资源简介

7．2.2　同角三角函数关系—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
1．同角三角函数的基本关系
关系式
平方关系 sin2α＋cos2α＝____
商数关系 ＝______
2．基本关系式的变形公式
(1)sin2α＝1－cos2α；
(2)cos2α＝1－sin2α；
(3)sin α＝± ；
(4)cos α＝± ；
(5)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；
(6)sin α＝tan αcos α；
(7)cos α＝.
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意角α，sin2＋cos2＝1都成立．(　 )
(2)当sin α＝时，cos α＝.(　 )
(3)由于平方关系对任意角都成立，故sin2α＋cos2β＝1也成立．(　 )
(4)当α≠kπ＋，k∈Z时，cos2α＝.(　 )
2. 等于(　 )
A．sin B．cos
C．－sin D．－cos
3．若sin α＝，cos α＝，则tan α＝________.
题型(一)　已知某角的一个三角函数值求其他三角函数值
[例1]　已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
听课记录：
[变式拓展]
若本例变为已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．
|思|维|建|模|
求同角三角函数值的一般步骤
(1)根据已知三角函数值的符号，确定角所在象限；
(2)对角所在象限进行分类讨论；
(3)利用两个基本关系式求出其他三角函数值；
(4)根据角所在象限确定由平方关系开方后的符号，进而求出其三角函数值．　　
[针对训练]
1．(2024·连云港高一期中)已知sin x＝，x∈，则cos x＝(　 )
A. B．－
C. D．±
2．在△ABC中，若tan A＝，则sin A＝________，cos A＝__________.
题型(二)　利用同角三角函数基本关系化简、证明
[例2]　(1)化简： ＋(180°＜α＜270°)．　
(2)求证：＝.
听课记录：
　|思|维|建|模|
1．三角函数式化简的常用方法
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
2．证明三角恒等式常用技巧及遵循的原则
(1)常用技巧：切化弦、整体代换、“1”的代换等．
(2)原则：由繁到简，变异为同．　
[针对训练]
3．化简＋.
4．求证：＝.
题型(三)　同角三角函数基本关系的灵活运用
[例3]　(1)已知tan α＝2，求2sin2α－sin αcos α＋cos2α的值．
(2)已知sin α＋cos α＝－，0＜α＜π.
①求sin αcos α的值；
②求sin α－cos α的值．
听课记录：
[变式拓展]
1．若本例(2)变为“如果角α满足sin α＋cos α＝”，那么tan α＋的值为多少？
2．若本例(2)变为“已知cos αsin α＝”，那么cos α－sin α的值为多少？
　|思|维|建|模|
1．已知tan α的值，求关于sin α，cos α齐次式值的方法
(1)对只含有sin α，cos α的齐次式，可根据同角三角函数的商数关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入．
(2)形如或的分式，分子、分母同时除以cos α或cos2α，将正、余弦转化为正切，从而求值．
(3)形如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α＋cos2α，转化为形如的式子求值．
2．sin α±cos α与sin αcos α之间的关系
(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α；
(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α，
利用该公式，已知其中一个，能求另外两个，即“知一求二”．　
[针对训练]
5.《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为α(0°<α<45°)，且小正方形与大正方形的面积之比为1∶4，则tan α＝(　 )
A. B.
C. D.
6．(多选)已知θ∈(0，π)，cos θ＝－，则下列结论正确的是(　 )
A．θ∈ B．sin θ－cos θ＝
C．tan θ＝－ D.＝－
7．2.2　同角三角函数关系
?课前预知教材
1．1　tan α
[基础落实训练]　1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　2.A　3.
?课堂题点研究
　[题型(一)]
[例1]　解：∵cos α＝－＜0，∴α是第二或第三象限角．当α是第二象限角时，sin α＞0，tan α＜0，
∴sin α＝＝ ＝，tan α＝＝－.
当α是第三象限角时，sin α＜0，tan α＞0，
∴sin α＝－＝－ ＝－，tan α＝＝.
[变式拓展]
解：由tan α＝＝，
得sin α＝cos α.　①
又sin2α＋cos2α＝1，　　②
由①②，得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝.又α是第三象限角，
∴cos α＝－，sin α＝cos α＝－.
[针对训练]
1．选C　因为x∈，
所以cos x>0，则cos x＝＝ ＝.
