资源简介

(共56张PPT)
诱导公式五、六
(教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学)
第2课时
课时目标
1.理解公式五、六的推导过程并熟记诱导公式,理解和掌握公式的内涵及结构特征.
2.会初步运用诱导公式求三角函数的值,并进行简单三角函数式的化简.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.诱导公式五、六
角的终边间关系 公式
公式五 角的终边关于直线y=x对称
公式六
cos α
sin α
cos α
-sin α
2.诱导公式的推广
(1)sin=-cos α,cos=-sin α,
sin=-cos α,cos=sin α.
(2)正切的两个诱导公式:
tan=-,tan.
3.三角形中的诱导公式
在△ABC中,有以下结论.
(1)sin(A+B)=sin(π-C)=sin C, (2)cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,
(3)tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C, (4)sin=sin=cos ,
(5)cos=cos=sin .
基础落实训练
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)cos=cos α.(　 )
(2)sin=-cos α.(　 )
(3)若cos 10°=a,则sin 100°=a.(　 )
(4)若α为第二象限角,则sin=-cos α.(　 )
×
×
√
√
2.已知sin,那么cos α=(　 )
A.- B.-
C. D.
解析：由sin=sin=cos α,得cos α=.
√
3.计算:sin211°+sin279°=　　　　.
解析：sin211°+sin279°=sin211°+cos211°=1.
1
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一)　利用诱导公式化简求值
[例1]　已知cos(π+α)=,则sin的值为(　 )
A. B.-
C. D.-
解析：因为cos(π+α)=-cos α=,所以sin=-cos α=.故选C.
√
[例2]　已知sin,则cos的值为　　　　.
　
解析：cos=cos
=sin.
1.若例2的条件变为“sin”,求cos的值.
解：∵,∴cos
=cos=-sin=-.
变式拓展
2.若例2中的条件不变,求cos的值.
解：cos=cos
=-sin=-.
|思|维|建|模| 解决化简求值问题的策略
(1)首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
(2)可以将已知式进行变形,向所求式转化,或将所求式进行变形,向已知式转化.
[提醒]　常见的互余关系有-α与+α,+α与-α等;常见的互补关系有+θ与-θ,+θ与-θ等.
针对训练
1.(2024·前黄高级中学模拟)若sin,则sin-cos=(　 )
A.0 B.
C. D.
√
解析：依题意,令+α=t,则sin t=-α=π-=π-t,+α=+α=+t,所以sin-cos=sin(π-t)-cos=sin t+sin t=2sin t=.
2.已知cos 31°=m,则sin 239°tan 149°的值是 (　 )
A. B.
C.- D.-
√
解析：sin 239°tan 149°=sin(180°+59°)·tan(180°-31°)
=-sin 59°(-tan 31°)=-sin(90°-31°)(-tan 31°)
=-cos 31°(-tan 31°)=sin 31°=.
题型(二)　三角恒等式的证明问题
[例3]　求证:.
证明：　因为右边==
===左边,
所以原等式成立.
|思|维|建|模|　三角恒等式证明的策略
遵循的 原则 在证明时一般从左边到右边,或从右边到左边,或左右归一,总之,应遵循化繁为简的原则
常用的 方法 定义法,化弦法,拆项拆角法,公式变形法,“1”的代换法,要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法
针对训练
3.求证:=-tan θ.
证明:因为左边=
==-tan θ=右边,所以原等式成立.
题型(三)　诱导公式的综合应用
[例4]　已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P.
(1)求sin(α+π)的值;
解：根据题意,得sin α=,
cos α=,tan α=.
sin(α+π)=-sin α=-.
(2)若角β就是将角α的终边顺时针旋转得到,求5sin β-5cos β+3tan β的值.
解：根据题意,得β=α-.
