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四川省资阳市2025年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试数学试题
全卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4 页。全卷满分 150分。考试时间共120分钟。
注意事项：
1.答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号。考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
2.第Ⅰ卷每小题选出的答案须用 2B 铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案。
3.第Ⅱ卷各题须用 0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上对应题号答题位置作答。在试卷上作答，答案无效。
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、选择题(本大题共 10小题，每小题 4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. - 的相反数是
A. - 4 B. - C. D. 4
2.如图1是由6个相同的正方体堆成的物体，则该物体的左视图是
3.2025 年政府工作报告显示，我国 2024 年新能源汽车年产量突破 1300 万辆.将数“1300万”用科学记数法表示为
A. B. C. D.
4.下列计算正确的是
B. 3b-b=3 C. D.
5.某年级7名教师某周使用人工智能(AI)办公的次数分别为：5，2，6，9，5，5，3.这组数据的众数和中位数分别为
A. 6, 5 B.5, 9 C. 5, 6 D. 5, 5
6.已知数轴上点A所表示的数是 ，则与点A相距2个单位长度的点表示的数是
或 或
7.三角形的周长为48cm，则它的三条中位线组成的三角形的周长是
A. 12cm B. 24cm C. 28cm D. 30cm
8. 如图2, 在射线BA, BC上, 分别截取BM, BN, 使BM=BN;再分别以点M和点 N为圆心、大于线段MN一半的长为半径作圆弧, 在∠ABC内, 两弧交于点 D, 作射线BD; 过点 D作DE∥BC交BA于点 E. 若∠BDE=30°, 则∠AED的度数是
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 75°
9.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有这样一个题目：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一.并五关所税，适重一斤.问本持金几何.”大意是：今有人持金出五关，第1关收税金为所持金的 ，第2关收税金为此时所持金的 ，第3关收税金为此时所持金的 第4关收税金为此时所持金的 ，第5关收税金为此时所持金的 .五关税金之和恰好重1斤，问原本持金多少
A. 斤 B. 斤 C. D.
10. 如图3, 在四边形ABCD中, AB∥DC, AD⊥DC,AB=4, AD=DC=2, E是线段AD的中点, F是线段AB上的一个动点.现将△AEF沿EF所在直线翻折得到△A′EF(图3的所有点在同一平面内)，连接A′B, A′C, 则△A′BC面积的最小值为
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷(非选择题 共110分)
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
11.使代数式 有意义的实数x的取值范围是 .
12.一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.抛掷这枚骰子，则朝上一面所标的数字为奇数的概率为 .
13. 方程 的解为x= .
14. 如图4, 在四边形ABCD中, ∠A=∠B , 点E在线段AB上,CE∥DA.若使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是
15. 如图5, 在正六边形ABCDEF中, AB=2, 连接AC, AE, 以点D为圆心、CD的长为半径作圆弧CE，则图中阴影部分的面积是 .
16.如图 6，在平面直角坐标系中，O为坐标原点.抛物线 )与y轴相交于点 A(0，2)，且抛物线的对称轴为直线x=-1.给出以下4个结论：
①abc＜0; ②对于任意实数 m, 的值不小于 2；③若 P 是对称轴上的一点，则OP+AP的最小值为 ④若点(x , y ), (x , y )在抛物线上, 满足 且 则一定有
其中，所有正确结论的序号为 .
三、解答题(本大题共8个小题，共86分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(9分)先化简, 再求值: 其中a=2.
18.(10分)为丰富学生课外锻炼活动，某学校增设了 A (足球)、B(篮球)、C(体操)、D(田径)四个锻炼项目，每名学生只能选择其中的一项.为了解学生的选择情况，随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图 7所示的两幅不完整的统计图.根据图中所提供的信息，解答下列问题：
(1)本次调查共抽取了 名学生，并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，求项目C对应的圆心角度数；
(3)已知选择项目D的学生是2名男生和2名女生.现从这4名学生中随机抽取2名参加比赛，用画树状图或列表法求抽到两名性别相同的学生的概率.
