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(共37张PPT)
全称量词命题与存在量词命题的综合问题(教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学)
第2课时
CONTENTS
目录
1
2
题型(一)　全称量词命题和存在
量词命题的真假判断
题型(二)　全称量词命题与存在
量词命题的应用
课时跟踪检测
3
题型(一)　全称量词命题和存在
量词命题的真假判断
01
[例1]　 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断它们的真假.
(1) x∈N, 2x+1是奇数;
解：是全称量词命题.因为 x∈N,2x+1都是奇数,所以该命题是真命题.
(2)存在一个x∈R,使=0;
解：是存在量词命题.因为不存在x∈R,使=0成立,所以该命题是假命题.
(3)对任意实数a,|a|>0;
解：是全称量词命题.因为|0|=0,所以|a|>0不都成立,因此,该命题是假命题.
(4)有一个角α,使sin α=.
解：是存在量词命题.因为当α=30°时,sin α=,所以该命题是真命题.
|思|维|建|模|
全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
(1)要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立;但要判定全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x,使得p(x)不成立即可,这就是通常所说的“举出一个反例”.
(2)要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个x使p(x)成立即可;否则,这个存在量词命题就是假命题.
1.(多选)下列命题正确的是 (　 )
A. x∈R,x2+2>0 B. x∈N,x4≥1
C. x∈Z,x3<1 D. x∈Q,x2=3
针对训练
√
√
解析：对于A,由于 x∈R,都有x2≥0,因而有x2+2≥2>0,即x2+2>0. 所以命题“ x∈R,x2+2>0”是真命题;对于B,由于0∈N,当x=0时,x4≥1不成立.所以命题“ x∈N,x4≥1”是假命题;对于C,
由于-1∈Z,当x=-1时,x3<1成立.所以命题“ x∈Z,x3<1”是真命题;对于D,由于使x2=3成立的数只有±,±都不是有理数,因此没有任何一个有理数的平方等于3,所以命题“ x∈Q,x2=3”是假命题.
2.对下列含有量词的命题作否定,并判断其真假.
(1)p: x∈ RQ,x2∈Q;
解： p: x∈ RQ,x2 Q,当x=∈ RQ,则x2=2∈Q,所以 p为假命题.
(2)p:所有能被2整除的数都是偶数;
解： p:存在能被2整除的数不是偶数,因为所有能被2整除的数都是偶数为真命题,所以 p为假命题.
(3)p:存在x∈R,使得2x≤0;
解： p:对于任意的x∈R,都有2x>0,因为函数2x>0,所以 p为真命题.
(4)p: x∈Z+,∈N.
解： p: x∈Z+, N,因为=3-,且x∈Z+,所以x+1>1,所以0<<1,所以3- N,即 N,所以 p为真命题.
题型(二)　全称量词命题与存
在量词命题的应用
02
[例2]　命题“存在x>1,使得2x+a<3”是假命题,求实数a的取值范围.
解：命题“存在x>1,使得2x+a<3”是假命题,所以此命题的否定“任意x>1,使得2x+a≥3”是真命题,因为对任意x>1,都有2x+a>2+a,所以2+a≥3,所以a≥1.故a的取值范围是{a|a≥1}.
变式训练
若把本例中的“假命题”改为“真命题”,求实数a的取值范围.
解：由题意知“存在x>1,使得x<”是真命题,故有>1,解得a<1.故a的取值范围是{a|a<1}.
　|思|维|建|模|
利用含量词命题的真假求参数的取值范围
(1)含参数的全称量词命题为真时,常与不等式恒成立有关,可根据有关代数恒等式(如x2≥0),确定参数的取值范围.
(2)含参数的存在量词命题为真时,常转化为方程或不等式有解的问题来处理,可借助根的判别式等知识解决.
3.已知命题p:“ x≥3,使得2x-1≥m”是真命题,则实数m的取值范围是　　 　　.
解析： x≥3,使得2x-1≥m成立,只需m≤2×3-1=5.
{m|m≤5}
4.已知命题p: x∈{x|-3≤x≤2},都有x∈{x|a-4≤x≤a+5},且 p是假命题,求实数a的取值范围.