∴5sin β-5cos β+3tan β=5sin-5cos+3tan
=5sin-5cos=5cos α+5sin α-
=5×+5×-3×=-.
|思|维|建|模|　诱导公式综合应用要“三看”
一看角 ①化大为小;②看角与角间的联系,可通过相加、相减分析两角的关系
二看函数名称 一般是弦切互化
三看式子结构 通过分析式子,选择合适的方法,如分式可对分子分母同乘一个式子变形,平方和差、立方和差公式
针对训练
4.如图,在平面直角坐标系xOy中,钝角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边与半径为3的圆相交于点A,过点A作x轴的垂线,垂足为点B,OB=2.
(1)求tan α的值;
解：依题意,在Rt△AOB中,OA=3,OB=2,
则AB=,tan∠AOB=.
而由题图可知,∠AOB+α=π.
故tan α=tan(π-∠AOB)=-tan∠AOB=-.
(2)求的值.
解：因为tan α=-,sin=sin=sin=cos α,
sin(π+α)=-sin α,cos(α+5π)=cos(α+π)=-cos α,所以=-2+tan α=-2-.
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A级——达标评价
1.(2024·常州模拟)已知sin 25.3°=a,则cos 64.7°等于(　 )
A.a B.-a
C.a2 D.
解析：cos 64.7°=cos(90°-25.3°)=sin 25.3°=a.
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2.(多选)下列选项正确的是 (　 )
A.sin(α-3π)=sin α B.cos=-sin α
C.tan(-α-π)=-tan α D.sin=cos α
√
√
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解析：sin(α-3π)=sin(α-π)=-sin(π-α)=-sin α,故A不正确;
cos=cos=-sin α,故B正确;
tan(-α-π)=tan(-α)=-tan α,故C正确;
sin=sin=cos α,故D正确.
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3.设sin 25°=a,则sin 65°cos 115°tan 205°= (　 )
A. B.-
C.-a2 D.a2
√
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解析：因为sin 65°=cos 25°,cos 115°=cos(90°+25°)=-sin 25°,tan 205°=tan(180°+25°)=tan 25°=,
所以sin 65°cos 115°tan 205°=-sin225°=-a2.
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4.在△ABC中,cos,则cos的值为(　 )
A.± B.± C. D.
解析：在△ABC中,A+B+C=π,∴,
∴cos =cos=sin.又∈,∴cos.
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5.已知tan θ=2,则sincos θ-sin θcos=(　 )
A.- B.- C. D.
解析：由题意,tan θ=2,得sincos θ-sin θcos=cos2θ-sin2θ==-.故选B.
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6.化简sin(π+α)cos+sincos(π+α)=　　　　.
解析：原式=(-sin α)·sin α+cos α·(-cos α)
=-sin2α-cos2α=-1.
-1
7.若sin,则cos=　　　　.
解析：因为,所以-α=.所以cos=cos=sin.
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8.已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,P为其终边上一点,则sin=　　　　.
解析：因为P在角α的终边上,所以r==1.
所以cos α=-.所以sin=cos α=-.
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9.(8分)在①tan(π+α)=2,②sin(π-α)-sin=cos(-α),③2sin=cos这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解决该问题.
已知　　　　.
(1)求的值;
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解：若选①tan(π+α)=2,则tan α=2.
若选②sin(π-α)-sin=cos(-α),
则sin α-cos α=cos α,即sin α=2cos α,则tan α=2.
若选③2sin=cos,
则2cos α=sin α,即tan α=2.
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将tan α=2代入,原式==8.
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(2)当α为第三象限角时,求sin(-α)-cos(π+α)-cossin的值.
解：当α为第三象限角时,cos α=-,sin α=-.
sin(-α)-cos(π+α)-cos·sin=-sin α+cos α+sin αcos α
=-.
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10.(10分)求证:+.
证明:因为左边==
==右边,所以原等式成立.
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B级——重点培优
11.已知cos,且|φ|<,则tan φ等于(　 )
A.- B.-
C. D.
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解析：　∵cos=-sin φ=,∴sin φ=-<0.
∵|φ|<,∴-<φ<0.∴cos φ=.
