资源简介

(共49张PPT)
7.2.3
三角函数的诱导公式
诱导公式一~四
(教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学)
第1课时
课时目标
1.借助圆的对称性理解诱导公式一~四的推导过程.
2.熟记诱导公式,理解和掌握公式的内涵和结构特征.
3.会初步利用诱导公式进行求值、化简与证明.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
诱导公式一、二、三、四
角的终边间关系 公式
公式一 终边相同 sin(α+2kπ)=______ (k∈Z)
cos(α+2kπ)=______ (k∈Z)
tan(α+2kπ)=______ (k∈Z)
sin α
cos α
tan α
续表
公式二 终边关于 x轴对称 sin(-α)=_______ cos(-α)=______
tan(-α)=_______
公式三 终边关于 y轴对称 sin(π-α)=______ cos(π-α)=_______
tan(π-α)=_______
公式四 终边关于 原点O对称 sin(π+α)=________ cos(π+α)=_______
tan(π+α)=_______
-sin α
-tan α
sin α
-tan α
-sin α
tan α
cos α
-cos α
-cos α
|微|点|助|解| 　
(1)公式一~四中的角α可以是任意角,如sin[π+(2x-3)]=-sin(2x-3).
(2)判断函数值的符号时,虽然把角α当作锐角,但实际上,对于正弦与余弦的诱导公式,角α可以为任意角;对于正切的诱导公式,α的终边不能落在y轴上,即α≠kπ+(k∈Z).
(3)诱导公式既可以用弧度制表示,也可以用角度制表示.
基础落实训练
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)利用诱导公式四可以把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数.(　 )
(2)利用诱导公式二可以把负角的三角函数化为正角的三角函数.(　 )
(3)公式tan(α-π)=tan α中,α=不成立.(　 )
√
√
√
2.cos(π+x)等于 (　 )
A.cos x B.-cos x
C.sin x D.-sin x
解析：由诱导公式,得cos(π+x)=-cos x.
√
3.化简cos(3π-α)= (　 )
A.cos α B.-cos α
C.sin α D.-sin α
解析：cos(3π-α)=cos[2π+(π-α)]=cos(π-α)=-cos α.
√
4.计算:sin 210°= (　 )
A. B.-
C. D.-
解析：sin 210°=sin(180°+30°)=-sin 30°=-,故选D.
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一)　给角求值问题
[例1]　求下列各三角函数值.
(1)cosπ;
解：cosπ=cos=cosπ
=cos=cos.
(2)sin;
解：sin=-sin=-sin=-sin=-.
(3)tan(-855°).
解：tan(-855°)=-tan 855°=-tan(2×360°+135°)=-tan 135°
=-tan(180°-45°)=tan 45°=1.
　|思|维|建|模|
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
“负化正” 用公式一或二来转化
“大化小” 用公式一将角化为0°到360°间的角
“小化锐” 用公式三或四将大于90°的角转化为锐角
“锐求值” 得到锐角的三角函数后求值
针对训练
1.求值:cos(-120°)·sin(-150°)+tan 855°.
解：原式=cos 120°·(-sin 150°)+tan 855°
=-cos(180°-60°)·sin(180°-30°)+tan(135°+2×360°)
=cos 60°·sin 30°+tan 135°
=cos 60°·sin 30°+tan(180°-45°)
=cos 60°·sin 30°-tan 45°=-1=-.
题型(二)　给值求值问题
[例2]　已知cos,求下列各式的值.
(1)cos;
解：cos=cos=-cos=-.
(2)cos.
解：cos=cos
=cos=cos.
变式拓展
若本例的条件不变,求cos-sin2的值.
解：因为cos=cos=-cos=-,
sin2=sin2=1-cos2=1-,
所以cos-sin2=-=-.
　|思|维|建|模|　解决条件求值问题的两个技巧
2.已知=3,求tan(5π-α)的值.
解：∵=
==3,
针对训练
∴sin α=-.
∴当α为第三象限角时,cos α=-,tan α=;
当α为第四象限角时,cos α=,tan α=-.
∴tan(5π-α)=tan(π-α)=-tan α=±.
题型(三)　化简求值问题
[例3]　设k为整数,化简:.　
解：法一:分类讨论　当k为偶数时,设k=2m(m∈Z),
则原式==-1;
当k为奇数时,设k=2m+1(m∈Z),同理可得原式=-1.
综上,=-1.
