资源简介

7．1.2　弧度制—— (教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)
　　[课时目标]
1．了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系．
2．明确圆周角度数和弧度数，有助于熟练掌握角度与弧度的互化．
3．掌握弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．
逐点清(一)　弧度制的概念
[多维理解]
1．1弧度的角
把长度等于________的弧所对的________叫作1弧度的角，记作________．
2．弧度制
用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为________，它的单位符号是rad，读作弧度，通常略去不写．
3．角的弧度数
正角的弧度数是______，负角的弧度数是______，零角的弧度数为．对任一角α，其弧度数的绝对值等于α所对应的弧长l与半径r的比，即|α|＝____.
[微点练明]
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．(　 )
(2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．(　 )
(3)1°的角是周角的，1 rad的角是周角的.(　 )
(4)1 rad的角比1°的角要大．(　 )
2．下列说法正确的是(　 )
A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径
B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大
C．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等
D．用弧度表示的角都是正角
3．时针经过四个小时，转过了(　 )
A. rad B．－ rad
C. rad D．－ rad
逐点清(二)　角度制与弧度制的互化
[多维理解]
换算公式
角度化弧度 弧度化角度
度数×＝弧度数 弧度数×＝角度数
360°＝______ 2π rad＝______
180°＝______ π rad＝______
1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝度≈57.30°
|微|点|助|解|　
角度与弧度互化的原则和方法
(1)原则：牢记180°＝π rad，
充分利用1°＝ rad,1 rad＝°进行换算．
(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝°；n°＝n· rad.
　
[微点练明]
1．若α＝－2 rad，则α的终边在(　 )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．(多选)下列转化结果正确的是(　 )
A．72°化成弧度是 B．－π化成角度是－660°
C．－150°化成弧度是－π D.化成角度是15°
3．将下表中的角度和弧度互化：
角度 0° 30° 45° 120°
弧度
角度 135° 150° 360°
弧度π
逐点清(三)　弧长公式与扇形面积公式
[多维理解]
设扇形的半径为r，弧长为l，其圆心角α(|α|≤2π)，角度数为n(0°　　　公式度量制　 　 弧长公式 扇形面积公式
角度制 l＝ S＝
弧度制 l＝______(|α|≤2π) S＝________＝|α|r2(|α|≤2π)
|微|点|助|解|　
1．扇形弧长、面积公式的变形运用
(1)l＝|α|·r |α|＝，r＝.
(2)S＝|α|r2 |α|＝.
2．谨记两个注意点
(1)在弧度制中，弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负．
(2)运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α是弧度．
[微点练明]
1．在单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为(　 )
A. B.
C．9π D．10π
2．(多选)若扇形的弧长变为原来的2倍，半径变为原来的2倍，则(　 )
A．扇形的面积不变
B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积变为原来的4倍
D．扇形的圆心角变为原来的2倍
3．已知某扇形的面积为3，则该扇形的周长最小值为(　 )
A．2 B．4
C．2 D．4
4．《九章算术》是一部中国古代的数学专著．全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系．第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”．书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为(单位：弧度)(注：匝，意为周，环绕一周叫一匝)(　 )
A．4 B．5
C．6 D．7
逐点清(四)　弧度制下终边相同的角的表示及其应用
[典例]　将－1 125°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π.
(1)判断它是第几象限角．
(2)在[－4π，4π]范围内找出与α终边相同的角的集合．
听课记录：
|思|维|建|模|
1．弧度制下与角α终边相同的角的表示
在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．
2．用弧度表示角的注意点
(1)注意角度与弧度不能混用．
(2)各终边相同的角需加2kπ，k∈Z.
(3)求两个角的集合的交集时，注意应用数轴直观确定，可对k进行适当的赋值．　
[针对训练]
1．下列各角中，终边相同的角是(　 )
A.π和240°　　　　 B．－和314°
C．－π和π D．3和3°
2.用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)，并判断2 012°是不是这个集合的元素．
7．1.2　弧度制
　[逐点清(一)]
[多维理解]　1.半径长　圆心角　1 rad
2．弧度制　3.正数　负数　0　
[微点练明]
1．(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　2.A　3.B
　[逐点清(二)]
[多维理解]　2π rad　360°　π rad　180°
[微点练明]　1.C　2.AD
3.
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0 π 2π
　[逐点清(三)]
[多维理解]　|α|·r　lr
[微点练明]　1.B　2.BC　3.D　4.C
　[逐点清(四)]
[典例]　解：(1)－1 125°＝－1 125×＝－＝－8π＋.因为<<2π，所以是第四象限角．所以－1 125°是第四象限角．
(2)依题意，与α终边相同的角为＋2kπ，k∈Z.由－4π≤＋2kπ≤4π，k∈Z，知k＝－2，－1,0,1.所以所求角的集合为.
