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2024-2025 学年湖南省长沙市地质中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设 1， 2是两个单位向量，且| 1 3 2| = 13，那么它们的夹角等于( )
A. 2 5 6 B. 3 C. 3 D. 6
2.若 = 0.3，0.3 2 = 2， = 0.32，则实数 , , 之间的大小关系为( )．
A. > > B. > > C. > > D. > >
3.《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图
所示，直角三角形中最小的一个角为 (0° < < 45°)，且小正方形与大正方形的面积之比为 1：4，则
=( )
A. 4 73
B. 4+ 73
C. 4+ 75
D. 4 75
4.已知函数 ( ) = 3 2 2 + 1，则下列说法正确的是( )
A. ( )的极小值为 2 B. ( ) 23的极大值为 27
C. ( ) ( 1在区间 3 , 1)上单调递增 D. ( )在区间( ∞,0)上单调递减
5.已知函数 ( ) = + ， ( ) = + ，若 ( 1) = ( 2)，则 1 2的最小值为( )
A. B. 1 C. 1 D. 2
6.如图，平面四边形 中， ⊥ ， = 3， = 2，△ 为等边三角形，现将△ 沿 翻折，
使点 移动至点 ，且 ⊥ ，则三棱锥 的外接球的表面积为( )
A. 8 B. 6 C. 4 D. 8 23
7.已知函数 ( ) = sin( + )(0 < < 10)，若存在实数 1， 2，使得 ( 1) ( 2) = 2，且| 1 2| = ，
则 的最大值为( )
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A. 9 B. 8 C. 7 D. 5

8.在平行四边形 中， = ， ( 是平行四边形 内 包括边界)一点， = ，若 =
|
+
| | |
，则 + 的取值范围为( )
A. [1,2] B. [1, 32 ] C. [
1 3
2 , 2 ] D. [0,1]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 1， 2分别为双曲线的左、右焦点，过 1的直线交双曲线左、右两支于 ， 两点，若△ 2为等腰
直角三角形，则双曲线的离心率可以为( )
A. 2 + 1 B. 3 C. 5 + 2 2 D. 5 2 2
10 1.已知函数 ( ) = 2
2 + ( )
A.若 ( )在[2, + ∞)上单调递增，则实数 的取值范围是( ∞,6]
B.若 ( )在(0,2]上存在单调递减区间，则实数 的取值范围是( ∞,6]
C.当 = 2， ( )在区间[ 1, + 1]上不单调，则实数 的取值范围是( 3, 1) ∪ (0,2)
D.若 ( )的单调递减区间为(0,2]，则 = 6
11.曲线的曲率就是针对曲线上 个克的切线方向角对弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度，曲率越大，
= ( ) ( , ( )) ( ) = | ″( )|表示曲线的弯曲程度越大．曲线 在点 处的曲率 2 1.5，其中 ′′( )是 ′( )[1+( ′( )) ]
的导函数( )
A.若函数 ( ) = 3.则曲线 = ( )在点( , 3)与点( , 3)处的弯曲程度相同
B.若 ( )是二次函数．则曲线 = ( )的曲率在顶点处取得最小值
C.若函数 ( ) = ，则函数 ( )的值域为[0,1]
D.若函数 ( ) = 1 2 ( > 0)，则曲线 = ( )上任意一点的曲率的最大值为 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若存在直线与曲线 ( ) = 3 ， ( ) = 2 + 都相切，则 的范围是______．
13 .已知 1， 2是函数 ( ) = 2 ( + ) 3( > 0, | | < 2 )的两个零点，且| 1 2| = 6，若将函
( ) 数 的图象向左平移3个单位后得到的图象关于 轴对称，且函数 ( )在( 6 , )内恰有 2 个最值点，则实数
的取值范围为______．
14.设抛物线 2 = 4 ，点 是抛物线的焦点，点 (0, )在 轴正半轴上(异于 点)，动点 在抛物线上，若
∠ 是锐角，则 的范围为______．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图，在长方体 1 1 1 1中， 1 = 1 1 = 2， = 2 2， 1 与 1交于点 ， 的中点为 ．
(Ⅰ)求证： ⊥平面 ；
(Ⅱ)求直线 1 与平面 所成角的正弦值；
(Ⅲ)求平面 与平面 夹角的余弦值．
16.(本小题 15 分)
设函数 ( ) = 2．
(1)若函数 ( )有两个极值点，求实数 的取值范围；
(2) ( ) 9设 ( ) = ( 2) ，若当 < 0 时，函数 ( )的两个极值点 1， 2满足 1 < 2，求证： ( 2) > 4．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 1 + 1 1 2 , ( ) = 2 + 2 ，其中 ∈ ．
(1)求函数 ( )的最小值；
(2)若 ( ) = 4 ( ) + 4 4+ ( ) 8 有两个极值点 1， 2( 1 < 2)，求实数 的取值范围，并证明： 1 < 21
( 2) < 6 + 4 2. .