法二:配角法　由于kπ-α+kπ+α=2kπ,(k+1)π+α+(k-1)π-α=2kπ,
故cos[(k-1)π-α]=cos[(k+1)π+α]=-cos(kπ+α),sin[(k+1)π+α]=-sin(kπ+α),
sin(kπ-α)=-sin(kπ+α).
所以原式==-1.
|思|维|建|模|　三角函数式化简的常用方法
合理转化 ①将角化成2kπ±α,kπ±α,k∈Z的形式.②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数
切化弦 一般需将表达式中的正切函数转化为弦函数
注意“1”的应用
针对训练
3.化简 的结果是　 　　　.
解析：
=
==|sin 3-cos 3|.∵<3<π,
∴sin 3>0,cos 3<0.∴原式=sin 3-cos 3.
sin 3-cos 3
4.计算:.
解：原式=
==-1.
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.tan 240°等于(　 )
A. B.-
C. D.-
解析：tan 240°=tan(180°+60°)=tan 60°=.
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2.(多选)已知sin(π-α)=,则cos(α-2 022π)的值为(　 )
A. B.- C. D.-
解析：∵sin(π-α)=,∴sin α=,
cos(α-2 022π)=cos α=±=±.
√
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3.如果cos(5π+A)=-,那么cos A=(　 )
A. B.- C.- D.
解析：由cos(5π+A)=-,得cos(5π+A)=cos(π+A)=-cos A=-,
即cos A=.故选D.
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4.已知tan,则tan=(　 )
A. B.-
C. D.-
解析：tan=tan=-tan=-.故选B.
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5.化简:·tan(π+α)=　　　　.
解析：原式=·tan α=·tan α=-1.
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6.已知sin(45°+α)=,则sin(135°-α)=　　　　.
解析：sin(135°-α)=sin[180°-(45°+α)]=sin(45°+α)=.
7.已知tan(π-α)=-,则的值为　　　　.
解析：∵tan(π-α)=-,∴tan α=.
∴==-.
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8.(8分)已知sin(π-α)-cos(π+α)=,求下列各式的值.
(1)sin α-cos α;
解：由sin(π-α)-cos(π+α)=,得sin α+cos α=.
∴1+2sin αcos α=,2sin αcos α=-.
∵(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1+,
又<α<π,∴sin α>0,cos α<0.∴sin α-cos α>0.∴sin α-cos α=.
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(2)sin3(2π-α)+cos3(2π-α).
解：原式=cos3α-sin3α=(cos α-sin α)(cos2α+cos αsin α+sin2α)=(cos α-sin α)(1+cos αsin α)
=-=-=-.
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9.(10分)设f(θ)=.
(1)化简f(θ);
解：原式===-cos θ.
(2)若θ=660°,求f(θ)的值.
解：因为θ=660°,所以f(θ)=f(660°)=-cos 660°
=-cos(720°-60°)=-cos(-60°)=-cos 60°=-.
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B级——重点培优
10.(多选)下列化简正确的是(　 )
A.tan(π+1)=tan 1 B.=cos α
C.=tan α D.=1
√
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解析：由诱导公式四可得tan(π+1)=tan 1,故A正确;=cos α,故B正确;=-tan α,故C不正确;=-1,故D不正确.
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11.若角α顶点在原点,始边在x轴正半轴上,终边一点P的坐标为,则角α为(　 )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
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解析：因为sin=sin=sin=-sin=-<0,cos=cos=-cos=-<0,所以点P在第三象限.所以角α为第三象限角.故选C.
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12.记cos(-80°)=k,那么tan 280°=　　　　.
解析：∵cos(-80°)=k,∴sin(-80°)=-.
那么tan 280°=tan(-80°)==-.
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13.已知α≠(k∈Z),则=　　　　.
解析： ==-1.
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14.(11分)在△ABC中,若sin(2π-A)=-sin(π-B),cos A=-cos(π-B),求△ABC的三个内角.
解：由题意,得sin A=sin B,cos A=cos B.由平方关系整理,得2cos2A=1,cos A=±.
又因为A∈(0,π),所以A=或A=.
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当A=时,cos B=-<0,所以B∈.
所以A,B均为钝角,不合题意,舍去.所以A=,cos B=.所以B=.所以C=.
综上所述,A=,B=,C=.
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15.(12分)已知=3+2,求[cos2(π-θ)+sin(π+θ)·cos(π-θ)+2sin2(θ-π)]·的值.
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解：由=3+2,得(4+2)tan θ=2+2.
所以tan θ=.