[针对训练]
1．选C　对于A选项，＝120°，不合题意；对于B选项，－＝－36°，314°－(－36°)＝350°，不合题意；对于C选项，π－＝4π，符合题意；对于D选项，3≈3×57.30°＝171.90°，171.90°－3°＝168.90°，不合题意．
2．解：因为150°＝，270°＝，
所以终边在阴影区域内角的集合为S＝.因为2 012°＝212°＋5×360°＝＋10π rad，又＜＜，所以2 012°＝∈S.(共58张PPT)
7.1.2
弧度制
(教学方式:基本概念课—逐点理清式教学)
课时目标
1.了解弧度制下,角的集合与实数集之间的一一对应关系.
2.明确圆周角度数和弧度数,有助于熟练掌握角度与弧度的互化.
3.掌握弧长公式和扇形面积公式,熟悉特殊角的弧度数.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一)　弧度制的概念
逐点清(二)　角度制与弧度制的互化
逐点清(三)　弧长公式与扇形面积公式
课时跟踪检测
4
逐点清(四)　弧度制下终边相同的角的
表示及其应用
5
逐点清(一)　弧度制的概念
01
多维理解
1.1弧度的角
把长度等于_______的弧所对的________叫作1弧度的角,记作______.
2.弧度制
用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为_________,它的单位符号是rad,读作弧度,通常略去不写.
半径长
圆心角
1 rad
弧度制
3.角的弧度数
正角的弧度数是______,负角的弧度数是_______,零角的弧度数为___.对任一角α,其弧度数的绝对值等于α所对应的弧长l与半径r的比,即|α|=____.
正数
负数
0
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位.(　 )
(2)用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径有关.(　 )
(3)1°的角是周角的,1 rad的角是周角的.(　 )
(4)1 rad的角比1°的角要大.(　 )
微点练明
×
√
√
√
2.下列说法正确的是 (　 )
A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径
B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大
C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等
D.用弧度表示的角都是正角
√
解析：对于A,根据弧度的定义知,“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”,故A正确;对于B,大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等,故B错误;对于C,只有在同圆或等圆中,1弧度的圆心角所对的弧长是相等的,故C错误;对于D,用弧度表示的角也可以是负角或零角,故D错误.
3.时针经过四个小时,转过了 (　 )
A. rad B.- rad
C. rad D.- rad
解析：因为时针顺时针旋转,转过一圈(12小时)的角度为-2π rad,所以时针经过四个小时,转过了·(-2π)rad=- rad.
√
逐点清(二)　角度制与弧度制
的互化
02
多维理解
换算公式
角度化弧度 弧度化角度
度数×=弧度数 弧度数×=角度数
360°=________ 2π rad=______
180°=________ π rad=______
1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad=度≈57.30°
2π rad
π rad
360°
180°
|微|点|助|解| 　
角度与弧度互化的原则和方法
(1)原则:牢记180°=π rad,
充分利用1°= rad,1 rad=°进行换算.
(2)方法:设一个角的弧度数为α,角度数为n,则α rad=°;
n°=n· rad.
微点练明
1.若α=-2 rad,则α的终边在 (　 )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：∵-π< -2<-,∴α是第三象限角.故选C.
√
2.(多选)下列转化结果正确的是 (　 )
A.72°化成弧度是 B.-π化成角度是-660°
C.-150°化成弧度是-π D.化成角度是15°
解析：因为72°=72×,所以A正确.因为-π rad=-600°,所以B不正确.因为-150°=- rad,所以C不正确.因为 rad=15°,所以D正确.
√
√
3.将下表中的角度和弧度互化:
角度 0° 30° 45° _________ __________ 120° 135° 150° ______________ ____________ 360°
弧度 ______ ________ ________ ___________ ___________ __________ π __________
60°
90°
180°
270°
0
2π
逐点清(三)　弧长公式与扇形
面积公式
03
设扇形的半径为r,弧长为l,其圆心角α(|α|≤2π),角度数为n(0°多维理解
公式 度量制 　 弧长公式 扇形面积公式
角度制 l= S=
弧度制 l=__________ (|α|≤2π) S=_______=|α|r2(|α|≤2π)
|α|·r
lr
|微|点|助|解| 　
1.扇形弧长、面积公式的变形运用
(1)l=|α|·r |α|=,r=.
(2)S=|α|r2 |α|=.
2.谨记两个注意点
(1)在弧度制中,弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负.
