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(共49张PPT)
7.2.1
任意角的三角函数
三角函数的概念
(教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学)
第1课时
课时目标
1.借助单位圆理解任意角的三角函数的定义.
2.能利用定义求三角函数值及参数值.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.任意角三角函数的定义
前提 如图,在平面直角坐标系中,设α的终边上异
于原点的任意一点P的坐标为(x,y),它与原点
的距离是r,则r=___________,我们规定:
正弦 比值______叫作α的正弦,记作sin α,即sin α=____
续表
余弦 比值_____叫作α的余弦,记作cos α,即cos α=____
正切 比值__________叫作α的正切,记作tan α,
即tan α=___________
三角 函数 sin α,cos α,tan α分别叫作角α的正弦函数、余弦函数、正切函数,这三种函数都称为α的三角函数
(x≠0)
(x≠0)
|微|点|助|解| 　
(1)任意角的三角函数是在坐标系中定义的,角的范围是使函数有意义的实数集.
(2)当α=+kπ(k∈Z)时,α的终边在y轴上,这时点P的横坐标x=0,所以tan α=无意义.
(3)三角函数的记号是一个整体,离开α的sin,cos,tan等是无意义的,如sin α表示的是一个比值而不是sin与α的积.
(4)因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系,所以三角函数可以看成是自变量为实数或其子集的函数.
2.三角函数定义的推广
设点P(x,y)是角α终边上任意一点且不与原点O重合,r=OP, 则sin α=,cos α=,tan α=(x≠0).
|微|点|助|解| 　
　　三角函数的值与点P在终边上的位置无关,仅与角的大小有关,我们只需计算点P到原点O的距离r=OP=,那么sin α=,cos α=,tan α=(x≠0).
基础落实训练
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若α的终边与x轴负半轴重合,则tan α不存在.(　 )
(2)若α是第二象限角,且P(x,y)是其终边上一点,则cos α=-.(　 )
(3)正切函数y=tan x的定义域为.(　 )
×
×
×
2.已知角α的终边与单位圆的交点为P,则tan α=(　 )
A. B.-
C. D.-
√
3.已知角α的终边经过点(-4,3),则cos α等于 (　 )
A. B.
C.- D.-
解析：因为角α的终边经过点(-4,3),所以x=-4,y=3,r=5.
所以cos α==-.
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一)　已知角的终边上一点求三角函数值
[例1]　已知角α的终边与单位圆的交点为,则sin α=(　 )
A.- B.±
C.± D.±
解析：由题意,得+y2=1.∴y=±.∴sin α=y=±.故选C.
√
[例2]　已知角α的终边经过点P(2,tan α-7),则tan α= (　 )
A.-7 B.7
C.- D.
解析：由角α的终边经过点P(2,tan α-7),
得tan α=,解得tan α=-7.
√
|思|维|建|模|
　　利用单位圆法求三角函数的值,先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用三角函数的定义求出相应的三角函数值.
针对训练
1.已知角α的终边经过点M(1,),则cos α=(　 )
A. B.
C. D.
解析：由三角函数的定义可得cos α=.
√
2.已知角α的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合.若角α终边上一点P的坐标为,则sin αtan α=(　 )
A.- B.- C. D.
解析：由P,得P.则sin α=,
tan α==-.故sin αtan α=-.
√
题型(二)　已知角终边所在直线求三角函数值
[例3]　已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴正半轴重合,终边在直线3x-y=0上,求角α余弦值为 (　 )
A. B.± C. D.±
解析：因为角α的终边在直线3x-y=0上,则角α在第一象限或第三象限,可设点(x0,3x0)为角α的终边上一点,所以cos α=±=±.
√
　|思|维|建|模|
　　在解决有关角的终边在直线上的问题时,应注意角的终边为射线,所以应分两种情况处理.取射线上异于原点的任意一点的坐标(a,b),则对应角的三角函数值.
针对训练
3.已知角α的终边落在直线2x+y=0上,求sin α,cos α,tan α的值.
解：直线2x+y=0,即y=-2x,经过第二、第四象限.
在第二象限取直线上的点(-1,2),
则r==3.
所以sin α=,cos α=-,tan α=-2.
在第四象限取直线上的点(1,-2),
则r= =3.
所以sin α=-,cos α=,tan α=-2.
题型(三)　利用三角函数定义求点的坐标或参数
[例4]　已知角α终边经过点P(-8m,-6cos 60°),且cos α=-,则m的值为(　 )
A. B.-
C.- D.
√
解析：由点P的坐标可化为(-8m,-3),得r=.由三角函数的定义知,cos α==-.即100m2=64m2+9,解得m=±.当m=-时,点P的坐标为(4,-3),则cos α为正,不符合题意.故m=.
|思|维|建|模|
　　当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
针对训练
4.已知点P(-,y)为角β终边上的一点,且sin β=,则y的值为　　　　.
