案为：C.
3．如图，正六边形内接于，已知的周长是，则该正六边形的边长是（　　）
A．3 B． C．6 D．
【答案】C
【解析】如图所示：连接，
∵正六边形内接于，，
∵，∴是等边三角形，
∵的周长是，，
，
故答案为：C。
4．如图，的半径是，，则下列各个量不能根据现有条件求出的是（　　）
A．的大小 B．的长度 C．的长度 D．的面积
【答案】D
【解析】∵
∴，故A选项不符合题意；
如图所示，过点O作于点D
∵的半径是，
∴
∵
∴AB=2BD，
∴
∴
∴
∴，故B选项不符合题意；
∵，
∴，故C选项不符合题意；
∵，但点C的位置不固定，即点C到AB的距离不固定
∴△BC的面积不能根据现有条件求出，故D符合题意．
故答案为：D．
5．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③平分弦的直径垂直弦；④相等的圆周角所对的弧相等．其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【解析】①直径是弦，说法正确；
②经过不在同一直线上的三点可以作圆，原说法错误；
③平分弦的直径垂直弦，这条弦应强调不是直径，故错误；
④在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，原说法没有加条件限制，故错误；
综上可得只有①正确．
故答案为：D.
6．如图，把绕着点顺时针方向旋转，得到△，点刚好落在边上．则　　
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得：，
∵把绕着点顺时针方向旋转，得到△，点刚好落在边上，
∴，
∴．
故选：D．
7．如图，四边形内接于，是的直径．若的半径为，，则的长度为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，连接．
四边形内接于，
，
，
，．
，
，
的半径为6，
的长度为．
故选：B．
8．如图，是的直径，弦，垂足为．若，则的半径为（　　）
A． B． C．5 D．6
【答案】C
【解析】连接，如图所示：
是的直径，弦，垂足为，，
由垂径定理可得，
设，则，
在中，，，，，由勾股定理可得
即，解得，
的半径为，
故答案为：C．
9．计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：
若圆半径为1，当任务完成的百分比为 时，线段 的长度记为 ．下列描述正确的是（　　）
A．
B．当 时，
C．当 时，
D．当 时，
【答案】D
【解析】A、d（25%）= ＞1，本选项不符合题意．
B、当x＞50%时，0≤d（x）＜2，本选项不符合题意．
C、当x1＞x2时，d（x1）与d（x2）可能相等，可能不等，本选项不符合题意．
D、当x1+x2=100%时，d（x1）=d（x2），本选项符合题意．
故答案为：D．
10．如图，扇形中，，点为的中点，将扇形绕点顺时针旋转，点的对应点为，连接，当时，阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，连接，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴三点共线，
∴阴影部分的面积为，
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．正八边形的每个内角等于　 　度.
【答案】135
【解析】∵正八边形的外角和为360°，
∴正八边形的每个外角的度数：，
∴正八边形的每个内角：.
故答案为：135.
12．两直角边长分别为6和8的直角三角形的外接圆直径是　 　．
【答案】10
【解析】解、∵在Rt△中，斜边=，
而直角三角形的外接圆直径即是直角三角形斜边，
∴直角三角形的外接圆直径=10.
13．在半径为2的中，弦的长为2，则弦所对的圆心角的度数为　 　．
【答案】60°
【解析】连接OA、OB，如图：
∵
∴为等边三角形，
∴
∴弦所对的圆心角的度数为：60°，
故答案为：60°.