(2)运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α是弧度.
针对训练
1.在单位圆中,200°的圆心角所对的弧长为 (　 )
A. B.
C.9π D.10π
解析：l=.
√
微点练明
2.(多选)若扇形的弧长变为原来的2倍,半径变为原来的2倍,则 (　 )
A.扇形的面积不变
B.扇形的圆心角不变
C.扇形的面积变为原来的4倍
D.扇形的圆心角变为原来的2倍
√
√
解析：设原扇形的半径为r,弧长为l,圆心角为α,则原扇形的面积为S1=lr.扇形的弧长变为原来的2倍,半径变为原来的2倍后,其面积为S2=·2l·2r=2lr,故S2=4S1,故A错误,C正确;由α=,可知扇形的圆心角不变,故B正确,D错误.
3.已知某扇形的面积为3,则该扇形的周长最小值为 (　 )
A.2 B.4
C.2 D.4
解析：设扇形的弧长为l,半径为r,所以扇形的面积为·l·r=3.所以lr=6.又扇形的周长为l+2r,所以l+2r≥2=4,当且仅当即l=2r=2时,取等号.
√
4.《九章算术》是一部中国古代的数学专著.全书分为九章,共收有246个问题,内容丰富,而且大多与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了38个问题,主要讲各种形状的田亩的面积计算方法,其中将圆
环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”:中周九十二步,外周一百二十二步,径五步,
如图所示,则其所在扇形的圆心角大小为
(单位:弧度)(注:匝,意为周,环绕一周叫一匝)
A.4 B.5
C.6 D.7
解析：设中周的半径是R1,外周的半径是R2,圆心角为α,
则解得α=6.
√
04
逐点清(四)　弧度制下终边相同的
角的表示及其应用
[典例]　将-1 125°写成α+2kπ(k∈Z)的形式,其中0≤α<2π.
(1)判断它是第几象限角.
解：-1 125°=-1 125×=-=-8π+.因为<2π,所以是第四象限角.所以-1 125°是第四象限角.
(2)在[-4π,4π]范围内找出与α终边相同的角的集合.
解：依题意,与α终边相同的角为+2kπ,k∈Z.
由-4π≤+2kπ≤4π,k∈Z,知k=-2,-1,0,1.
所以所求角的集合为.
|思|维|建|模|
1.弧度制下与角α终边相同的角的表示
在弧度制下,与角α的终边相同的角可以表示为{β|β=2kπ+α,k∈Z},即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍.
2.用弧度表示角的注意点
(1)注意角度与弧度不能混用.
(2)各终边相同的角需加2kπ,k∈Z.
(3)求两个角的集合的交集时,注意应用数轴直观确定,可对k进行适当的赋值.
1.下列各角中,终边相同的角是 (　 )
A.π和240°　 B.-和314°
C.-π和π D.3和3°
√
针对训练
解析：对于A选项,=120°,不合题意;对于B选项,-=-36°,314°-(-36°)=350°,不合题意;对于C选项,π-=4π,符合题意;对于D选项,3≈3×57.30°=171.90°,171.90°-3°=168.90°,不合题意.
2.用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界),并判断2 012°是不是这个集合的元素.
解：因为150°=,270°=,
所以终边在阴影区域内角的集合为S=.因为2 012°=212°+5×360°=+10π rad,又,
所以2 012°=∈S.
课时跟踪检测
05
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1.把化成角度制是(　 )
A.36° B.30°
C.24° D.12°
解析：由角度制与弧度制的互化知,π rad=180°.所以 rad=°=36°.
√
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2.时针经过一小时,转过了 (　 )
A. rad B.- rad
C. rad D.- rad
解析：时针经过一小时,转过-30°,-30°=- rad.
√
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3.用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为 (　 )
A. B.
C. D.
解析：因为150°=150×,
所以与150°角的终边相同的角的集合为.
√
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4.已知半径为1的扇形面积为π,则扇形的圆心角为(　 )
A. B.
C. D.
解析：由S=|α|r2,得×α×12,解得α=.
√
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5.(多选)下列命题正确的是 (　 )
A.1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角
B.5弧度的角是第四象限角
C.α是第一象限角,则-α也是第一象限角
D.-1弧度角是锐角
√
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解析：A选项,1弧度的角就是弧长为半径的弧所对的圆心角,A选项错误.B选项,因为<5<2π,所以5弧度是第四象限角.B选项正确.C选项,因为α是第一象限角,即2kπ<α<2kπ+,k∈Z,所以-2kπ-<-α<-2kπ,k∈Z,-2kπ<-α<-2kπ+,k∈Z.所以-α也是第一象限角.C选项正确.D选项,因为-1弧度角是负角,所以不是锐角.D选项错误.