故[cos2(π-θ)+sin(π+θ)·cos(π-θ)+2sin2(θ-π)]·
=(cos2θ+sin θcos θ+2sin2θ)·
=1+tan θ+2tan2θ=1++2×=2+.7．2.3　三角函数的诱导公式
第 1 课时　诱导公式一～四—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
　　　　　　　　　　　
诱导公式一、二、三、四
角的终边间关系 公式
公式一 终边相同 sin(α＋2kπ)＝____(k∈Z) cos(α＋2kπ)＝____(k∈Z)tan(α＋2kπ)＝____(k∈Z)
公式二 终边关于x轴对称 sin(－α)＝______cos(－α)＝______tan(－α)＝______
公式三 终边关于y轴对称 sin(π－α)＝______cos(π－α)＝______tan(π－α)＝______
公式四 终边关于原点O对称 sin(π＋α)＝______cos(π＋α)＝______tan(π＋α)＝______
|微|点|助|解|　
(1)公式一～四中的角α可以是任意角，如sin[π＋(2x－3)]＝－sin(2x－3)．
(2)判断函数值的符号时，虽然把角α当作锐角，但实际上，对于正弦与余弦的诱导公式，角α可以为任意角；对于正切的诱导公式，α的终边不能落在y轴上，即α≠kπ＋(k∈Z)．
(3)诱导公式既可以用弧度制表示，也可以用角度制表示．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)利用诱导公式四可以把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数．(　 )
(2)利用诱导公式二可以把负角的三角函数化为正角的三角函数．(　 )
(3)公式tan(α－π)＝tan α中，α＝不成立．(　 )
2．cos(π＋x)等于(　 )
A．cos x B．－cos x
C．sin x D．－sin x
3．化简cos(3π－α)＝(　 )
A．cos α B．－cos α
C．sin α D．－sin α
4．计算：sin 210°＝(　 )
A. B．－
C. D．－
题型(一)　给角求值问题
[例1]　求下列各三角函数值．
(1)cosπ；(2)sin；
(3)tan(－855°)．
听课记录：
|思|维|建|模|
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
“负化正” 用公式一或二来转化
“大化小” 用公式一将角化为0°到360°间的角
“小化锐” 用公式三或四将大于90°的角转化为锐角
“锐求值” 得到锐角的三角函数后求值
[针对训练]
1．求值：cos(－120°)·sin(－150°)＋tan 855°.
题型(二)　给值求值问题
[例2]　已知cos＝，求下列各式的值．
(1)cos；(2)cos.
听课记录：
[变式拓展]
若本例的条件不变，求cos－sin2的值．
|思|维|建|模|　解决条件求值问题的两个技巧
[针对训练]
2．已知＝3，求tan(5π－α)的值．
题型(三)　化简求值问题
[例3]　设k为整数，化简：
.
听课记录：
|思|维|建|模|　三角函数式化简的常用方法
合理转化 ①将角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式．②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数
切化弦 一般需将表达式中的正切函数转化为弦函数
注意“1”的应用 1＝sin2α＋cos2α＝tan
[针对训练]
3．化简 的结果是________．
4．计算：.
第1课时　诱导公式一～四
?课前预知教材
sin α　cos α　tan α　－sin α　cos α　－tan α　sin α　－cos α　－tan α　－sin α　－cos α　tan α
[基础落实训练]　1.(1)√　(2)√　(3)√　2.B　3.B　4.D
?课堂题点研究
　[题型(一)]
[例1]　解：(1)cosπ＝cos＝cosπ＝cos＝cos＝.
(2)sin＝－sin
＝－sin＝－sin＝－.
(3)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.
[针对训练]
1．解：原式＝cos 120°·(－sin 150°)＋tan 855°
＝－cos(180°－60°)·sin(180°－30°)＋tan(135°＋2×360°)
＝cos 60°·sin 30°＋tan 135°
＝cos 60°·sin 30°＋tan(180°－45°)
＝cos 60°·sin 30°－tan 45°＝×－1
＝－.
　[题型(二)]
[例2]　解：(1)cos＝cos＝－cos＝－.
(2)cos＝cos＝cos＝cos＝.
[变式拓展]
解：因为cos＝cos
＝－cos＝－，
sin2＝sin2＝1－cos2＝1－2＝，
所以cos－sin2＝－－＝－.
[针对训练]
2．解：∵
＝
＝＝3，
∴sin α＝－.∴当α为第三象限角时，cos α＝－，tan α＝；
当α为第四象限角时，cos α＝，tan α＝－.∴tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝±.
　[题型(三)]
[例3]　解：法一：分类讨论　当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，
则原式＝＝＝＝－1；
当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1.
