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2024-2025学年甘肃省白银重点中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，集合，当集合中有且只有一个元素时，则满足条件的集合的个数为( )
A. B. C. D.
2.一枚骰子连续抛掷两次，在第一次抛出的点数是的情况下，第二次抛出的点数是奇数的概率为( )
A. B. C. D.
3.已知曲线在处的切线方程为，则( )
A. B. C. D.
4.已知点，，，若，，三点共线，则，的值分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
5.一袋中有白球个、红球个，从中任取个球，记红球的个数为，已知的取值为，，则( )
A. B. C. D.
6.假设有两个分类变量，，它们的可能取值分别为和，其列联表为
合计
合计
以下各组数据中，对于同一样本能说明与有关系的可能性最大的一组为( )
A. ，，， B. ，，，
C. ，，， D. ，，，
7.如图，一环形花坛分成，，，，五块区域，现有种不同的花供选种，要求在每块区域里种一种花，且相邻的块区域种不同的花，则不同的种法总数为( )
A.
B.
C.
D.
8.若数列是公比为的等比数列，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某种细胞在培养正常的情况下，时刻单位：分与细胞数单位：个的部分数据如下表所示：
若与线性相关，由上表数据求得经验回归方程为，则下列说法正确的是( )
A. 与正相关
B.
C. 细胞数逐分增加，平均每分钟增加个左右
D. 预计分钟后细胞数约为个
10.某次体育比赛团体决赛实行五场三胜制，且任何一方获胜三场即比赛结束甲、乙两个代表队最终进入决赛，根据双方排定的出场顺序及以往战绩统计分析，甲队依次派出的五位选手分别战胜对手的概率如下表：
出场顺序 号 号 号 号 号
获胜概率
若比赛结束时甲队获胜的场数为，且，则( )
A. B. C. D.
11.已知函数，则以下结论正确的是( )
A. 在上单调递增，在上单调递减
B.
C. 函数只有个零点
D. 存在实数，使得方程有个实数解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数在上单调递减，则实数的取值范围为______．
13.抛物线：与直线交于，两点，且的中点为，则的斜率为______．
14.已知点，，，，点在直线上运动，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知在中，内角，，所对的边分别为，，，_____在，，且；，且中任选一个条件填在上面横线中，并解答下列问题．
求角的大小；
若，求的面积的最大值．
注：若选择两个条件分别作答，则按第一个解答计分．
16.本小题分
已知函数在处取得极小值．
求，的值；
当时，求的最大值．
17.本小题分
如图，转盘被分成个均匀的扇形区域，其转盘游戏规则：用力旋转转盘，转盘停止时箭头所指区域的数字就是游戏所得的点数转盘停留的位置是随机的，由于分界线较粗，假设箭头指到区域分界线的概率为，同时规定所得点数为某同学进行了一次游戏，记所得点数为．
求；
求的分布列及数学期望．
18.本小题分
如图，在四棱柱中，侧棱底面，底面为梯形，，，，点，分别为，的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求二面角的余弦值；
Ⅲ在线段上是否存在点，使与平面所成角的正弦值是，若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知为坐标原点，为圆上的动点，过作直线垂直轴于点，点满足
求动点的轨迹的方程
若直线：与曲线交于，两点，求三角形面积的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.若选，根据题意可知，向量，
，
即，
即，
即，
即，
可得，即；
由余弦定理得，
又，；
若选，由，得，即，
又，即，根据正弦定理得，
，即，
，，，
，；
由知，由余弦定理得，
即，，即，
当且仅当时等号成立，
，
故的面积的最大值为．
16.解：由题意可得，
因为函数在处取得极小值，
所以，解得，
当时，则，，
当或时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则函数在处取得极小值，符合题意，
所以．
因为，由可知：在内单调递减，在内单调递增，
且，，即，
所以当时，求的最大值为．
17.依题意有；
根据题意可知，，，，
又，，，，
所以的分布列为：
所以的数学期望为．
18.Ⅰ证明：连接，
点，分别为，的中点，
，C.
四边形是平行四边形．
，
平面，平面，
平面；
Ⅱ解：平面，，
平面．
以为坐标原点，分别以直线，为轴，轴建立空间直角坐标系，则轴在平面内．
，，，，
，．
设平面的法向量为，
由，取，得；
平面的法向量为，
，
又二面角为锐角，
二面角的余弦值是；
Ⅲ解：在线段上存在点，使与平面所成角的正弦值是．
证明如下：设点，，
设与平面所成角为，
，解得．
．
19.设，，则，
，
，
，，
，
；
代入，整理可得，
设，，则，
，
到直线：的距离为，
三角形面积为，
三角形面积的最大值为．
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