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6.自行车的大链轮有88齿,小链轮有20齿,当大链轮逆时针转过一周时,小链轮转过的弧度数是 (　 )
A. B. C. D.
解析：由题意知,当大链轮逆时针转过一周时,小链轮逆时针转过周,则小链轮转过的弧度数是×2π=.
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7.(2024·淮安期中)密位制是度量角的一种方法,把一周角等分为
6 000份,每一份叫作1密位的角.在角的密位制中,单位可省去不写,采用四个数码表示角的大小,在百位数与十位数之间画一条短线,如7密位写成“0-07”,478密位写成“4-78”.如果一个半径为4的扇形,其圆心角用密位制表示为6-25,则该扇形的面积为 (　 )
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A. B.2π
C. D.
解析：依题意,该扇形的圆心角为α=×2π=,故所求扇形的面积为S=αr2=×42=.
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8.(多选)已知α与β是终边相同的角,且β=-,那么可能是(　 )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
√
√
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解析：α与β是终边相同的角,且β=-,故α=-+2kπ,k∈Z.故=-+kπ,k∈Z.当k=2n,n∈Z时,=-+2nπ,n∈Z,是第四象限角;当k=2n+1,n∈Z时,π+2nπ,n∈Z,是第二象限角.综上所述,可能是第二或第四象限角.
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9.(多选)下列命题正确的是 (　 )
A.终边落在x轴的非负半轴的角的集合为
B.终边落在y轴上的角的集合为
C.在-720°~0°范围内所有与45°角终边相同的角为-675°和-315°
D.第三象限角的集合为
√
√
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解析：终边落在x轴的非负半轴的角的集合为,故A正确;由于角度制和弧度制不能混用,故B错误;所有与45°角终边相同的角可以表示为,则在-720°~0°范围内,取k=-2,-1,得α=-675°,α=-315°,故C正确;第三象限角的集合为,故D错误.
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10.-105°化为弧度为　　　　,化为角度为　　　　.
解析：-105°=-105×=-π,π=×180°=660°.
-π
660°
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11.扇形的半径是,圆心角是60°,则该扇形的弧长为　　　　,面积为　　　　.
解析：因为60°=,所以扇形的弧长为l=|α|·r=π,面积为S=lr=π×=π.
π
π
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12.密位广泛用于航海和军事,我国采取的“密位制”是6 000密位制,即将一个圆周分成6 000等份,每一等份是一个密位,那么60密位等于_____rad.
解析：∵圆周角为2π,∴1密位=.
∴60密位=×60=.
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13.(10分)中国最早用土和石片刻制成“土圭”与“日晷”两种计时工具.铜器时代,使用青铜制的“漏壶”,东汉元初四年张衡发明了世界第一架“水运浑象”,元初郭守敬、明初詹希元创制“大明灯漏”与“五轮沙漏”,一直到现代的钟表、手表等.现在有人研究钟的时针和分针一天内重合的次数,从午夜零时算起,假设分针走了t min会与时针重合,一天内分针和时针重合n次.
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(1)建立t关于n的函数关系;
解：设经过t min分针就与时针重合,n为两针一天内重合的次数.因为分针旋转的角速度为(rad/min),时针旋转的角速度为(rad/min),所以t=2πn,即t=n.
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(2)求一天内分针和时针重合的次数n.
解：因为时针旋转一天所需的时间为24×60=1 440(min),所以n≤1 440,于是n≤22,故时针与分针一天内只重合22次.
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14.(10分)用弧度表示顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边落在图中阴影部分内的角的集合.
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解：题图①中,在-360°~0°内,以OB为终边的角为-30°角,化为弧度为-,75°=75×,
设终边落在题图①中阴影部分内的角为θ,
则.
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题图②中,在-360°~0°内,以OB为终边的角为-135°角,化为弧度为-,135°=135×,
设题图②中终边落在阴影部分的角为β,
则.课时跟踪检测(三十七)　弧度制
(满分80分，选填小题每题5分)
1．把化成角度制是(　　)
A．36° B．30°
C．24° D．12°
2．时针经过一小时，转过了(　　)
A. rad B．－ rad
C. rad D．－ rad
3．用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为(　　)
A.
B.
C.
D.
