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2024-2025学年河北省承德市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知随机变量服从分布，且，则( )
A. B. C. D.
3.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
4.一个不透明的箱子中装有本书，其中有三国演义本，西游记本，每次从该箱子中任取本书，记录下书名后放回，共取次，记取出三国演义的次数为，则( )
A. B. C. D.
5.某班选派名同学到学校的，，这个活动场地做志愿者工作，每个场地至少去名同学，每名同学只能去个场地，且个场地去的同学人数互不相同，则不同的选派方法种数为( )
A. B. C. D.
6.若函数在处有极值，且的所有极值点的符号相同，则实数( )
A. B. C. D.
7.为推动中小学人工智能通识教育的普及与发展，某大学计划招收一批岁的青少年参加暑期夏令营，共有名学生参加选拔测试，其测试成绩满分分，，成绩为分及以上者可以参加夏令营已知参加选拔测试的学生中分及以上的人数为，则估计参加夏令营的人数约为( )
附：，，．
A. B. C. D.
8.若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，且，则( )
A. B.
C. D.
10.某商场的抽奖区有红、黄、绿三个不透明的盒子，其中红盒内有个红球、个黄球和个绿球，黄盒内有个红球、个绿球，绿盒内有个红球、个黄球规定第一次先从红盒内任取个球，再将取出的球放入与球同色的盒子中，第二次从被放入球的盒子中任取个球规定每次抽球均能获得优惠券，抽到红球获得张优惠券，抽到黄球获得张优惠券，抽到绿球获得张优惠券，每张优惠券的金额相同，顾客最终获得的优惠券张数为两次抽球所得的优惠券张数的和，则下列说法正确的是( )
A. 在第一次抽到黄球的条件下，第二次仍抽到黄球的概率是
B. 顾客最终获得张优惠券的概率是
C. 第二次抽到红球的概率是
D. 若第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为
11.已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，为偶函数，，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是______．
13.有张卡片，分别标有数字，，，，，现从这张卡片中随机抽出张，则抽出的张卡片上的数字之和比剩余的张卡片上的数字之和小的概率为______．
14.已知且，若，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
是一种基于人工智能的大型语言模型，它是人们学习、工作与生活的得力助手，但也有部分人认为将在未来取代一部分人的工作现对家企业开展调查，统计的应用程度与一年内招聘人数是增加还是减少，得到统计数据如下表所示．
的应用程度 招聘人数减少的企业数 招聘人数增加的企业数 合计
广泛应用
未广泛应用
合计
求，；
记广泛应用的企业招聘人数减少的概率为，求的估计值；
根据小概率值的独立性检验，能否认为企业招聘人数的增减与的应用程度有关？
附：．
16.本小题分
作为低空经济的主导产业，我国无人机产业近年来呈现出高速发展的态势某无人机生产厂家的某批次的件产品中含有件次品，从中一次性随机抽取件，设这件产品中的次品数为．
若，求的概率；
当为何值时，的概率最大？
17.本小题分
已知函数．
求的极值；
若对任意的，都有，求的最大整数值．
参考数据：，．
18.本小题分
年月，中国新能源汽车零售渗透率突破，进入“以电为主”的新阶段，充电桩的使用率也成为关注焦点经调查，某市今年月份的充电桩日均使用时长时与新能源汽车保有量万辆及充电桩日均使用率，为常数的数据如下表所示：
月份
新能源汽车保有量万辆
充电桩日均使用时长时
充电桩日均使用率
若用充电桩日均使用率近似估计一个充电桩一天内被使用的概率，设该市某个充电桩在月份的某天中被使用的天数为，求的分布列；
求关于的样本相关系数，并说明线性相关程度的强弱；精确到
若关于的经验回归方程为，求的值精确到，并预测当该市某月的新能源汽车保有量为万辆时，充电桩的日均使用率为多少．
参考数据：，．
参考公式：相关系数．
19.本小题分
已知函数，．
求的图象在点处的切线方程；
求的单调区间；
若，且不等式对任意恒成立，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.根据题意可得，；
估计广泛应用的企业招聘人数减少的概率为；
零假设：企业招聘人数的增减与的应用程度无关．
因为，
所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可认为企业招聘人数的增减与的应用程度无关．
16.记“抽取的产品中次品数不超过”为事件，
则；
由题可知，
设，
则，
令，
得，
解得．
故当时，，
当时，，
又，故当时，取得最大值．
所以当时，的概率最大．
17.由题可知的定义域为，导函数，
令导函数，得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
因此当时，函数取得极小值，且无极大值，极小值为．
令函数，那么导函数，
根据第一问知在上单调递增，
且，，
那么在内存在唯一的，使得，即．
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
那么，
于是，
所以的最大整数值为．
18.根据题意可知可知，的所有可能取值为，，，，且，
则，
，
，
，
故的分布列为：
由题可知，，
则，
接近于，与的线性相关程度较强；
由题可知，
解得，
关于的经验回归方程为，
将代入经验回归方程，得，
又，当时，，
故预测当该市某月的新能源汽车保有量为万辆时，充电桩的日均使用率为．
19.根据题可知导函数，则，
又因为，所以的图象在点处的切线方程为．
由题可知导函数，令，可得，
当时，，当时，，
因此函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
证明：根据题可知，即．
由于函数在上单调递增，
，，
因此，使得．
当时，，即．
设函数，那么在上，导函数，
因此函数在上单调递减，
因此当时，．
当时，，即．
设函数，，
那么导函数．
令函数，，那么导函数．
令函数，，
那么导函数，得在上单调递增，
因此导函数，
得在上单调递增，因此，
那么导函数，在上单调递增，
那么．
由题可知，解得．
又，所以．
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