∴tan φ==-.
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12.在平面直角坐标系xOy中,点P是单位圆O上一点,将点P沿单位圆顺时针旋转到Q,角θ的顶点与原点O重合,它的始边与x轴的非负半轴重合,终边与OQ重合,则tan θ的值是(　 )
A.- B.
C.- D.
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解析：设以OP为终边的角为α,
则有sin α=,cos α=-,且有θ=α-,
所以tan θ=.
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13.sin21°+sin22°+…+sin289°的值为　　　　.
解析：因为sin(90°-α)=cos α,sin2α+cos2α=1,所以sin2α+sin2(90°-α)=1.因此sin21°+sin289°=1,sin22°+sin288°=1,sin23°+sin287°=1,….所以sin21°+sin22°+…+sin289°=44×1+sin245°=44+.
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14.(12分)已知角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(m,-m-1),且cos α=.
(1)求实数m的值;
解：根据三角函数的定义可得cos α=,解得m=0或m=3或m=-4.
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(2)若m>0,求的值.
解：由(1)知m=0或m=3或m=-4,
因为m>0,所以m=3,所以cos α=,sin α=-,
由诱导公式,可得=-=-.
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15.(12分)已知f(α)=.
(1)若tan α=2,求的值;
解：f(α)==-cos α.
=-.
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(2)若f=-,-<α<-,
求cos+cos的值.
解：∵f=-cos=-,
∴cos,
∴cos=cos=-cos=-.
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∵-<α<-,∴-α<,
∴sin=,
∴cos=cos
=cos=sin.
∴cos+cos=-.第 2 课时　诱导公式五、六—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
1．诱导公式五、六
角的终边间关系 公式
公式五 角的终边关于直线y＝x对称 sin＝______cos＝______
公式六 ＋α的终边与－α的终边关于y轴对称 sin＝______cos＝______
2．诱导公式的推广
(1)sin＝－cos α，cos＝－sin α，sin＝－cos α，cos＝sin α.
(2)正切的两个诱导公式：
tan＝－，tan＝.
3．三角形中的诱导公式
在△ABC中，有以下结论．
(1)sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
(2)cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，
(3)tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，
(4)sin＝sin＝cos ，
(5)cos＝cos＝sin .
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)cos＝cos α.(　 )
(2)sin＝－cos α.(　 )
(3)若cos 10°＝a，则sin 100°＝a.(　 )
(4)若α为第二象限角，则sin＝－cos α.(　 )
2．已知sin＝，那么cos α＝(　 )
A．－ B．－
C. D.
3．计算：sin211°＋sin279°＝________.
题型(一)　利用诱导公式化简求值
[例1]　已知cos(π＋α)＝，则sin的值为(　 )
A. B．－
C. D．－
听课记录：
[例2]　已知sin＝，则cos的值为________.
听课记录：
[变式拓展]
1．若例2的条件变为“sin＝”，求cos的值．
2．若例2中的条件不变，求cos的值．
|思|维|建|模|
解决化简求值问题的策略
(1)首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化．
[提醒]　常见的互余关系有－α与＋α，＋α与－α等；常见的互补关系有＋θ与－θ，＋θ与－θ等．　　
[针对训练]
1．(2024·前黄高级中学模拟)若sin＝，则sin－cos＝(　 )
A．0 B.
C. D.
2．已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是(　 )
A. B.
C．－ D．－
题型(二)　三角恒等式的证明问题
[例3]　求证：＝.
听课记录：
|思|维|建|模|　三角恒等式证明的策略
遵循的原则 在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则
常用的方法 定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法，“1”的代换法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法
[针对训练]
3．求证：＝－tan θ.
题型(三)　诱导公式的综合应用
[例4]　已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.