19.(10分)如图8，在平面直角坐标系中，O为坐标原点.一次函数y=kx-2的图象与 x 轴交于点A(-1,0),与反比例函数 的图象交于点 B(-2，a)，射线 BO 与反比例函数的图象交于点 C,连接AC.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求△ABC的面积.
20.(10分)某社团计划开展手工制作活动，制作需使用A，B两款材料包.购买3份A款材料包和2份B款材料包需84元，购买2份A款材料包和3份B款材料包需86元.
(1)问购买一份A款材料包和一份B款材料包各需多少元
(2)该社团打算购买 A，B两款材料包共 50份，总费用不超过 830元，则至少购买A款材料包多少份
21.(11分)如图9，已知水平地面AM上方有一个水平的平台 BN，该平台上有一个竖直的建筑物 CD.在A 处测得建筑物顶端 C 的仰角为30°, 在 B 处测得 C的仰角为 60°, 斜坡 AB的坡度i=1:3, AB=10 米, CD⊥BD. (点A, B, C, D在同一竖直平面内).
(1)求平台BN的高度；
(2)求建筑物的高度(即CD的长).
22. (11 分)如图 10, ⊙O 是△ABC 的外接圆, AB 是⊙O 的直径，∠BAC的平分线交⊙O于点 D，过点 D作 BC的平行线交AC的延长线于点 E.
(1) 求证: DE是⊙O的切线;
(2)若∠BAC=60°, CE= , 求⊙O的半径.
23. (12分)在四边形ABCD中, E是边 BC上的一点, O是对角线AC的中点.
(1)如图11-1, 四边形ABCD是正方形, 连接OE, 作OF⊥OE交CD于点F,求证: OE=OF;
(2) 如图11-2, 四边形ABCD是平行四边形, BE:EC=1:2, 连接AE, 作EF⊥AE交CD于点F, 连接OF, 求 的值；
(3)如图11-3, 四边形 ABCD是菱形, ∠B=60°, BC=6, 连接DE交AC于点 G,F是边AB上的一点, ∠EDF=30°, 若 求OG的长.
24.(13分)如图12，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点(点A在点 B的左边),与y轴相交于点 C (0,-3),且抛物线的顶点坐标为(1,-4).
(1)求抛物线的表达式；
(2)P是抛物线上位于第四象限的一点，点D(0,-1), 连接 BC, DP 相交于点 E,连接 PB. 若△CDE 与△PBE 的面积相等，求点 P的坐标；
(3)M，N是抛物线上的两个动点，分别过点 M，N作直线 BC 的垂线段，垂足分别为 G，H.是否存在点 M，N，使得以 M，N、G、H为顶点的四边形是正方形 若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由.
资阳市2025年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试
数学参考答案及评分意见
说 明：
1.解答题中各步骤所标记分数为考生解答到这一步应得的累计分数。
2.参考答案一般只给出该题的一种解法，如果考生的解法和参考答案所给解法不同，请参照本答案及评分意见给分。
3.考生的解答可以根据具体问题合理省略非关键步骤。
4.评卷时要坚持每题评阅到底，当考生的解答在某一步出现错误、影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变问题的内容和难度，可视影响程度决定后面部分的给分，但不得超过后继部分应给分数的一半；如果这一步后面的解答有较严重的错误，就不给分；若是几个相对独立的得分点，其中一处错误不影响其他得分点的得分。
5.给分和扣分都以1分为基本单位。
6.正式阅卷前应进行试评，在试评中须认真研究参考答案和评分意见，不随意拔高或降低给分标准，统一标准后须对全部试评的试卷予以复查，以免阅卷前后期评分标准宽严不同。
一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分).
1—5: CDBCD 6—10: ABCAB
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
11. x≥1 12. 13. 2
14.根据已知条件和所增加的一个条件，能得到△BCE 为等边三角形即可.如：∠B=60°(∠BCE=60°或∠BEC=60°或∠A=60°); 或 BC=BE(CE=BE); 或∠BEC=∠ECB(∠B=∠ECB, 或∠A=∠ECB); 或△BCE中, BC边上的中线垂直于BC等等.
16. ②③④
三、解答题(本大题共8个小题，共86分)
17. 解: 原式= ÷ ……………………………………………………4分.
= × ........................................6分
……………………………………………………………………………………8分.