解析：由三角函数的定义,得sin β=.则y>0,且,整理,得13y2=5+y2.解得y=.
5.已知角α的终边上有一点P,OP=25,且sin α=-,求点P的坐标.
解：设点P的坐标为(x,y),r=OP=25.∵π<α<,∴x<0,y<0.
∵sin α=-,∴sin α==-,解得y=-20.
∵r=OP=25,∴=25,
即=25.又x<0,解得x=-15.故点P的坐标为(-15,-20).
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点在坐标原点O,始边是x轴的非负半轴,终边经过点P(m,1),若tan α=-2,则m=(　 )
A.-2 B.- C. D.2
解析：由题意,tan α==-2,解得m=-.
√
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2.已知sin α=,cos α=-,则角α的终边与单位圆的交点坐标是(　 )
A. B.
C. D.
解析：设交点坐标为P(x,y),则y=sin α=,x=cos α=-,∴点P.
√
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3.已知函数y=ax+3+3(a>0,且a≠1)的图象恒过点P,若角α的终边经过点P,则cos α= (　 )
A.　　　 B.-　　　
C.　　　 D.-
√
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解析：令x+3=0,求得x=-3,y=4,
函数y=ax+3+3(a>0,且a≠1)的图象恒过点P(-3,4),
角α的终边经过点P,则cos α==-.
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4.已知角α终边过点P(3a,-4a)(a<0),则sin α+cos α的值为 (　 )
A. B.
C.- D.-
√
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解析：由题意得,点P(3a,-4a)(a<0)到原点的距离r==-5a.
根据三角函数的定义可知sin α=,cos α==-,所以sin α+
cos α=.
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5.(2024·南京模拟)已知角α的终边经过点(1,-3),若角α与θ的终边关于y轴对称,则2sin θ-cos θ= (　 )
A.- B.
C.- D.
√
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解析：∵角α的终边经过点(1,-3),角α与θ的终边关于y轴对称,
∴角θ的终边经过点(-1,-3).∴sin θ=-=-,cos θ=-=-.
∴2sin θ-cos θ=-=-.
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6.若使得tan α有意义,则α的取值范围为　　　　　　　　　　　.
7.若α的终边与x轴负半轴重合,则sin α=　　 ,cos α=　 　,
tan α=　　　　.
解析：当α的终边与x轴负半轴重合时,角α的终边与单位圆的交点坐标为(-1,0),故sin α=0,cos α=-1,tan α=0.
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8.已知角α的终边经过点(2a+1,a-2),且cos α=-,则实数a的值是　　　　.
解析：∵r=,cos α==-,∴9(a2+1)=5(2a+1)2.又2a+1<0,解得a=-2.
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9.(8分)利用定义求sin,cos,tan的值.
解：如图,在平面直角坐标系中画出角的终边.设角的终边与单位圆的交点为P,则有P.
故sin=-,cos=-,tan=1.
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10.(10分)已知角α的终边过点P(-3a,4a)(a≠0),求2sin α+cos α.
解：因为r==5|a|.
①若a>0,则r=5a,角α在第二象限,
sin α=,cos α==-,
所以2sin α+cos α==1.
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②若a<0,则r=-5a,角α在第四象限,
sin α==-,cos α=,
所以2sin α+cos α=-=-1.
综上,2sin α+cos α=±1.
B级——重点培优
11.若点P(3,y)是角α终边上的一点,且满足y<0,cos α=,则tan α等于(　 )
A.- B. C. D.-
解析：因为cos α=,所以=5.所以y2=16.因为y<0,所以y=-4.所以tan α=-.
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12.已知角α的终边上一点P与点A(-3,2)关于y轴对称,角β的终边上一点Q与点A关于原点对称,则sin α+sin β=　　　　.
解析：由题意,P(3,2), Q (3,-2),从而sin α=,
sin β==-,所以sin α+sin β=0.
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13.(10分)已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0),且cos θ=x,求sin θ,tan θ.
解：由题意知r=OP=.由三角函数定义,得cos θ=.又因为cos θ=x,所以x.因为x≠0,所以x=±1.
当x=1时,P(1,3),此时sin θ=,tan θ==3;当x=-1时,P(-1,3),
此时sin θ=,tan θ==-3.
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14.(10分)已知角α的终边上的点P与点A(a,b)关于x轴对称(a≠0,b≠0),角β的终边上的点Q与点A关于直线y=x对称,求的值.