解：因为 p是假命题,所以 p是真命题,
又 x∈{x|-3≤x≤2},都有x∈{x|a-4≤x≤a+5},
所以{x|-3≤x≤2} {x|a-4≤x≤a+5},
则解得-3≤a≤1.即实数a的取值范围是{a|-3≤a≤1}.
课时跟踪检测
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1.命题p:存在一个实数,它的绝对值不是正数.则下列结论正确的是 (　 )
A. p:任意实数,它的绝对值是正数, p为假命题
B. p:任意实数,它的绝对值不是正数, p为假命题
C. p:存在一个实数,它的绝对值是正数, p为真命题
D. p:存在一个实数,它的绝对值是负数, p为真命题
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解析：因为命题p“存在一个实数,它的绝对值不是正数”为存在量词命题,其否定 p为“任意实数,它的绝对值是正数”,因为|0|=0,所以 p为假命题.
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2.下列命题中,既是真命题又是全称量词命题的是 (　 )
A.实数都大于0 　 B.有些菱形是正方形
C.三角形内角和为180° 　 D.有小于1的自然数
解析：实数都大于0,是全称量词命题,但不是真命题,所以A选项错误;有些菱形是正方形,是真命题,但不是全称量词命题,所以B选项错误;三角形内角和为180°,是真命题,也是全称量词命题,所以C选项正确;有小于1的自然数,是真命题,但不是全称量词命题,所以D选项错误.
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3.(多选)下列命题是假命题的为 (　 )
A.存在x∈Z,1<4x<3 B.存在x∈Z,5x+1=0
C.任意x∈R,x2-1=0 D.任意x∈R,x2+x+2>0
解析：选选项A中,√
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4.(多选)关于命题p:“ x∈R,x2+1≠0”的叙述,正确的是 (　 )
A. p: x∈R,x2+1=0 B. p: x∈R,x2+1=0
C.p是真命题, p是假命题 D.p是假命题, p是真命题
解析：命题p:“ x∈R,x2+1≠0”的否定是“ x∈R,x2+1=0”.所以p是真命题, p是假命题.
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5.已知命题p:“ x∈R,使得x2-2x+m=0成立”是真命题,则实数m的取值范围是(　 )
A.{m|m<3} B.{m|m>3}
C.{m|m≤3} D.{m|m≥3}
解析： x∈R,使得x2-2x+m=0成立 Δ=12-4m≥0,∴m≤3.
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6.命题“已知y=|x|-1, x∈R都有m≤y”是真命题,则实数m的取值范围是　　 　　.
解析：由已知y=|x|-1,得y≥-1,要使 x∈R,都有m≤y成立,只需m≤-1.
{m|m≤-1}
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7.能够说明“ x∈N*,2x≥x2”是假命题的一个x值为　　　　.
解析：∵x∈N*,将x代入1,2,3,…可知,当x=3时,23<32,∴说明“ x∈N*,2x≥x2”是假命题.
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8.(8分)写出下列命题的否定,并判断其否定的真假.
(1)p:不论m取何实数,方程x2+mx-1=0必有实根;
解： p:存在一个实数m,使方程x2+mx-1=0没有实数根.
∵该方程的判别式Δ=m2+4>0恒成立,∴ p 为假命题.
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(2)p: x,y∈R,x2+y2+2x-4y+5=0.
解： p: x,y∈R,x2+y2+2x-4y+5≠0.
∵x2+y2+2x-4y+5=(x+1)2+(y-2)2,当x=0,y=0时,x2+y2+2x-4y+5≠0成立,∴ p为真命题.
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9.(8分)已知命题“ x∈R,ax2+2x+1≠0”为假命题,求实数a的取值范围.
解：题中的命题为全称量词命题,因为其是假命题,所以其否定“ x∈R,ax2+2x+1=0”为真命题,即关于x的方程ax2+2x+1=0有实数根.
所以a=0或即a=0或a≤1且a≠0,所以a≤1.
故实数a的取值范围是{a|a≤1}.