4．已知半径为1的扇形面积为π，则扇形的圆心角为(　　)
A. B.
C. D.
5．(多选)下列命题正确的是(　　)
A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角
B．5弧度的角是第四象限角
C．α是第一象限角，则－α也是第一象限角
D．－1弧度角是锐角
6．自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是(　　)
A. B.
C. D.
7．(2024·淮安期中)密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6 000份，每一份叫作1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0－07”，478密位写成“4－78”．如果一个半径为4的扇形，其圆心角用密位制表示为6－25，则该扇形的面积为(　　)
A. B．2π
C. D.
8．(多选)已知α与β是终边相同的角，且β＝－，那么可能是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
9．(多选)下列命题正确的是(　　)
A．终边落在x轴的非负半轴的角的集合为α|α＝2kπ，k∈Z
B．终边落在y轴上的角的集合为α|α＝90°＋kπ，k∈Z
C．在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°
D．第三象限角的集合为απ＋2kπ≤α≤＋2kπ，k∈Z
10．－105°化为弧度为________，化为角度为________．
11．扇形的半径是，圆心角是60°，则该扇形的弧长为________，面积为________．
12．密位广泛用于航海和军事，我国采取的“密位制”是6 000密位制，即将一个圆周分成6 000等份，每一等份是一个密位，那么60密位等于________rad.
13．(10分)中国最早用土和石片刻制成“土圭”与“日晷”两种计时工具．铜器时代，使用青铜制的“漏壶”，东汉元初四年张衡发明了世界第一架“水运浑象”，元初郭守敬、明初詹希元创制“大明灯漏”与“五轮沙漏”，一直到现代的钟表、手表等．现在有人研究钟的时针和分针一天内重合的次数，从午夜零时算起，假设分针走了t min会与时针重合，一天内分针和时针重合n次．
(1)建立t关于n的函数关系；
(2)求一天内分针和时针重合的次数n.
14．(10分)用弧度表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在图中阴影部分内的角的集合．
课时跟踪检测(三十七)
1．选A　由角度制与弧度制的互化知，π rad＝180°.所以 rad＝°＝36°.
2．选B　时针经过一小时，转过－30°，－30°＝－ rad.
3．选D　因为150°＝150×＝，所以与150°角的终边相同的角的集合为.
4．选C　由S＝|α|r2，得＝×α×12，解得α＝.
5．选BC　A选项，1弧度的角就是弧长为半径的弧所对的圆心角，A选项错误．B选项，因为<5<2π，所以5弧度是第四象限角．B选项正确．C选项，因为α是第一象限角，即2kπ<α<2kπ＋，k∈Z，所以－2kπ－<－α<－2kπ，k∈Z，－2kπ<－α<－2kπ＋，k∈Z.所以－α也是第一象限角．C选项正确．D选项，因为－1弧度角是负角，所以不是锐角．D选项错误．
6．选B　由题意知，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转过周，则小链轮转过的弧度数是×2π＝.
7．选C　依题意，该扇形的圆心角为α＝×2π＝，故所求扇形的面积为S＝αr2＝××42＝.
8．选BD　α与β是终边相同的角，且β＝－，故α＝－＋2kπ，k∈Z.故＝－＋kπ，k∈Z.当k＝2n，n∈Z时，＝－＋2nπ，n∈Z，是第四象限角；当k＝2n＋1，n∈Z时，＝π＋2nπ，n∈Z，是第二象限角．综上所述，可能是第二或第四象限角．
9．选AC　终边落在x轴的非负半轴的角的集合为，故A正确；由于角度制和弧度制不能混用，故B错误；所有与45°角终边相同的角可以表示为{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}，则在－720°～0°范围内，取k＝－2，－1，得α＝－675°，α＝－315°，故C正确；第三象限角的集合为，故D错误．
10．解析：－105°＝－105×＝－π，π＝×180°＝660°.
答案：－π　660°
11．解析：因为60°＝，所以扇形的弧长为l＝|α|·r＝×＝π，面积为S＝lr＝×π×＝π.
答案：π　π
12．解析：∵圆周角为2π，
∴1密位＝＝.
∴60密位＝×60＝.
答案：
13．解：(1)设经过t min分针就与时针重合，n为两针一天内重合的次数．因为分针旋转的角速度为＝(rad/min)，时针旋转的角速度为＝(rad/min)，所以t＝2πn，即t＝n.
(2)因为时针旋转一天所需的时间为24×60＝1 440(min)，所以n≤1 440，于是n≤22，故时针与分针一天内只重合22次．
14．解：题图①中，在－360°～0°内，以OB为终边的角为－30°角，化为弧度为－，75°＝75×＝，
设终边落在题图①中阴影部分内的角为θ，则.
题图②中，在－360°～0°内，以OB为终边的角为－135°角，化为弧度为－，135°＝135×＝，
设题图②中终边落在阴影部分的角为β，则.

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