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解：由题意可知点P(a,-b),
则sin α=,cos α=,tan α=-;
由题意可知点Q (b,a),则sin β=,cos β=,tan β=,
所以=-1-=0.7．2.1　任意角的三角函数
第 1 课时　三角函数的概念—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]　1.借助单位圆理解任意角的三角函数的定义.2.能利用定义求三角函数值及参数值.
1．任意角三角函数的定义
前提 如图，在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x，y)，它与原点的距离是r，则r＝______，我们规定：
正弦 比值______叫作α的正弦，记作sin α，即sin α＝______
余弦 比值______叫作α的余弦，记作cos α，即cos α＝______
正切 比值____________叫作α的正切，记作tan α，即tan α＝__________
三角函数 sin α，cos α，tan α分别叫作角α的正弦函数、余弦函数、正切函数，这三种函数都称为α的三角函数
|微|点|助|解|　
(1)任意角的三角函数是在坐标系中定义的，角的范围是使函数有意义的实数集．
(2)当α＝＋kπ(k∈Z)时，α的终边在y轴上，这时点P的横坐标x＝0，所以tan α＝无意义．
(3)三角函数的记号是一个整体，离开α的sin，cos，tan等是无意义的，如sin α表示的是一个比值而不是sin与α的积．
(4)因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，所以三角函数可以看成是自变量为实数或其子集的函数．
2．三角函数定义的推广
设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点O重合，r＝OP，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
|微|点|助|解|　
三角函数的值与点P在终边上的位置无关，仅与角的大小有关，我们只需计算点P到原点O的距离r＝OP＝，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若α的终边与x轴负半轴重合，则tan α不存在．(　 )
(2)若α是第二象限角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos α＝－.(　 )
(3)正切函数y＝tan x的定义域为.(　 )
2．已知角α的终边与单位圆的交点为P，则tan α＝(　 )
A. B．－
C. D．－
3．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于(　 )
A. B.
C．－ D．－
题型(一)　已知角的终边上一点求三角函数值
[例1]　已知角α的终边与单位圆的交点为，则sin α＝(　 )
A．－ B．±
C．± D．±
[例2]　已知角α的终边经过点P(2，tan α－7)，则tan α＝(　 )
A．－7 B．7
C．－ D.
听课记录：
|思|维|建|模|
利用单位圆法求三角函数的值，先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用三角函数的定义求出相应的三角函数值．　　
[针对训练]
1．已知角α的终边经过点M(1，)，则cos α＝(　 )
A. B.
C. D.
2．已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合．若角α终边上一点P的坐标为，则sin αtan α＝(　 )
A．－ B．－
C. D.
题型(二)　已知角终边所在直线求三角函数值
[例3]　已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，求角α余弦值为(　 )
A. B．±
C. D．±
听课记录：
|思|维|建|模|
在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意角的终边为射线，所以应分两种情况处理．取射线上异于原点的任意一点的坐标(a，b)，则对应角的三角函数值．　　
[针对训练]
3．已知角α的终边落在直线2x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．
题型(三)　利用三角函数定义求点的坐标或参数
[例4]　已知角α终边经过点P(－8m，－6cos 60°)，且cos α＝－，则m的值为(　 )
A. B．－
C．－ D.
听课记录：
|思|维|建|模|
当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．　　
[针对训练]
4．已知点P(－，y)为角β终边上的一点，且sin β＝，则y的值为________．
5．已知角α的终边上有一点P，OP＝25，且sin α＝－，求点P的坐标．
第1课时　三角函数的概念
?课前预知教材
1.　　　　　
(x≠0)　(x≠0)
[基础落实训练]　1.(1)×　(2)×　(3)×
2．B　3.D
?课堂题点研究
　[题型(一)]
[例1]　选C　由题意，得2＋y2＝1.∴y＝±.∴sin α＝y＝±.故选C.
[例2]　选A　由角α的终边经过点P(2，tan α－7)，得tan α＝，解得tan α＝－7.
[针对训练]
1．选B　由三角函数的定义可得cos α＝＝.
2．选A　由P，
得P.
则sin α＝＝，
tan α＝＝－.故sin αtan α＝－.
　[题型(二)]
[例3]　选D　因为角α的终边在直线3x－y＝0上，则角α在第一象限或第三象限，可设点(x0,3x0)为角α的终边上一点，所以cos α＝±＝±.
[针对训练]
3．解：直线2x＋y＝0，即y＝－2x，经过第二、第四象限．在第二象限取直线上的点(－1,2)，
则r＝＝3.
所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－2.在第四象限取直线上的点(1，－2)，则r＝ ＝3.所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－2.
　[题型(三)]
[例4]　选A　由点P的坐标可化为(－8m，－3)，得r＝＝.由三角函数的定义知，cos α＝＝＝－.即100m2＝64m2＋9，解得m＝±.当m＝－时，点P的坐标为(4，－3)，则cos α为正，不符合题意．
故m＝.