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10.已知非空集合M,P,则命题“M P”是假命题的充要条件是 (　 )
A. x∈M,x P B. x∈P,x∈M
C. x1∈M,x1∈P且x2∈M,x2 P D. x∈M,x P
解析：因为M P等价于 x∈M,x∈P,又“M P”是假命题,所以其否定为 x∈M,x P.故选D.
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11.有四张卡片,它们的一面为数字,另一面写着英文字母.现在它们平放在桌面上,只能看到向上面的情况如图.对于命题p:所有大写字母的背面都写着奇数,要验证p的真假,至少要翻开的是 (　 )
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A.①④ B.①②
C.①③ D.①③④
解析：根据命题p:所有大写字母的背面都写着奇数,因为①的向上面为大写字母,④的背面可能是大写字母,所以要验证p的真假,至少要翻开的是①④.
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12.某中学开展小组合作学习模式,高一某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下:若命题“ x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,求m的取值范围.王小二略加思索,反手给了王小一一道题:若命题“ x∈R,x2+2x+m>0”是真命题,求m的取值范围.你认为,两位同学题中m的取值范围是否一致 　　　　.(填“是”“否”中的一个)
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解析：因为命题“ x∈R,x2+2x+m≤0”的否定是“ x∈R,x2+2x+m>0”,而命题“ x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,则其否定“ x∈R,x2+2x+m>0”为真命题,所以两位同学题中m的取值范围是一致的.
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13.(14分)已知集合A={x|-3≤x≤10},B={x|2m+1≤x≤3m-2},且B≠ .
(1)若命题p:“ x∈B,x∈A”是真命题,求实数m的取值范围;
解：由命题p:“ x∈B,x∈A”是真命题,可知B A,又B≠ ,所以解得3≤m≤4.
故m的取值范围是{m|3≤m≤4}.
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(2)若命题q:“ x∈A,x∈B”是真命题,求实数m的取值范围.
解：因为B≠ ,所以2m+1≤3m-2,得m≥3.
因为命题q:“ x∈A,x∈B”是真命题,
所以A∩B≠ ,所以-3≤2m+1≤10或-3≤3m-2≤10,得-2≤m≤.
综上,m的取值范围是.
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14.(17分)已知命题p: x∈{x|1≤x≤2},x2-a≥0,命题q: x∈R,x2+2ax+4=0,若命题 p和命题q都是真命题,求实数a的取值范围.
解：若命题p: x∈{x|1≤x≤2},x2-a≥0为真命题,则a≤x2在x∈{x|1≤x≤2}时恒成立,
∴a≤1.
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若命题q: x∈R,x2+2ax+4=0为真命题,
则Δ=(2a)2-16≥0,解得a≤-2或a≥2.
∵命题 p和命题q都是真命题,
∴解得a≥2.
故a的取值范围是{a|a≥2}.课时跟踪检测(十)　全称量词命题与存在量词命题的综合问题
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．命题p：存在一个实数，它的绝对值不是正数．则下列结论正确的是(　　)
A．綈p：任意实数，它的绝对值是正数，綈p为假命题
B．綈p：任意实数，它的绝对值不是正数，綈p为假命题
C．綈p：存在一个实数，它的绝对值是正数，綈p为真命题
D．綈p：存在一个实数，它的绝对值是负数，綈p为真命题
2．下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是(　　)
A．实数都大于0 　 B．有些菱形是正方形
C．三角形内角和为180° 　D．有小于1的自然数
3．(多选)下列命题是假命题的为(　　)
A．存在x∈Z,1<4x<3
B．存在x∈Z,5x＋1＝0
C．任意x∈R，x2－1＝0
D．任意x∈R，x2＋x＋2>0
4．(多选)关于命题p：“ x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是(　　)
A．綈p： x∈R，x2＋1＝0
B．綈p： x∈R，x2＋1＝0
C．p是真命题，綈p是假命题
D．p是假命题，綈p是真命题
5．已知命题p：“ x∈R，使得x2－2x＋m＝0成立”是真命题，则实数m的取值范围是(　　)
A．{m|m<3} B．{m|m>3}
C．{m|m≤3} D．{m|m≥3}
6．命题“已知y＝|x|－1， x∈R都有m≤y”是真命题，则实数m的取值范围是________．
7．能够说明“ x∈N*,2x≥x2”是假命题的一个x值为________．
8．(8分)写出下列命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实根；
(2)p： x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5＝0.
