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2024-2025学年甘肃省定西市陇西一中高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知，是偶函数，则( )
A. B. C. D.
4.如图，在正方体中，若，分别是棱和的中点，则和所成的角是 ( )
A. B. C. D.
5.已知是第四象限角，若，则( )
A. B. C. D.
6.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，则( )
A. B. C. D.
7.深受广大球迷喜爱的某队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，甲球员能够胜任大前锋、小前锋、组织后卫以及得分后卫四个位置，且出场率分别为，，，，当甲球员担当大前锋、小前锋、组织后卫以及得分后卫时，球队输球的概率依次为，，，当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线：的右焦点为，过作过第一象限的渐近线的垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，若，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆：，则下列结论正确的是( )
A. 的取值范围为
B. 圆关于直线对称
C. 若直线被圆截得的弦长为，则
D. 若，过点作圆的一条切线，切点为，则
10.已知正实数，满足，则下列不等式恒成立的为( )
A. B. C. D.
11.抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴已知抛物线：的焦点为，准线为，，为抛物线上两个动点，且，，三点不共线，抛物线在，两点处的切线分别为，，，，在上的射影点分别为，，则( )
A. 点关于的对称点在上 B. 点在上
C. 点为的外心 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量，的夹角，，，则 ______．
13.一个盒子里有个红个绿个黄四个相同的球，每次拿一个，记下颜色后放回，一共拿次，设拿出黄球的次数为，则______．
14.对任意，函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
年月日，第届亚洲马拉松锦标赛在浙江嘉兴盛大启幕为了解观众的观赛体验，从现场随机抽取了位观众开展相关调查，得到满意率为．
根据所给数据，完成列联表；
性别 满意度 合计
满意 不满意
男性
女性
合计
在的条件下，依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与满意度有关联？
附：，．
16.本小题分
在数列中，已知，数列为等差数列，，．
求数列的通项公式；
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
17.本小题分
已知点是离心率为的椭圆上的一点．
求椭圆的方程；
点在椭圆上，点关于坐标原点的对称点为，直线和的斜率都存在且不为，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由．
18.本小题分
如图，在边长为的正方形中，点、分别是、上的点，，将，分别沿，折起，使点，重合于点．
求证：平面平面；
求二面角的正弦值．
19.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
当恒成立时，求的取值范围；
证明：．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：根据题意，补全列联表如下：
性别 满意度 合计
满意 不满意
男性
女性
合计
零假设：性别与满意度无关，
此时，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为性别与满意度有关联，此推断犯错误的概率不大于．
16.由，
可得数列是以为首项，为公比的等比数列，
可得；
由，，
可得，，
设数列的公差为，可得，即有，
所以；
，
所以，
两式相减得，
所以，
所以．
17.解：由，可得，即，
将点代入椭圆方程可得，
由可得，，
所以椭圆方程为．
由题意可得在椭圆上，直线和的斜率分别为，均存在，设，
则，，则，
又因为点在椭圆上，所以，即，
代入可得，，
所以直线和的斜率之积为定值．
18.证明：，，，，平面，
平面，又平面，平面平面．
解：设与交于点，连接，在平面内作于点，
在平面内作于点，连结，
，，面，平面，，
，平面，，平面，
平面，，，，平面，
平面，又平面，，
又，，，平面，
平面，又平面，，
为二面角的平面角，
，，，，，
平面，，，，
，，
，，
即二面角的正弦值为．
19.解：，，
当时，易知，所以函数在上单调递减，
当时，令，解得，
令，解得，即在上单调递增，
令，得，即在上单调递减，
综上，当时，函数在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
令，，
，故恒成立，即，
，令，则，
所以在上单调递增，
当时，，又，
有，，即单调递减，
，，即单调递增，
所以，
所以当时，成立；
当时，可得，，
所以，
又，
所以存在，使得，即，
，，，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
，由可得，
，
综上，的取值范围为；
证明：由知，当时，有，即，
令，得，
，
，
即．
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