当a=2时, 原式=3……………………………………………………………………………………9分
18. 解: (1) 80…………………………………………………………………………………………..2分
1
(2)C所在扇形的圆心角的度数为 ×3600=720………………………………………………… 7分
(3)树状图与列表法分别如下：
…………………………………………………………………………………………….. 9分
所以，抽到性别相同的学生的概率 ………………………………………….10分
19. 解: (1)将A(-1,0)代入y= kx-2,
得-k-2=0, 解得k=-2, ……………………………………………………………………… 1分
所以，一次函数的表达式为y=-2x-2………………………………………………………….2分
将点B(-2,a)代入y=-2x-2,
得-2×(-2)-2=a, 解得a=2.
即B(-2, 2). ……………………………………………………………………………………3分
把B(-2, 2)代入 得 即m=-4.
所以，反比例函数的表达式为 …………………………………………………… 5分
(2)由(1)知, 点B的坐标为(-2, 2),
依题意，点B，C关于原点对称，
所以C(2, - 2). ……………………………………….7分
过点 B，C作x轴的垂线，垂足分别为点 E，F.
可知BE=2, CF=2, OA=1. ……………………………8分
△ABC的面积.
=2.
所以, △ABC的面积为2. …………………………………………………………………10分2
20.解：(1)设购买一份A款材料包需x元，购买一份B款材料包需y元.
依题意，得……………………………………………………………………3分
解得
答：购买一份A款材料包需16元，购买一份B款材料包需18元. ……………………………5分
(2)设购买A 款材料包m份，则购进B款材料包(50-m)份. …………………………………6分
依题意, 得16m+18 (50-m)≤830, ………………………………………………………………8分
解得m≥35.
答：至少购买A款材料包35份. …………………………………………………………………10分
21. 解:(1)过点B作BE⊥AM于点 E.
在Rt△ABE中, …………………………………………………………………1分
设BE=x (米), 则AE=3x (米),
则 ………………………………………………………………………3分
解得x=10(米).
即平台的高度为10米. ……………………………4分
(2)延长CD交AM于点 F.
可知四边形 BEFD 为矩形,则DF=BE=10米,
由(1)可知, AE=30米. 5分
设CD=h (米),
在Rt△BCD中, 则 所以
则CF=(h+10)米, 米. ……………………………………………………7分
在Rt△ACF中,
所以 ……………………………………………9分
解得 (米).
所以，建筑物的高度(CD为( 米. ……………………………11分3
22.(1)证明: 方法1 连接OD.
因为AB是⊙O的直径，
所以∠ACB=90°. 1分
因为DE∥BC,
所以∠E=90°.
则∠EAD+∠ADE=90°. 2分
因为AD平分∠BAC,
所以∠EAD=∠DAB.
又因为OA=OD,
所以∠DAB=∠ADO.
所以∠EAD=∠ADO. 4分
所以∠ADO+∠ADE=90°, 即OD⊥DE.
所以DE是⊙O的切线. 5分
方法2 连接OD, 交BC于点 F. 1分
因为AD平分∠BAC,
所以∠CAD=∠DAB.
所以
所以OD⊥BC. 3分
因为DE∥BC,
所以OD⊥DE.
又点D在⊙O上，
所以DE是⊙O的切线. 5分
(2) 解: 由(1)可得, 四边形 DECF 为矩形.
所以 7分
因为∠BAC=60°,∠ACB=90°,
所以∠ABC=30°.
在Rt△BOF中, OB=2OF. ·9分
设OB=x, 则(
所以. 解得
即⊙O的半径为：2 . 11 分
23.(1)证明: 连接OD. 1分
因为四边形ABCD是正方形，O为AC中点，
所以OD=OC, ∠ODF=∠OCE=45°.
又因为OE⊥OF.
所以∠EOF=90°.
4
又因为∠DOC=90°,
所以∠DOF=∠COE. 2分
在△ODF和△OCE中,
所以△ODF≌△OCE.
所以OE=OF 3分
(2) 解: 过点 E作 EG⊥BC交AC于点 G.
由 得
又由 得
故BC = =3 ………………………4分
由BE:EC=1:2, 得
在Rt△GEC中, 则
所以 5分
因为∠AEF=∠GEC=90°,
所以∠AEG=∠FEC.