[针对训练]
4．解析：由三角函数的定义，
得sin β＝＝＝.则y>0，且＝，整理，
得13y2＝5＋y2.
解得y＝.
答案：
5．解：设点P的坐标为(x，y)，r＝OP＝25.
∵π<α<，∴x<0，y<0.
∵sin α＝－，∴sin α＝＝＝－，解得y＝－20.
∵r＝OP＝25，∴＝25，
即＝25.又x<0，解得x＝－15.
故点P的坐标为(－15，－20)．课时跟踪检测(三十八)　三角函数的概念
(满分90分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在坐标原点O，始边是x轴的非负半轴，终边经过点P(m,1)，若tan α＝－2，则m＝(　　)
A．－2 B．－
C. D．2
2．已知sin α＝，cos α＝－，则角α的终边与单位圆的交点坐标是(　　)
A. B.
C. D.
3．已知函数y＝ax＋3＋3(a＞0，且a≠1)的图象恒过点P，若角α的终边经过点P，则cos α＝(　　)
A. B．－
C. D．－
4．已知角α终边过点P(3a，－4a)(a<0)，则sin α＋cos α的值为(　　)
A. B.
C．－ D．－
5．(2024·南京模拟)已知角α的终边经过点(1，－3)，若角α与θ的终边关于y轴对称，则2sin θ－cos θ＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
6．若使得tan α有意义，则α的取值范围为______________________．
7．若α的终边与x轴负半轴重合，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.
8．已知角α的终边经过点(2a＋1，a－2)，且cos α＝－，则实数a的值是________．
9．(8分)利用定义求sin，cos，tan的值．
10．(10分)已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α.
B级——重点培优
11．若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y<0，cos α＝，则tan α等于(　　)
A．－ B.
C. D．－
12．已知角α的终边上一点P与点A(－3,2)关于y轴对称，角β的终边上一点Q与点A关于原点对称，则sin α＋sin β＝________.
13．(10分)已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ.
14．(10分)已知角α的终边上的点P与点A(a，b)关于x轴对称(a≠0，b≠0)，角β的终边上的点Q与点A关于直线y＝x对称，求＋＋的值．
课时跟踪检测(三十八)
1．选B　由题意，tan α＝＝－2，解得m＝－.
2．选D　设交点坐标为P(x，y)，则y＝sin α＝，x＝cos α＝－，∴点P.
3．选B　令x＋3＝0，求得x＝－3，y＝4，
函数y＝ax＋3＋3(a＞0，且a≠1)的图象恒过点P(－3,4)，
角α的终边经过点P，则cos α＝＝－.
4．选A　由题意得，点P(3a，－4a)(a<0)到原点的距离r＝＝－5a.
根据三角函数的定义可知sin α＝＝，cos α＝＝－，所以sin α＋cos α＝.
5．选A　∵角α的终边经过点(1，－3)，角α与θ的终边关于y轴对称，
∴角θ的终边经过点(－1，－3)．
∴sin θ＝－＝－，
cos θ＝－＝－.
∴2sin θ－cos θ＝－＋＝－.
6.
7．解析：当α的终边与x轴负半轴重合时，角α的终边与单位圆的交点坐标为(－1,0)，故sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0.
答案：0　－1　0　
8．解析：∵r＝＝，cos α＝＝－，
∴9(a2＋1)＝5(2a＋1)2.又2a＋1<0，解得a＝－2.
答案：－2
9.解：如图，在平面直角坐标系中画出角的终边．
设角的终边与单位圆的交点为P，则有P.
故sin＝－，cos＝－，tan＝＝1.
10．解：因为r＝＝5|a|.
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，
sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，
所以2sin α＋cos α＝－＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝＝－，cos α＝＝，
所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1.
综上，2sin α＋cos α＝±1.
11．选D　因为cos α＝＝，所以＝5.所以y2＝16.因为y<0，所以y＝－4.所以tan α＝－.
12．解析：由题意，P(3,2)，Q(3，－2)，从而sin α＝＝，sin β＝＝－，所以sin α＋sin β＝0.
答案：0
13．解：由题意知r＝OP＝.
由三角函数定义，得cos θ＝＝.
又因为cos θ＝x，所以＝x.
因为x≠0，所以x＝±1.
当x＝1时，P(1,3)，
此时sin θ＝＝，tan θ＝＝3；
当x＝－1时，P(－1,3)，
此时sin θ＝＝，tan θ＝＝－3.
14．解：由题意可知点P(a，－b)，
则sin α＝，
cos α＝，tan α＝－；
由题意可知点Q(b，a)，则sin β＝，cos β＝，tan β＝，
所以＋＋＝－1－＋＝0.

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