14．如图，已知点、、、在上，弦、的延长线交外一点，，，则的度数为　 　．
【答案】
【解析】∵，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
15．如图， 经过 Rt 的直角顶点 ，交 于点 ，交 于点 ，交 于点 ，且满足 ，则 的半径为　 　．
【答案】
【解析】如图， 过点O作OM⊥AB于点M， ON⊥BC于点N，OP⊥AC于点P， 连接OC，
∵DE=FC=CG，
∴OM=ON=OP，
MD=ME=NF =NC = PC = PG，
∴小⊙O是Rt△ABC的内切圆， 四边形CPON是正方形，
∴AP =AM， BM=BN， CP=CN， △CNO是等腰直角三角形，
∴AG=AD， BF = BE，
设DE=FC=CG=x(x>0)，
所以
在 ‘中，由勾股定理得： 即
解得： (不合题意，舍去)，
∴
是等腰直角三角形，
∴⊙O的半径为
故答案为：
16．图1是微信朋友圈的图案，它是中心对称图形，图2是其示意图．其作图过程为：取正八边形中心点O，延长，交于点M，为半径作，再延长正八边形其余七边得到的八等分点．若，则　 　．
【答案】
【解析】连接，，过C作于T，
在正八边形中，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴等腰直角三角形，则，
由勾股定理得，
∴，则，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
如图，OA=OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．
（1）求证：AC＝BD．
（2）若CD＝4，EF＝1，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：∵OE⊥AB，
∴CF＝DF，
∵OA＝OB，
∴AF＝BF，
∴AF﹣CF＝BF﹣DF，
∴AC＝BD；
（2）解：如图，连接OC，
∵OE⊥AB，
∴
设⊙O的半径是r，
∵CO2＝CF2+OF5，
∴r2＝25+（r﹣1）2，
∴，
∴⊙O的半径是．
18．如图，在中，，将绕B点逆时针旋转得到，使得点恰好落在上，延长交于点D．
（1）求的度数；
（2）若是的中点，求的度数．
【答案】（1）解：∵绕B点逆时针旋转得到∴
（2）解：连接
∵绕B点逆时针旋转得到
∵绕B点逆时针旋转得到
，
是的中点，
垂直平分

【解析】【分析】（1）根据旋转可得，即可得到出，然后根据等边对等角得到，再根据三角形内角和定理解题；
（2）连接 ，根据，可得，即可得到，然后根据等腰三角形的性质解答即可.
19．如图，在锐角三角形ABC中，，以BC为直径作，分别交AB，AC于点D，E.
（1）求证：.
（2） ，求线段AD的长（用含r的代数式表示）.
【答案】（1）解：如图，连接BE，
∵BC是直径，
∴BE⊥AC，
∵AB=BC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴.
（2）解：连接CD，
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∵ ，
∴∠DCB=∠DBC=45°，BC=2r，
∴BD=BC=，AB=BC=2r，
∴AD=AB-BD=2r-=（2-）r.
20．如图，在中，，，以点为圆心，长为半径的与相交于点，连接．
（1）求的度数．
（2）若，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：，，
．
，
，
．

（2）过点作的垂线，垂足为，
，，
是等边三角形，
，．
又，
，
，
．
又，
．
21．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米.
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？
【答案】（1）解：连接OA，
由题意得：AD AB＝30（米），OD＝（r﹣18）米，
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，
解得，r＝34（米）；
（2）解：连接OA′，
∵OE＝OP﹣PE＝30米，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，
解得：A′E＝16（米）.
∴A′B′＝32（米）.
∵A′B′＝32＞30，
∴不需要采取紧急措施.
22．如图，四边形ABCD内接于⊙O， BD为直径，AC平分∠BCD，
（1）若BC=5cm，CD=12cm，求AB的长；
（2）求证：BC+CD=AC．
【答案】（1）解：∵BD为直径，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∵CD=12cm，BC=5cm，
∴BD=13（cm），
∵AC平分∠BCD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴AB=AD，
∴AB=AD=BD=，故AB的长为．
（2）证明：将△ACD绕点A顺时针旋转90°后可得△ABC'，
由旋转性质可得：△ACD△ABC'，∠CAC'=90°，CA=C'A，
∴AC'=AC，CD=BC'，∠ADC=ABC'，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC+∠AD'B=180°，
又∵∠CAC'=90°，CA=C'A，
∴△C'AC是等腰直角三角形，
∴CC'=，
∴BC+C'B=，
∴BC+CD=．
23．如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC，弦CD与AB交于点E，，过点A作AF⊥BC于点F．
（1）判断∠ABC与∠ABD的大小关系，并说明理由；
（2）求证：AC＝2CF+BD；
（3）若 S△CFA＝S△CBD，求的值．
【答案】（1）解：∠ABC＝∠ABD；理由：
∵，
∴，
∴，
∴∠ABD＝∠BAC，
∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠ABD；
（2）证明：过点C作CH⊥DB交DB的延长线于H，
∵AF⊥BC，
∴∠AFC＝∠CHB＝90°，
∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴∠ACF＝180°-∠BAC-∠ABC＝180°-2∠ABC，
由（1）知，∠ABC＝∠ABD，
∴∠CBH＝180°-∠ABD＝180°-2∠ABC，
∴∠ACF＝∠CBH，
∵AC＝BC，
∴△ACF≌△CBH（AAS），
∴CF＝BH，AF＝CH，