2．解析：因为tan A＝，A为三角形的内角，所以角A为第一象限角．由tan A＝＝，得sin A＝cos A．又sin2A＋cos2A＝1，所以cos2A＋cos2A＝1，即cos2A＝.所以cos A＝，sin A＝cos A＝.
答案：　
　[题型(二)]
[例2]　解：(1)∵180°＜α＜270°，
∴sin α＜0.
原式＝ ＋
＝＋＝＝－.
(2)证明：∵左边＝＝＝右边，
∴原等式成立．
[针对训练]
3．解：因为<α<π，
所以cos α＝－，sin α＝.
所以原式＝＋
＝－＝－＝0.
4．证明：因为左边＝＝，
右边＝＝
＝＝
＝，
所以左边＝右边，原等式成立．
　[题型(三)]
[例3]　解：(1)2sin2α－sin αcos α＋cos2α
＝
＝＝＝.
(2)①由sin α＋cos α＝－，得(sin α＋cos α)2＝.所以sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝，sin αcos α＝－.
②由①得sin αcos α＝－＜0及0＜α＜π，
所以sin α＞0，cos α＜0 sin α－cos α＞0.
所以sin α－cos α＝
＝＝.
[变式拓展]
1．解：由sin α＋cos α＝，得sin αcos α＝.所以tan α＋＝＋＝＝＝2.
2．解：因为cos αsin α＝，所以cos α－sin α＝±
＝± ＝±.
[针对训练]
5．选A　设大正方形的边长为a，则小正方形的边长为a(cos α－sin α)，
故＝，故1－2sin αcos α＝，即sin αcos α＝ ＝ ＝ 3tan 2α－8tan α＋3＝0，解得tan α＝或tan α＝.
因为0°<α<45°，则0所以tan α＝.
6．选ABD　因为θ∈(0，π)，cos θ＝－，所以θ∈，sin θ>0，sin θ＝ ＝＝.则sin θ－cos θ＝－＝，tan θ＝＝＝－，＝＝－.由上述解析，可知A、B、D正确，C错误．(共55张PPT)
7.2.2
同角三角函数关系
(教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学)
指数幂及其运算性质
—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
第2课时
课时目标
1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.
2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.同角三角函数的基本关系
关系式
平方关系 sin2α+cos2α=____
商数关系 =________
1
tan α
2.基本关系式的变形公式
(1)sin2α=1-cos2α; (2)cos2α=1-sin2α;
(3)sin α=± ; (4)cos α=± ;
(5)(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α;
(6)sin α=tan αcos α; (7)cos α=.
基础落实训练
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)对任意角α,sin2+cos2=1都成立.(　 )
(2)当sin α=时,cos α=.(　 )
(3)由于平方关系对任意角都成立,故sin2α+cos2β=1也成立.(　 )
(4)当α≠kπ+,k∈Z时,cos2α=.(　 )
×
×
√
√
2. 等于(　 )
A.sin B.cos
C.-sin D.-cos
解析：∵0<,∴sin>0.∴ = =sin.
√
3.若sin α=,cos α=,则tan α=　　　　.
解析：tan α=.
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一)　已知某角的一个三角函数值求其他三角函数值
[例1]　已知cos α=-,求sin α,tan α的值.
解：∵cos α=-<0,∴α是第二或第三象限角.当α是第二象限角时,sin α>0,tan α<0,
∴sin α== ,tan α==-.
当α是第三象限角时,sin α<0,tan α>0,
∴sin α=-=- =-,
tan α=.
变式拓展
若本例变为已知tan α=,且α是第三象限角,求sin α,cos α的值.
解：由tan α=,得sin α=cos α.　①
又sin2α+cos2α=1,　　②
由①②,得cos2α+cos2α=1,即cos2α=.
又α是第三象限角,∴cos α=-,sin α=cos α=-.
|思|维|建|模|
求同角三角函数值的一般步骤
(1)根据已知三角函数值的符号,确定角所在象限;
(2)对角所在象限进行分类讨论;
(3)利用两个基本关系式求出其他三角函数值;
(4)根据角所在象限确定由平方关系开方后的符号,进而求出其三角函数值.
1.(2024·连云港高一期中)已知sin x=,x∈,则cos x=(　 )
A. B.- C. D.±
解析：因为x∈,所以cos x>0,
则cos x=.
√
针对训练
2.在△ABC中,若tan A=,则sin A=　　　　,cos A=　　　　.
解析：因为tan A=,A为三角形的内角,所以角A为第一象限角.