9．(8分)已知命题“ x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围．
B级——重点培优
10．已知非空集合M，P，则命题“M P”是假命题的充要条件是(　　)
A． x∈M，x P
B． x∈P，x∈M
C． x1∈M，x1∈P且x2∈M，x2 P
D． x∈M，x P
11．有四张卡片，它们的一面为数字，另一面写着英文字母．现在它们平放在桌面上，只能看到向上面的情况如图．对于命题p：所有大写字母的背面都写着奇数，要验证p的真假，至少要翻开的是(　　)
A．①④ B．①②
C．①③ D．①③④
12．某中学开展小组合作学习模式，高一某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的取值范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“ x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m的取值范围．你认为，两位同学题中m的取值范围是否一致？________.(填“是”“否”中的一个)
13．(14分)已知集合A＝{x|－3≤x≤10}，B＝{x|2m＋1≤x≤3m－2}，且B≠ .
(1)若命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题q：“ x∈A，x∈B”是真命题，求实数m的取值范围．
14．(17分)已知命题p： x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≥0，命题q： x∈R，x2＋2ax＋4＝0，若命题綈p和命题q都是真命题，求实数a的取值范围.
课时跟踪检测(十)
1．选A　因为命题p“存在一个实数，它的绝对值不是正数”为存在量词命题，其否定綈p为“任意实数，它的绝对值是正数”，因为|0|＝0，所以綈p为假命题．
2．选C　实数都大于0，是全称量词命题，但不是真命题，所以A选项错误；有些菱形是正方形，是真命题，但不是全称量词命题，所以B选项错误；三角形内角和为180°，是真命题，也是全称量词命题，所以C选项正确；有小于1的自然数，是真命题，但不是全称量词命题，所以D选项错误．
3．选ABC　选项A中，4．选AC　命题p：“ x∈R，x2＋1≠0”的否定是“ x∈R，x2＋1＝0”．所以p是真命题，綈p是假命题．
5．选C　 x∈R，使得x2－2x＋m＝0成立 Δ＝12－4m≥0，∴m≤3.
6．解析：由已知y＝|x|－1，得y≥－1，要使 x∈R，都有m≤y成立，只需m≤－1.
答案：{m|m≤－1}
7．解析：∵x∈N*，将x代入1,2,3，…可知，当x＝3时，23<32，∴说明“ x∈N*,2x≥x2”是假命题．
答案：3
8．解：(1)綈p：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根．
∵该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，
∴綈p为假命题．
(2)綈p： x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5≠0.
∵x2＋y2＋2x－4y＋5＝(x＋1)2＋(y－2)2，当x＝0，y＝0时，x2＋y2＋2x－4y＋5≠0成立，∴綈p为真命题．
9．解：题中的命题为全称量词命题，因为其是假命题，所以其否定“ x∈R，ax2＋2x＋1＝0”为真命题，即关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有实数根．
所以a＝0或即a＝0或a≤1且a≠0，所以a≤1.
故实数a的取值范围是{a|a≤1}．
10．选D　因为M P等价于 x∈M，x∈P，又“M P”是假命题，所以其否定为 x∈M，x P.故选D.
11．选A　根据命题p：所有大写字母的背面都写着奇数，因为①的向上面为大写字母，④的背面可能是大写字母，所以要验证p的真假，至少要翻开的是①④.
12．解析：因为命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“ x∈R，x2＋2x＋m>0”，而命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“ x∈R，x2＋2x＋m>0”为真命题，所以两位同学题中m的取值范围是一致的．
答案：是
13．解：(1)由命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，可知B A，又B≠ ，
所以解得3≤m≤4.
故m的取值范围是{m|3≤m≤4}．
(2)因为B≠ ，所以2m＋1≤3m－2，得m≥3.
因为命题q：“ x∈A，x∈B”是真命题，所以A∩B≠ ，所以－3≤2m＋1≤10或－3≤3m－2≤10，得－2≤m≤.综上，m的取值范围是.