∵，
∴AB＝CD，
∴Rt△ABF≌Rt△CDH（HL），
∴DH＝BF，
∴AC＝BC＝CF+BF＝CF+DH＝CF+BD+BH＝CF+BD+CF＝2CF+BD，
即AC＝2CF+BD；
（3）解：过点C作CH⊥DB交DB的延长线于H，
∵S△CFA＝S△CBD，
∴AF CF＝BD CH，
由（2）知，AF＝CH，
∴CF＝BD，
设BD＝x，则CF＝x，
∴AC＝2CF+BD＝3x，
根据勾股定理得，AF＝
∴
24．已知△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，连接AD，AC与BD交于点E．
（1）如图1，求证：∠ABD＋∠ACB＝90°；
（2）如图2，过点A作AG⊥BC，垂足为点G，AG交BD于点F，若EF＝ED，求证：AB＝BC；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作BD的平行线交AG的延长线与点H，交⊙O于点P，连接BH，若∠BHP＝45°，CH＝6，求线段BH的长．
【答案】证明：（1）∵BD为⊙O的直径，
∴，
∴，
∵，
∴∠ABD＋∠ACB＝90°；
（2）连接，
∵为⊙O的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即是的垂直平分线，
∴；
（3）由（2）知：，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
作于点，
则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
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浙教版2025-2026学年九年级上数学第3章 圆的基本性质 单元培优卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．若⊙O 是以1为半径的圆，点M在圆内，则（　　）
A． B． C． D．
2．如图，四边形是的内接四边形，其中，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
（第2题） （第3题） （第4题） （第6题）
3．如图，正六边形内接于，已知的周长是，则该正六边形的边长是（　　）
A．3 B． C．6 D．
4．如图，的半径是，，则下列各个量不能根据现有条件求出的是（　　）
A．的大小 B．的长度 C．的长度 D．的面积
5．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③平分弦的直径垂直弦；④相等的圆周角所对的弧相等．其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图，把绕着点顺时针方向旋转，得到△，点刚好落在边上．则　　
A． B． C． D．
7．如图，四边形内接于，是的直径．若的半径为，，则的长度为(　　)
A． B． C． D．
（第7题） （第8题） （第9题）
8．如图，是的直径，弦，垂足为．若，则的半径为（　　）
A． B． C．5 D．6
9．计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：
若圆半径为1，当任务完成的百分比为 时，线段 的长度记为 ．下列描述正确的是（　　）
A．
B．当 时，
C．当 时，
D．当 时，
10．如图，扇形中，，点为的中点，将扇形绕点顺时针旋转，点的对应点为，连接，当时，阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
（第10题） （第14题） （第15题） （第16题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．正八边形的每个内角等于　 　度.
12．两直角边长分别为6和8的直角三角形的外接圆直径是　 　．
13．在半径为2的中，弦的长为2，则弦所对的圆心角的度数为　 　．
14．如图，已知点、、、在上，弦、的延长线交外一点，，，则的度数为　 　．
15．如图， 经过 Rt 的直角顶点 ，交 于点 ，交 于点 ，交 于点 ，且满足 ，则 的半径为　 　．
16．图1是微信朋友圈的图案，它是中心对称图形，图2是其示意图．其作图过程为：取正八边形中心点O，延长，交于点M，为半径作，再延长正八边形其余七边得到的八等分点．若，则　 　．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，OA=OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．
（1）求证：AC＝BD．
（2）若CD＝4，EF＝1，求⊙O的半径．
18．如图，在中，，将绕B点逆时针旋转得到，使得点恰好落在上，延长交于点D．
（1）求的度数；
（2）若是的中点，求的度数．
19．如图，在锐角三角形ABC中，，以BC为直径作，分别交AB，AC于点D，E.
（1）求证：.
（2） ，求线段AD的长（用含r的代数式表示）.
20．如图，在中，，，以点为圆心，长为半径的与相交于点，连接．
（1）求的度数．
（2）若，求图中阴影部分的面积．
21．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米.
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？
22．如图，四边形ABCD内接于⊙O， BD为直径，AC平分∠BCD，
（1）若BC=5cm，CD=12cm，求AB的长；
（2）求证：BC+CD=AC．
23．如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC，弦CD与AB交于点E，，过点A作AF⊥BC于点F．
（1）判断∠ABC与∠ABD的大小关系，并说明理由；
（2）求证：AC＝2CF+BD；
（3）若 S△CFA＝S△CBD，求的值．
24．已知△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，连接AD，AC与BD交于点E．
（1）如图1，求证：∠ABD＋∠ACB＝90°；
（2）如图2，过点A作AG⊥BC，垂足为点G，AG交BD于点F，若EF＝ED，求证：AB＝BC；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作BD的平行线交AG的延长线与点H，交⊙O于点P，连接BH，若∠BHP＝45°，CH＝6，求线段BH的长．
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