18.(本小题 17 分)
定义在 上的连续函数对任意实数 ， ，恒有 ( ) + ( ) = ( + )，且当 > 0 时， ( ) < 0，又 (1) = 23．
(1)求证： ( )为奇函数；
(2)求函数 ( )在[ 3,6]上的最大值与最小值．
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19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln( + 1) ．
(1)求函数 ( )在区间[0, ]上的最大值；
(2)求函数 ( )零点的个数．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.[ 1, + ∞)
13.( 5 , 4 6 3 ]
14.(0,1) ∪ (1,9)
15.解：(Ⅰ)证明：建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得
(0,0,0)， (2 2, 0,0)， (2,0,0)， 1(0,0,2)， (2 2, 2,0)，
因为 1 与 1交于点 ，在长方体中可得 为 1 的中点，所以
( 2, 1,1)，
为 的中点，所以 ( 2, 2,0)，
所以 = ( 2, 1,1)， = ( 2, 2,0)， = (0, 1,1)，
= 2 ( 2) + 1 × 2 + 1 × 0 = 0
所以

，即 ⊥ ，
= 2 × 0 + 1 × ( 1) + 1 × 1 = 0
⊥ ，
即 ⊥ ， ⊥ ，而 ∩ = ，
所以 ⊥平面 ；
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 1 = ( 2 2, 0,2)， = (2,0,0)， = ( 2, 1,1)，
设面 的法向量 1 = ( 1, 1, 1)，

则 1
= 0 2 1 = 0
，即 ，
1 = 0 2 1 + 1 + 1 = 0
令 1 = 1，
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则 1 = (0,1, 1)，

所以 cos < >= 1
2
1， 1 = 8+4 2 =
6
，
| 1| | | 6
设直线 1 与平面 所成角为 ，
则 = | < 1， > | =
6
1 ，6
所以直线 1 与平面 所成角的正弦值为
6；
6
(Ⅲ)设面 的法向量 2 = ( 2, 2, 2)， = (0,2,0)， = ( 2, 1,1)，
2 = 0 2 2 = 0则 ，即 ，令 = 2，
2 = 0 2
2
2 + 2 + 2=0
可得 2 = ( 2, 0,2)，
所以 cos < 1， >=
1 2 = 2 32 | ， = 1| | 2| 2 2+4 3
设平面 与平面 夹角为 ，则 = |cos < 31， 2 > | = ，3
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 3．
3
16.解：(1)由题意可得 ′( ) = + 1 2 = 0 有 2 个变号零点，
2 = +1故 有 2 个变号零点，
+1
令 ( ) = ，则 ′( ) = 2，
当 > 1 时， ′( ) < 0，函数单调递减，当 0 < < 1 时， ′( ) > 0，函数单调递增，
又 → 0 时， ( ) → ∞， →+∞时， ( ) > 0，且当 = 1 时，函数取得极大值也是最大值 (1) = 1，
故 0 < 2 < 1，
即 0 < < 12
(2)证明： ( ) = ( 2) ( ) =
2 ，
2
则 ′( ) = 2 1 =
2 1
，
1
由题意得， 1 + 2 = 2，
∵ 1 <
1
2，∴ 2 > 4，
( 1由 ′ 2) = 0 可得 = 2 2 < 0，2 2
解得 0 < 2 <
1
2，
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由于 2 ≤ 2 1 恒成立( 2 = 1 时取等号)
∴ ( 2) = 2(
2( 2 1)
2 1) 2 ≥ 2( 2 1) ( 2 1) = (2 1) ( 2 1)，2 2
1
1
= 1 + 41 + (2 2)
2 2
令 = 12 2，则 = +
1
4 在(0,
1
4 )上单调递减，
= 1当 4时， 取得最小值，
( ) ≥ 1 + + 1 > 1 + 5 9故 2 4 4 = 4．
17. 1 1 1 1解：(1)对 ( ) = 1 + 求导可得 ′( ) = 2 = 2 ，
令 ′( ) = 0，得 = 1，
