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2024-2025学年安徽省蚌埠市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则集合( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，若，则的( )
A. 最小值为 B. 最大值为 C. 最小值为 D. 最大值为
4.在线性回归模型中，能说明模型的拟合效果越好的是( )
A. 残差图带状区域越宽 B. 残差和越小
C. 决定系数越大 D. 相关系数越大
5.下列求导正确的是( )
A. B.
C. D.
6.为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某大学通过随机询问名学生能否做到“光盘”行动，得到如下列联表单位：人：
性别 “光盘”行动
做不到 能做到
女
男
附表：
经计算则下列结论正确的是( )
A. 依据的独立性检验，认为“该校学生能否做到光盘行动与性别有关”
B. 依据的独立性检验，认为“该校学生能否做到光盘行动与性别无关”
C. 依据的独立性检验，认为“该校学生能否做到光盘行动与性别有关”
D. 依据的独立性检验，认为“该校学生能否做到光盘行动与性别无关”
7.已知随机变量服从正态分布，则( )
A. B.
C. D.
8.函数在上的最大值和最小值之和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于的展开式，下列结论正确的是( )
A. 第项为 B. 的系数为
C. 各项系数和为 D. 二项式系数的和为
10.已知函数，则( )
A. 最小正周期为
B. 是该函数的一个极值点
C. 当，的取值范围是
D. 图象可由的图象向右平移个单位长度得到
11.小明是登山运动爱好者，经常与父母一起去爬涂山涂山有甲、乙两条登山路线，通常，当小明与父母一起爬山时，选择甲路线的概率为，当他不和父母一起爬山时，选择乙路线的概率为，若小明与父母一起爬山的概率为，则下列结论正确的是( )
A. “小明与父母一起爬山”与“小明选择甲路线”是相互独立事件
B. 小明与父母一起选择乙路线登山的概率为
C. 小明选择甲路线登山的概率为
D. 已知小明从乙路线登山，则他与父母一起爬山的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，若，则 ______．
13.不等式的解集为______．
14.某外卖电商平台把，，，四个订单分派给小王、小李、小刘三位骑手，每位骑手至少接到单，且每个订单都要有骑手接单订单分派系统通过地址定位发现订单派送位置距离小王太远，因此不会将订单分派给小王，则满足条件的订单分派方案种数为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
判断函数的奇偶性；
讨论函数的单调性．
16.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且．
求；
若为的平分线，点在上，求的长．
17.本小题分
袋子里有除颜色外完全相同的个小球，其中个白球，个黑球，个红球．
若不放回的抽取个小球，求既抽到白球也抽到黑球的概率；
若有放回的抽取次小球，每抽到一次红球得分，抽到白球或黑球不得分求积分的分布列，以及的期望和方差．
18.本小题分
已知函数，．
若，求函数的图象在点处的切线方程；
求函数的单调区间；
若函数在区间存在两个不同零点，，证明：．
19.本小题分
在篮球比赛中，一个赛季结束后，学校球队的成绩为次赢次输为深入挖掘球队潜力，可研究比赛输赢序列中蕴含的规律，其中一种研究方法是分析输赢的游程情况游程是指由相同符号组成的连续序列，该序列前后连接的是不同的符号或无符号游程长度指该连续序列中数据的个数一个序列中有若干游程，这些游程的总个数记为假设校篮球队比赛的输赢序列具有个赢的游程，表示第个赢的游程长度，其中，且，则记向量；表示第个赢的游程以前连续输的次数，表示最后一个赢的游程后面输的次数，其中，且，记向量例如，用表示赢，表示输，当，，一个输赢序列记为这个序列共有个游程，其中个赢的游程，故，，游程的长度依次为，，，，，，，向量，．
已知篮球队的比赛成绩为次赢，次输，即，，若，请写出所有满足条件的输赢序列，以及对应的向量和；
若篮球队有次赢，次输．
求具有个赢的游程的概率；
求具有个游程的概率．
参考答案
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14.
15.根据题意，，其定义域为，
有，则函数为奇函数，
根据题意，，其定义域为，
设，，
又由，则，，，
故，
即函数在上为增函数．
16.解：因为，在中，可得，
所以，
因为，
由正弦定理整理可得：，
解得；
由题意，
由等面积法可得，
即，
解得．
17.既抽到白球也抽到黑球的概率为．
由题设抽到红球的次数为，则，则，
所以的可能取值为，，，，
所以，，
，，
所以的分布列为


所以，
．
18.根据，即函数，得，
那么导函数，得，
因此点处的切线为，即．
根据题意可得导函数，
令导函数，得或，
当时，若时，导函数，那么函数在上单调递增，
若时，，则在上单调递增，
若时，，则在上单调递减，
当时，，那么函数在上单调递增；
当时，若时，导函数，那么函数在上单调递减，
若时，导函数，那么函数在上单调递增，
若时，导函数，那么函数在上单调递增．
综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．
证明：设，
根据第二问，若存在、是在区间的两个不同零点，
那么，且，得，，
那么，
又因为函数在上单调递增，
那么，
又，因此只要证明即可．
设函数，
那么导函数，
因此函数在上单调递增，
因此，
因此当时，成立，
所以当时，成立，
即成立，
即成立．
19.满足条件的输赢顺序及对应向量分别为：
，，，
，，，
，，，
，，，
，，，
，，．
篮球队有次赢，次输赢序列，即“个，个的排列”，共有．
先考虑向量的个数，
即方程，解的个数，为；
再考虑向量的个数，
即方程，解的个数，
令，，，，，，
因为方程，解的个数为，
所以向量的个数为，
故具有个赢的游程的排列有个，
所以具有个赢的游程的概率．
因为输赢的游程个数相差，
故一种可能是个赢的游程，个输的游程，其概率，
另一种可能是个赢的游程，个输的游程，同计算方式知，其概率，
故具有个游程的概率为．
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