14．解：若命题p： x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≥0为真命题，则a≤x2在x∈{x|1≤x≤2}时恒成立，∴a≤1.
若命题q： x∈R，x2＋2ax＋4＝0为真命题，
则Δ＝(2a)2－16≥0，解得a≤－2或a≥2.
∵命题綈p和命题q都是真命题，
∴解得a≥2.
故a的取值范围是{a|a≥2}．第 2 课时　全称量词命题与存在量词命题的综合问题(教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
题型(一)　全称量词命题和存在量词命题的真假判断
[例1]　 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．
(1) x∈N, 2x＋1是奇数；
(2)存在一个x∈R，使＝0；
(3)对任意实数a，|a|＞0；
(4)有一个角α，使sin α＝.
听课记录：
　|思|维|建|模|
全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可，这就是通常所说的“举出一个反例”．
(2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题．　
[针对训练]
1．(多选)下列命题正确的是(　 )
A． x∈R，x2＋2>0 B． x∈N，x4≥1
C． x∈Z，x3<1 D． x∈Q，x2＝3
2．对下列含有量词的命题作否定，并判断其真假．
(1)p： x∈ RQ，x2∈Q；
(2)p：所有能被2整除的数都是偶数；
(3)p：存在x∈R，使得2x≤0；
(4)p： x∈Z＋，∈N.
题型(二)　全称量词命题与存在量词命题的应用
[例2]　命题“存在x>1，使得2x＋a<3”是假命题，求实数a的取值范围．
听课记录：
[变式拓展]
　若把本例中的“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围．
|思|维|建|模|
利用含量词命题的真假求参数的取值范围
(1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围．
(2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解的问题来处理，可借助根的判别式等知识解决．　　
[针对训练]
3．已知命题p：“ x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是________．
4．已知命题p： x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，且綈p是假命题，求实数a的取值范围．
第2课时　全称量词命题与存在量词命题的综合问题
　[题型(一)]
[例1]　解：(1)是全称量词命题．因为 x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．
(2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题．
(3)是全称量词命题．因为|0|＝0，所以|a|＞0不都成立，因此，该命题是假命题．
(4)是存在量词命题．因为当α＝30°时，sin α＝，所以该命题是真命题．
[针对训练]
1．选AC　对于A，由于 x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0. 所以命题“ x∈R，x2＋2>0”是真命题；对于B，由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立．所以命题“ x∈N，x4≥1”是假命题；对于C，由于－1∈Z，当x＝－1时，x3<1成立．所以命题“ x∈Z，x3<1”是真命题；对于D，由于使x2＝3成立的数只有±，±都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方等于3，所以命题“ x∈Q，x2＝3”是假命题．
2．解：(1)綈p： x∈ RQ，x2 Q，当x＝∈ RQ，则x2＝2∈Q，所以綈p为假命题．
(2)綈p：存在能被2整除的数不是偶数，因为所有能被2整除的数都是偶数为真命题，所以綈p为假命题．
(3)綈p：对于任意的x∈R，都有2x>0，因为函数2x>0，所以綈p为真命题．
(4)綈p： x∈Z＋， N，因为＝3－，且x∈Z＋，所以x＋1>1，所以0<<1，所以3－ N，即 N，所以綈p为真命题．
　[题型(二)]
[例2]　解：命题“存在x>1，使得2x＋a<3”是假命题，所以此命题的否定“任意x>1，使得2x＋a≥3”是真命题，因为对任意x>1，都有2x＋a>2＋a，所以2＋a≥3，所以a≥1.故a的取值范围是{a|a≥1}．
[变式拓展]
解：由题意知“存在x>1，使得x<”是真命题，故有>1，解得a<1.故a的取值范围是{a|a＜1}．
[针对训练]
3．解析： x≥3，使得2x－1≥m成立，只需m≤2×3－1＝5.
答案：{m|m≤5}
4．解：因为綈p是假命题，所以p是真命题，又 x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，
所以{x|－3≤x≤2} {x|a－4≤x≤a＋5}，
则解得－3≤a≤1.
即实数a的取值范围是{a|－3≤a≤1}．

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