所以当 0 < < 1 时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 > 1 时， ′( ) > 0， ( )单调递增．
所以函数 ( )的最小值为 (1) = 0；
(2) ( ) = 4 ( ) + 4 4 + ( ) = 4 +
1 2
2 + 2 ( > 0)，
4 2+2 +4
求导可得 ′( ) = + + 2 = ，
因为函数 ( )有两个极值点 1， 2( 1 < 2)，
所以导函数有两个正的零点 1， 2( 1 < 2)，且在零点左右附近导数值异号，
所以二次函数 = 2 + 2 + 4 必有两个正的零点，
+ = 2 > 0
故 1 22 ，解得 < 2，即实数 的取值范围是( ∞, 2)． = 4 16 > 0
又 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 4，代入 ( 2)中可得
( 2) = 4 +
1 2 1 22 2 2 + 2 2 = 4 2 + 2 2 ( 1 + 2) 2 = 4
1 22 2 2 4( 2 > 2)，
2
设 ( ) = 4 12
2 4( > 2) 4 4 ，则 ′( ) = = < 0，
所以 ( ) < 4 2 12 × 2
2 4 = 4 2 6，即 ( 2) < 6 + 4 2．
又由(1)中可知 ( ) = 1 + 1 ≥ 0(在 = 1 取等号)，
所以当 > 2 时， > 1 1 ，再结合 1 2 = 4，
1
可得 ( ) = 4 22 2 2 2 4 > 4(1
1
)
1 2 1 2 4 1 4 2 4 8
2 2
2 4 = 2 2 = 2 ( ) 4 = 1 ，2 1 2 11
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所以 81 2 < ( 2)．1
8
综上， 1 2 < ( 2) < 6 + 4 2 成立． 1
18.(1)证明：令 = ，得 ( ) + ( ) = ( ) = (0)，
令 = 1， = 0，得 (1) + (0) = (1)，所以 (0) = 0，
所以 ( ) + ( ) = 0，即 ( ) = ( )，
所以 ( )为奇函数．
(2)解：设 1， 2 ∈ ，且 1 < 2，
则 ( 2) = (( 2 1) + 1) = ( 2 1) + ( 1)，即 ( 2) ( 1) = ( 2 1)，
因为 2 1 > 0，所以 ( 2 1) < 0，
所以 ( 2) ( 1) < 0，所以 ( )为 上的减函数．
(1) = 2 4因为 3，所以 (2) = (1) + (1) = 3，
(3) = (1) + (2) = 2， (6) = (3) + (3) = 4，
因为 ( )在 上是减函数，
所以 ( ) = ( 3) = (3) = 2， ( ) = (6) = 4．
19. 1解：(1) ′( ) = 1 +1 ，
令 ( ) = 1 1 1 +1 ，则 ′( ) = (1+ )2 + ，
所以 ∈ [0, ]，所以 ′( ) = 1(1+ )2 + > 0，所以 ′( )在[0, ]上单调递增，
又 ′(0) = 1 1 0 = 1，
′( ) = 1 1 +1 = 2
1
+1 > 0，
故存在唯一 0 ∈ (0, )，使得 ′( 0) = 0，
故 ( 0)为[0, ]上的极小值，
又 (0) = 0， ( ) = ln( + 1) > = 2 > 0，
故函数 ( )在区间[0, ]上的最大值为 ln( + 1)．
(2)函数 ( )的定义域是( 1, + ∞), ′( ) = 1 1 +1 ，
①当 ∈ ( 1,0] 时， +1 ≤ 0， > 0，
所以 ′( ) = +1 < 0，所以 ( )在( 1,0]上单调递减，
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又 (0) = 0，所以 ( ) ≥ 0，故此时 ( )的零点为 = 0；
②当 ∈ [0, ]时，由(1)知，函数 ( )在区间(0, ]上有唯一零点；
③当 ∈ ( , + ∞)时，令 ( ) = ln( + 1)， ∈ ( , + ∞)，
则 1 ′( ) = 1 +1 = +1 > 0，
所以 ( )在( , + ∞)上单调递增，
所以 ( ) > ( ) = ln( + 1) > 2 = 2 > 1．
又 ≤ 1，故对任意 ∈ ( , + ∞)，都有 ( ) > 0，
所以函数 ( )在区间( , + ∞)上没有零点，
综上，函数 ( )有且仅有 2 个零点．
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