综上，＝－1.
法二：配角法　由于kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，
故cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)，sin[(k＋1)π＋α]
＝－sin(kπ＋α)，
sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)．
所以原式
＝＝－1.
[针对训练]
3．解析：
＝
＝
＝＝|sin 3－cos 3|.
∵<3<π，
∴sin 3>0，cos 3<0.
∴原式＝sin 3－cos 3.
答案：sin 3－cos 3
4．解：原式＝
＝＝＝－1.课时跟踪检测(四十一)　诱导公式一～四
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．tan 240°等于(　　)
A. B．－
C. D．－
2．(多选)已知sin(π－α)＝，则cos(α－2 022π)的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
3．如果cos(5π＋A)＝－，那么cos A＝(　　)
A. B．－
C．－ D.
4．已知tan＝，则tan＝(　　)
A. B．－
C. D．－
5．化简：·tan(π＋α)＝________.
6．已知sin(45°＋α)＝，则sin(135°－α)＝________.
7．已知tan(π－α)＝－，则的值为________．
8．(8分)已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝，求下列各式的值．
(1)sin α－cos α；
(2)sin3(2π－α)＋cos3(2π－α)．
9．(10分)设f(θ)＝.
(1)化简f(θ)；
(2)若θ＝660°，求f(θ)的值．
B级——重点培优
10．(多选)下列化简正确的是(　　)
A．tan(π＋1)＝tan 1
B.＝cos α
C.＝tan α
D.＝1
11．若角α顶点在原点，始边在x轴正半轴上，终边一点P的坐标为sin，cos，则角α为(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
12．记cos(－80°)＝k，那么tan 280°＝________.
13．已知α≠(k∈Z)，则＋＋＝________.
14．(11分)在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
15．(12分)已知＝3＋2，求[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·的值．
课时跟踪检测(四十一)
1．选C　tan 240°＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝.
2．选AB　∵sin(π－α)＝，∴sin α＝，cos(α－2 022π)＝cos α＝±＝±.
3．选D　由cos(5π＋A)＝－，
得cos(5π＋A)＝cos(π＋A)＝－cos A＝－，即cos A＝.故选D.
4．选B　tan＝tan
＝－tan＝－.故选B.
5．解析：原式＝·tan α＝·tan α＝－1.
答案：－1
6．解析：sin(135°－α)＝sin[180°－(45°＋α)]＝sin(45°＋α)＝.
答案：
7．解析：∵tan(π－α)＝－，
∴tan α＝.
∴＝
＝＝＝－.
答案：－
8．解：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝，
得sin α＋cos α＝.∴1＋2sin αcos α＝，2sin αcos α＝－.
(1)∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝，
又<α<π，∴sin α>0，cos α<0.
∴sin α－cos α>0.
∴sin α－cos α＝.
(2)原式＝cos3α－sin3α＝(cos α－sin α)·(cos2α＋cos αsin α＋sin2α)＝(cos α－sin α)·(1＋cos αsin α)＝－×
＝－×＝－.
9．解：(1)原式＝
＝＝－cos θ.
(2)因为θ＝660°，所以f(θ)＝f(660°)＝－cos 660°＝－cos(720°－60°)＝－cos(－60°)＝－cos 60°＝－.
10．选AB　由诱导公式四可得tan(π＋1)＝tan 1，故A正确；＝＝cos α，故B正确；＝＝－tan α，故C不正确；＝＝－1，故D不正确．
11．选C　因为sin＝sin＝sin＝－sin＝－<0，cos＝cos＝－cos＝－<0，所以点P在第三象限．所以角α为第三象限角．故选C.
12．解析：∵cos(－80°)＝k，
∴sin(－80°)＝－.
那么tan 280°＝tan(－80°)＝＝－.
答案：－
13．解析：＋＋ ＝＋＋＝＋＋＝－1.
答案：－1
14．解：由题意，得sin A＝sin B，cos A＝cos B．由平方关系整理，得2cos2A＝1，cos A＝±.又因为A∈(0，π)，所以A＝或A＝.当A＝时，cos B＝－<0，所以B∈.所以A，B均为钝角，不合题意，舍去．所以A＝，cos B＝.所以B＝.所以C＝.
综上所述，A＝，B＝，C＝.
15．解：由＝3＋2，得(4＋2)tan θ＝2＋2.
所以tan θ＝＝.
故[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·＝(cos2θ＋sin θcos θ＋2sin2θ)·＝1＋tan θ＋2tan2θ＝1＋＋2×2＝2＋.

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