由tan A=,得sin A=cos A.又sin2A+cos2A=1,所以cos2A+cos2A=1,即cos2A=.所以cos A=,sin A=cos A=.
题型(二)　利用同角三角函数基本关系化简、证明
[例2]　(1)化简: (180°<α<270°).　
解：∵180°<α<270°,∴sin α<0.
原式===-.
(2)求证:.
解：证明:∵左边==右边,
∴原等式成立.
|思|维|建|模|
1.三角函数式化简的常用方法
(1)化切为弦,即把正切函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.
(2)对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号,达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.
2.证明三角恒等式常用技巧及遵循的原则
(1)常用技巧:切化弦、整体代换、“1”的代换等.
(2)原则:由繁到简,变异为同.
针对训练
3.化简.
解：因为<α<π,
所以cos α=-,sin α=.
所以原式===0.
4.求证:.
证明:因为左边=,
右边==,
所以左边=右边,原等式成立.
题型(三)　同角三角函数基本关系的灵活运用
[例3]　(1)已知tan α=2,求2sin2α-sin αcos α+cos2α的值.
①求sin αcos α的值;
②求sin α-cos α的值.
解：2sin2α-sin αcos α+cos2α
==.
(2)已知sin α+cos α=-,0<α<π.
解：①由sin α+cos α=-,得(sin α+cos α)2=.
所以sin2α+2sin αcos α+cos2α=,sin αcos α=-.
②由①得sin αcos α=-<0及0<α<π,
所以sin α>0,cos α<0 sin α-cos α>0.
所以sin α-cos α==.
变式拓展
1.若本例(2)变为“如果角α满足sin α+cos α=”,那么tan α+的值为多少
解：由sin α+cos α=,得sin αcos α=.
所以tan α+===2.
2.若本例(2)变为“已知cos αsin α=”,那么cos α-sin α的值为多少
解：因为cos αsin α=,
所以cos α-sin α=±
=± =±.
|思|维|建|模|
1.已知tan α的值,求关于sin α,cos α齐次式值的方法
(1)对只含有sin α,cos α的齐次式,可根据同角三角函数的商数关系,通过除以某一齐次项,转化为只含有正切的式子,即化弦为切,整体代入.
(2)形如或的分式,分子、分母同时除以cos α或cos2α,将正、余弦转化为正切,从而求值.
(3)形如asin2α+bsin αcos α+ccos2α的式子,将其看成分母为1的分式,再将分母1变形为sin2α+cos2α,转化为形如的式子求值.
2.sin α±cos α与sin αcos α之间的关系
(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α;
(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α,
利用该公式,已知其中一个,能求另外两个,即“知一求二”.
5.《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形,如图所示,直角三角形中
最小的一个角为α(0°<α<45°),且小正方形与大正方形
的面积之比为1∶4,则tan α= (　 )
A. B. C. D.
针对训练
√
解析：设大正方形的边长为a,则小正方形的边长为a(cos α-sin α),
故,故1-2sin αcos α=,即sin αcos α= 3tan 2α-8tan α+3=0,解得tan α=或tan α=.因为0°<α<45°,则06.(多选)已知θ∈(0,π),cos θ=-,则下列结论正确的是(　 )
A.θ∈ B.sin θ-cos θ=
C.tan θ=- D.=-
√
√
√
解析：因为θ∈(0,π),cos θ=-,所以θ∈,sin θ>0,sin θ= .
则sin θ-cos θ=,tan θ==-=-.
由上述解析,可知A、B、D正确,C错误.
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.已知tan α=2,则的值为(　 )
A.-4 B.
C.- D.±
解析：由tan α=2,得.
√
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2.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α的结果是 (　 )
A. B.
C.1 D.
解析：原式=sin2α+cos2α(cos2α+sin2α)=sin2α+cos2α=1.
√
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3.化简 的结果是(　 )
A.sin 2+cos 2 B.sin 2-cos 2
C.cos 2-sin 2 D.-sin 2-cos 2
解析：=|sin 2-cos 2|.
∵<2<π,∴sin 2>0,cos 2<0.∴原式=sin 2-cos 2.
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4.若tan α=,则sin αcos α=(　 )
A.1 B.
C. D.
解析：∵sin αcos α=,
又tan α=,∴sin αcos α=.
