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2024-2025学年福建省漳州市华安一中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知变量和的统计数据如表，若由表中数据得到回归直线方程为，则时的残差为( )
A. B. C. D.
4.在三棱锥中，是平面内一点，且，则( )
A. B. C. D.
5.设离散型随机变量的分布列如右表，若随机变量，则( )
A. B. C. D.
6.已知随机事件、，，，，则( )
A. B. C. D.
7.若函数在上单调递增，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若甲、乙、丙三个人独立破译密码机的概率分别为、、，则密码机被破译的概率为
B. 若随机变量且，则的最小值为
C. 若随机变量，则
D. 若随机变量，若，，则
10.已知函数，则( )
A. 关于对称
B. 的极小值点为
C. 有三个零点
D. 直线是曲线的一条切线
11.如图，正方体的棱长为，下列说法正确的是( )
A. 直线与所成的角为
B. 直线与平面所成角的余弦值为
C. 点到平面的距离为
D. 二面角的大小为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数为奇函数不为偶函数，则实数的值是______．
13.在空间直角坐标系中，点，，，则到直线的距离为______．
14.，，且，不等式恒成立，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在处取得极值．
求的值；
求在区间上的最大值和最小值．
16.本小题分
目前，江苏省城市足球联赛简称“苏超”战火正燃某大型企业工会为了丰富员工的业余体育文化生活，传播足球运动文化，组建了足球社团企业为了解员工喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女员工各名进行调查，部分数据如表所示：
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男
女
合计
求，的值，试运用独立性检验的思想方法判断，能否有的把握，认为该企业员工喜欢足球与性别有关？
年月日，“苏超”联赛将在南京奥体中心体育场迎来常规赛第轮比赛该企业足球社团计划赛事当天组织部分“球迷”现场观赛，先从这名参与调查且喜欢足球的员工中按性别用分层抽样的方法抽取人，然后再从这人中随机抽取人担任现场观赛“球迷”，记抽出的人中女性的人数为，求的分布列和数学期望．
附：，其中．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，．
求二面角的余弦值；
点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离．
18.本小题分
已知函数，
讨论函数的单调性；
若有两个解，求的范围；
若曲线在点处的切线与轴垂直，不等式对恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
教育部印发的进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知中提出，中小学校要保障学生每天校内、校外各小时体育活动时间，每天统一安排分钟的大课间体育活动一学校某体育项目测试有的人满分，而该校有的学生每天运动时间超过两个小时，这些人体育项目测试满分率为．
从该校随机抽取三人，三人中体育项目测试相互独立，求三人中满分人数的分布列；
现从每天运动时间不超过两个小时的学生中任意调查一名学生，求他体育项目测试满分的概率；
测试前甲、乙、丙三人传球做热身训练，每次传球，传球者等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，第次由甲将球传出，求第次传球后球在乙手中的概率．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.导函数
根据题意可得，代入得：，解得，
经检验，符合题意；
因此的值为．
当时，函数，导函数
令导函数，解得，舍去，
当，；当，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以时，取到极小值也是最小值；
又，，从而可求最大值为，
故最大值为，最小值为．
16.因为男、女员工各名，所以容易得到，，
零假设：该企业员工喜欢足球与性别无关，
将表格数据代入公式可以得到，
因为，
故可以认定有的把握认为满意度与性别有关；
由分层抽样可以求得，男性人数为：人，女性人，
所以的取值为，，，
根据古典概型可得，，，
的分布列为：
所以．
17.记的中点为，连结，
因为，，，
所以四边形是矩形，则，，
以为原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
所以，
令，则，
设平面的一个法向量为
所以，
令，则，
所以，
由图可知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
依题意，设，则，
又由得平面的一个法向量为，
记直线与平面所成角为，
所以，
解得负值舍去，
所以，则，
而由得平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为．
18.由题意的定义域为，
，
当时，恒成立，在上单调递减；
当时，令，得，令，得，
故在上单调递减，在上单调递增；
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
由知，当时，在上单调递减，
此时不可能有两个解，舍去；
当时，在单调递减，在单调递增，
故，
且当时，，且时，，
要想有两个解，需满足，即，解得，
即的取值范围为；
，依题意：，解得：，
，
又对恒成立，即，
在上恒成立．
令，，
当，时，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
，
故，
的取值范围为．
19.该校随机抽取三人，每个人满分的概率为，
设抽取的三人中满分人数为，
则的所有可能取值为，，，，
则，，
，，
则的分布列为：
用表示事件“抽到每天运动时间超过两个小时的学生”，
则，，
用表示事件“抽到体育项目测试满分的学生”，
则，且，
又因为
所以，
所以；
记表示事件“经过次传球后，球在乙的手中”，
设次传球后球在乙手中的概率为，，，，，，
则有，
所以，
所以，
即，，，，，
所以，且，
所以数列表示以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以，
即第次传球后球在乙手中的概率．
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