又因为∠AGE=∠GEC+∠GCE=∠OCF+∠GCE=∠FCE,
所以△AGE∽△FCE 6分
所以 即 得 又
则
所以 7分
(3)解:连接BD.过点 F作 DA的垂线,交 DA 的延长线于点 H.
由
得AF=2.
5
因为∠ABC=60°,
所以∠HAF=60°.
在Rt△AHF中,
则DH=7. 9分
又因为
所以∠ADF=∠ODG.
又因为∠DHF=∠DOG=90°,
所以△DHF∽△DOG, 则 = 11分
又 则
所以 12分
24.解：(1)设抛物线表达式为 1分
由抛物线过点 C(0, - 3), 得( 解得a=1.
所以，抛物线的表达式为 即y =x2 - 2 x - 3 . 3分
(2)方法1过点P作x轴的垂线，交x轴于点 F.
因为△CDE与△PBE的面积相等,
所以△BOC与四边形BODP的面积相等. 4分
设点P(t, t -2t-3),其中0＜t＜3,
则点 F坐标为(t, 0).
所以△BOC的面积
四边形 BODP 的面积
S = ×（1-t2+2t +3）t + ×（3-t）×（-t2+2t+3） …5分
所以
整理得
解得 (舍去),
点P的纵坐标
所以点P的坐标为 7分
方法2 连接PC,BD,过点P作CD的垂线,垂足为 F.
因为△CDE与△PBE的面积相等,
6
所以 与 的面积相等，即
则点 P 和点 C到直线BD 的距离相等.
所以直线 PC∥BD. 4分
易证
所以 = 5分
设 其中0＜t＜3.
则 解得 则
所以点 P的坐标为 7分
方法3 连接PC,BD,过点P作直线CD的平行线,交BD 于点F.
因为△CDE与△PBE的面积相等,
所以△BCD与△PBD的面积相等，即
则点 P 和点 C到直线 BD的距离相等.
所以直线PC∥BD. 4分
设直线 BD的表达式为y= kx+b.
易知点B的坐标为(3，0)，
则 则
所以直线BD的表达式为
由BD∥PC,CD∥PF得, 四边形 PFDC是平行四边形.
则 PF=CD=2. … 5分
设 其中0＜t＜3, 则
由 解得 (舍去),
则
所以点 P的坐标为 ( , - ) 7分
方法4 连接PC,BD、过点P作直线CD的平行线,交BD 于点 F.
因为△CDE与△PBE的面积相等,
所以△BCD与△PBD的面积相等，即
则点 P 和点 C到直线 BD 的距离相等.
7
所以直线 PC∥BD 4分
直线 BD的表达式为
设点 其中0＜t＜3, 则
所以 , 5分 6分
由 得 解得 (舍去),
点 P的纵坐标
所以点 P的坐标为 7分
(3)满足条件的点 M、N存在. 8分
理由如下：
①若点 M，N分别在直线BC的两侧，不妨令点 M在直线BC上方，点N在直线BC下方，如图.可知∠MGH=90°,
则∠MGN=∠MGH+∠HGN＞90°, 不合题意. 9分
②若点 M，N在直线BC的下方，
不妨设点M在点 H下方，如图.
直线BC的表达式为y=x-3.
连接MH, 则△MGN为等腰直角三角形, ∠HGN=45°,可得GN⊥y轴, MH⊥x轴.
设点M坐标为( 其中0＜m＜3,
则点 H坐标为(m, m-3),
根据正方形的特征，可得点 N坐标为
将点N坐标代入抛物线表达式.
得
即
化简得
因为0＜m＜3.
8
所以 进一步化为
解得 (舍去).
此时 正方形边长为……………………………………11分
③若点 M,N在直线 BC的上方,
不妨设点M在点 H上方，如图.
设点 其中 或
根据正方形的特征，点N坐标为
将点 N的坐标代入抛物线的表达式.
得
即
化简得
由于m＜0或
则
进一步化为
解得 (舍去),
此时 正方形边长为
综上所述，正方形边长为 或9 ………………… 13分

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