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5.已知α是三角形的一个内角,且sin α+cos α=,则这个三角形的形状是(　 )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.不等腰的直角三角形 D.等腰直角三角形
解析：由α∈(0,π),将sin α+cos α=两边平方,得2sin αcos α=-1<0.而sin α>0,∴cos α<0,故α为钝角.故选B.
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6.化简(1+tan215°)·cos215°=　　　　.
解析：(1+tan215°)·cos215°=·cos215°
=·cos215°=1.
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7.(2023·全国乙卷)若θ∈,tan θ=,则sin θ-cos θ=　　　　.
解析：由且θ∈,解得
故sin θ-cos θ=-.
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8.若<α<π,sin αcos α=-,则tan α=　　　　.
解析：由sin αcos α==-,整理,得(2tan α+1)(tan α+2)=0,解得tan α=-或tan α=-2.因为<α<π,所以tan α∈(-1,0).故tan α=-.
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9.(8分)求证:.
证明:∵左边==
==
==右边,∴原等式成立.
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10.(10分)化简下列各式.
(1);
解：
==1.
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(2)cos6α+sin6α+3sin2αcos2α.
解：cos6α+sin6α+3sin2αcos2α
=(cos2α+sin2α)(cos4α-cos2αsin2α+sin4α)+3sin2αcos2α=cos4α+2sin2αcos2α+sin4α
=(cos2α+sin2α)2=1.
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B级——重点培优
11.若tan α=m,α是第二象限角,则cos α等于(　 )
A.- B.
C.- D.
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解析：∵α是第二象限角,且tan α=m,
∴m<0,sin α>0,cos α<0.由mcos α=sin α,
代入平方关系得到m2cos2α+cos2α=1.
∴cos2α=.∴cos α=-.
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12.(2023·全国甲卷)设甲:sin2α+sin2β=1,乙:sin α+cos β=0,则 (　 )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
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解析：甲等价于sin2α=1-sin2β=cos2β,等价于sin α=±cos β,所以由甲不能推导出sin α+cos β=0,所以甲不是乙的充分条件;由sin α+cos β=0,得sin α=-cos β,平方可得sin2α=cos2β=1-sin2β,即sin2α+sin2β=1,所以由乙可以推导出甲,则甲是乙的必要条件.故选B.
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13.若实数α,β满足方程组则β的一个值可以
是　 　 　　.
解析：由
可得9sin2x+9cos2x=(2cos β)2+(2sin β+1)2,
即9=4+4sin β+1,所以sin β=1.所以β=+2kπ,k∈Z.所以当k=0时,β=.
(答案不唯一,满足β=+2kπ,k∈Z即可)
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14.(12分)在①sin α+cos α=,②log4(2sin α+cos α)+log4(sin α+2cos α)=1这两个条件中任选一个,补充在下面横线中,并解答.
若α∈R,且　　　　,求tan α的值.
解：若选条件①,
由sin α+cos α=两边平方得1+2sin αcos α=,∴2sin αcos α=,即sin αcos α=.
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可得,即.
得2tan2α-5tan α+2=0.解得tan α=或tan α=2.
若选条件②,
∵log4(2sin α+cos α)+log4(sin α+2cos α)=1,
∴log4[(2sin α+cos α)×(sin α+2cos α)]=1,
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即(2sin α+cos α)×(sin α+2cos α)=4,
化简得2sin2α+5sin αcos α+2cos2α=4.
∴=4,即=4.
得2tan2α-5tan α+2=0,解得tan α=或tan α=2.
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15.(12分)1626年,阿贝尔特格洛德最早推出简写的三角符号:sin,tan,sec(正割),1675年,英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号:cos,cot,csc(余割),但直到1748年,经过数学家欧拉的引用后,才逐渐通用起来,其中sec θ=,csc θ=.若α∈(0,π),且=2,求tan α的值.
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解：由=2,得3sin α+2cos α=2.
又sin2α+cos2α=1,联立解得或
因为α∈(0,π),所以所以tan α==-.课时跟踪检测(四十)　同角三角函数关系
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．已知tan α＝2，则的值为(　　)
A．－4 B.
C．－ D．±
2．化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是(　　)
A. B.
C．1 D.
3．化简 的结果是(　　)
A．sin 2＋cos 2 B．sin 2－cos 2
C．cos 2－sin 2 D．－sin 2－cos 2
4．若tan α＝，则sin αcos α＝(　　)
A．1 B.
