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2024-2025学年山东省聊城市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点，，则( )
A. B. C. D.
2.下列几何体是棱台的是( )
A. B. C. D.
3.( )
A. B. C. D.
4.若数据，，，，，的极差是它们众数的倍，则满足条件的正整数的个数为( )
A. B. C. D.
5.已知正四棱锥的所有棱长均相等，则直线与其它经过该四棱锥的两个顶点的直线所成的角不可能为( )
A. B. C. D.
6.( )
A. B. C. D.
7.在梯形中，，，，当点在内部运动时，的取值区间为，则( )
A. B. C. D.
8.如图，是半径为的半圆的直径，点，在弧上，若，则四边形周长的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知空间中三条不同的直线，，和平面，且，则下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若与相交，则与相交 D. 若与相交，则与相交
10.欧拉公式是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”依据欧拉公式，若，则( )
A. 的虚部为 B.
C. D.
11.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若，，则( )
A. 与的最小正周期相同
B. 与的对称中心完全相同
C. 与在上的值域相同
D. 与的图象在上恰有四个交点时，的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量在单位向量上的投影向量为，则 ______．
13.函数，的单调递减区间为______．
14.已知中，，，若将绕直线旋转一周，所得几何体的内切球半径等于，则该内切球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
对于向量，，定义运算，已知向量，，．
若，求的值；
若，求与夹角的余弦值．
16.本小题分
某校高一年级为了解学生近期的数学学习情况，组织了一次数学阶段测试从所有学生的数学成绩中随机抽取名学生的数学成绩作为样本，整理数据并分成，，，，，这组，得到如图所示的频率分布直方图．
求的值，并估计参加这次测试的学生数学成绩的中位数四舍五入取整数；
从所抽取的数学成绩在，内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样抽取名学生，若这名学生数学成绩的平均数为分，方差为，且这名学生中数学成绩在内的只有名，其数学成绩为分，求这名学生中数学成绩在内的学生数学成绩的平均数与方差．
17.本小题分
如图，已知是圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于，的动点，，是圆柱的两条母线．
证明：平面；
若该圆柱的侧面积等于两底面面积的和，当为弧的中点时，求直线与平面所成角的正切值．
18.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知B.
求角；
若的边上的高等于．
当时，求的值；
求面积的最小值．
19.本小题分
如图，在三棱柱中，，为的中点，平面平面．
求证：是直角三角形；
为的中点，为与的交点，点在线段上，，若平面．
求侧面与底面所成二面角的正弦值；
若点到平面的距离为，求三棱柱的体积．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为，，
所以，，
因为，所以，解得；
向量，，由题意得，
又，所以，解得，
此时，，
设与的夹角为，
则，
所以与夹角的余弦值为．
16.由题意可得，解得；
由，
，
所以这名学生数学成绩的中位数，
由，解得，
所以估计参加这次测试的学生数学成绩的中位数为分．
依题意，，解得，
设这名学生的数学成绩分别为，，，，，，
由这名学生的数学成绩的平均数为分，
得，
整理得，
所以数学成绩在内的这名学生的平均数为：
；
设，，，，的方差为，
由这名学生的数学成绩的方差为，
得，解得，
所以所求学生数学成绩的平均数为分，方差为．
17.证明：因为，是圆柱的两条母线，
所以，且，所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
因为是下底面圆的直径，是下底面圆周上异于，的动点，
所以，
又因为是圆柱的一条母线，所以底面，
而底面，所以．
因为平面，平面，且，
所以平面．
又由知，所以平面，
所以为直线与平面所成的角．
设圆柱的底面圆半径为，母线长为，
因为圆柱的侧面积等于两底面面积的和，
所以，得，即，
又为弧的中点，所以，
所以在中，，
在中，，
所以直线与平面所成角的正切值为．
18.由得，
在中，由正弦定理得，
即，，
，；
由知，的边上的高等于，且，
的面积，，
在中，，即，
，
又中，，
；
由及知，，
在中，由余弦定理得，
，
，，解得，当且仅当时，等号成立，
所，
即面积的最小值为．
19.证明：因为，为的中点，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为三棱柱中，，
所以平面，
又平面，所以，
即是直角三角形．
如图，由平面，得平面，
因为平面，平面平面，
所以，
又为的中点，，
所以．
由知平面，因为平面，
所以，
所以为二面角的平面角，
又，，，
所以≌，
所以，
又在中，，
所以，
所以，
因为是锐角，所以，
所以，
得，
即侧面与底面所成二面角的正弦值为；
因为，为的中点，点到平面的距离为，
所以点到平面的距离为点到平面距离的，即．
由及知，平面，，，，
因为，且，，
所以，
平方整理得，
解得，或，所以，或．
因为
，
所以时，；
时，，
即三棱柱的体积为或．
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