C. D.
5．已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝，则这个三角形的形状是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．不等腰的直角三角形 D．等腰直角三角形
6．化简(1＋tan215°)·cos215°＝________.
7．(2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝________.
8．若<α<π，sin αcos α＝－，则tan α＝________.
9．(8分)求证：＝.
10．(10分)化简下列各式．
(1)；
(2)cos6α＋sin6α＋3sin2αcos2α.
B级——重点培优
11．若tan α＝m，α是第二象限角，则cos α等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
12．(2023·全国甲卷)设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sin α＋cos β＝0，则(　　)
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
13．若实数α，β满足方程组则β的一个值可以是________．
14．(12分)在①sin α＋cos α＝，②log4(2sin α＋cos α)＋log4(sin α＋2cos α)＝1这两个条件中任选一个，补充在下面横线中，并解答．
若α∈R，且________，求tan α的值．
15．(12分)1626年，阿贝尔特格洛德最早推出简写的三角符号：sin，tan，sec(正割)，1675年，英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：cos，cot，csc(余割)，但直到1748年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，其中sec θ＝，csc θ＝.若α∈(0，π)，且＋＝2，求tan α的值．
课时跟踪检测(四十)
1．选B　由tan α＝2，得＝＝＝.
2．选C　原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)＝sin2α＋cos2α＝1.
3．选B ＝＝|sin 2－cos 2|.∵<2<π，∴sin 2>0，cos 2<0.∴原式＝sin 2－cos 2.
4．选D　∵sin αcos α＝＝，又tan α＝，∴sin αcos α＝＝.
5．选B　由α∈(0，π)，将sin α＋cos α＝两边平方，得2sin αcos α＝－1<0.而sin α>0，
∴cos α<0，故α为钝角．故选B.
6．解析：(1＋tan215°)·cos215°＝·cos215°＝·cos215°＝1.
答案：1
7．解析：由且θ∈，解得故sin θ－cos θ＝－.
答案：－
8．解析：由sin αcos α＝＝＝－，
整理，得(2tan α＋1)(tan α＋2)＝0，
解得tan α＝－或tan α＝－2.因为<α<π，所以tan α∈(－1,0)．故tan α＝－.
答案：－
9．证明：∵左边
＝
＝
＝
＝
＝
＝＝右边，
∴原等式成立．
10．解：(1)
＝
＝
＝＝1.
(2)cos6α＋sin6α＋3sin2αcos2α
＝(cos2α＋sin2α)(cos4α－cos2αsin2α＋sin4α)＋3sin2αcos2α
＝cos4α＋2sin2αcos2α＋sin4α
＝(cos2α＋sin2α)2＝1.
11．选A　∵α是第二象限角，且tan α＝m，
∴m<0，sin α>0，cos α<0.由mcos α＝sin α，
代入平方关系得到m2cos2α＋cos2α＝1.
∴cos2α＝.
∴cos α＝－.
12．选B　甲等价于sin2α＝1－sin2β＝cos2β，等价于sin α＝±cos β，所以由甲不能推导出sin α＋cos β＝0，所以甲不是乙的充分条件；由sin α＋cos β＝0，得sin α＝－cos β，平方可得sin2α＝cos2β＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件．故选B.
13．解析：由
可得9sin2x＋9cos2x＝(2cos β)2＋(2sin β＋1)2，
即9＝4＋4sin β＋1，所以sin β＝1.
所以β＝＋2kπ，k∈Z.
所以当k＝0时，β＝.
答案：(答案不唯一，满足β＝＋2kπ，k∈Z即可)
14．解：若选条件①，
由sin α＋cos α＝两边平方得1＋2sin α·cos α＝，∴2sin αcos α＝，
即sin αcos α＝.
可得＝，即＝.
得2tan2α－5tan α＋2＝0.
解得tan α＝或tan α＝2.
若选条件②，
∵log4(2sin α＋cos α)＋log4(sin α＋2cos α)＝1，
∴log4[(2sin α＋cos α)×(sin α＋2cos α)]＝1，
即(2sin α＋cos α)×(sin α＋2cos α)＝4，
化简得2sin2α＋5sin αcos α＋2cos2α＝4.
∴＝4，
即＝4.
得2tan2α－5tan α＋2＝0，
解得tan α＝或tan α＝2.
15．解：由＋＝2，
得3sin α＋2cos α＝2.
又sin2α＋cos2α＝1，
联立解得或
因为α∈(0，π)，
所以
所以tan α＝＝－.

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