(1)求sin(α＋π)的值；
(2)若角β就是将角α的终边顺时针旋转得到，求5sin β－5cos β＋3tan β的值．
听课记录：
|思|维|建|模|　诱导公式综合应用要“三看”
一看角 ①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系
二看函数名称 一般是弦切互化
三看式子结构 通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形，平方和差、立方和差公式
[针对训练]
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，钝角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与半径为3的圆相交于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为点B，OB＝2.
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
第2课时　诱导公式五、六
?课前预知教材
1．cos α　sin α　cos α　－sin α
[基础落实训练]　1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　2.C　3.1
?课堂题点研究
　[题型(一)]
[例1]　选C　因为cos(π＋α)＝－cos α＝，所以sin＝－cos α＝.故选C.
[例2]　解析：cos＝cos＝sin＝.
答案：
[变式拓展]
1．解：∵＋＝，
∴cos＝cos
＝－sin＝－.
2．解：cos＝cos
＝－sin＝－.
[针对训练]
1．选B　依题意，令＋α＝t，则sin t＝，－α＝π－＝π－t，＋α＝＋＋α＝＋t，
所以sin－cos＝sin(π－t)－cos＝sin t＋sin t＝2sin t＝.
2．选B　sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin 59°(－tan 31°)＝－sin(90°－31°)(－tan 31°)＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝＝.
　[题型(二)]
[例3]　证明：因为右边＝
＝
＝
＝＝
＝＝左边，所以原等式成立．
[针对训练]
3．证明：因为左边＝
＝＝－tan θ＝右边，
所以原等式成立．
　[题型(三)]
[例4]　解：根据题意，得sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝＝.
(1)sin(α＋π)＝－sin α＝－.
(2)根据题意，得β＝α－.
∴5sin β－5cos β＋3tan β
＝5sin－5cos＋
3tan＝5sin－
5cos＋
＝5cos α＋5sin α－
＝5×＋5×－3×＝－.
[针对训练]
4．解：(1)依题意，在Rt△AOB中，OA＝3，OB＝2，则AB＝＝，tan∠AOB＝＝.而由题图可知，∠AOB＋α＝π.故tan α＝tan(π－∠AOB)＝－tan∠AOB＝－.
(2)因为tan α＝－，sin＝sin＝sin＝cos α，
sin(π＋α)＝－sin α，cos(α＋5π)＝cos(α＋π)＝－cos α，
所以
＝＝－2＋tan α＝－2－.课时跟踪检测(四十二)　诱导公式五、六
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．(2024·常州模拟)已知sin 25.3°＝a，则cos 64.7°等于(　　)
A．a B．－a
C．a2 D.
2．(多选)下列选项正确的是(　　)
A．sin(α－3π)＝sin α
B．cosα－π＝－sin α
C．tan(－α－π)＝－tan α
D．sinπ－α＝cos α
3．设sin 25°＝a，则sin 65°cos 115°tan 205°＝(　　)
A. B．－
C．－a2 D．a2
4．在△ABC中，cos＝，则cos的值为(　　)
A．± B．±
C. D.
5．已知tan θ＝2，则sincos θ－sin θcos＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
6．化简sin(π＋α)cos＋sincos(π＋α)＝________.
7．若sin＝，则cos＝________.
8．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，P为其终边上一点，则sin＝________.
9．(8分)在①tan(π＋α)＝2，②sin(π－α)－sin＝cos(－α)，③2sin＝cos这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题．
已知________．
(1)求的值；
(2)当α为第三象限角时，求sin(－α)－cos(π＋α)－cossin的值．
10．(10分)求证：＋
＝.
B级——重点培优
11．已知cos＝，且|φ|<，则tan φ等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
12．在平面直角坐标系xOy中，点P是单位圆O上一点，将点P沿单位圆顺时针旋转到Q，角θ的顶点与原点O重合，它的始边与x轴的非负半轴重合，终边与OQ重合，则tan θ的值是(　　)
A．－ B.
C．－ D.
13．sin21°＋sin22°＋…＋sin289°的值为________．
14．(12分)已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(m，－m－1)，且cos α＝.
(1)求实数m的值；
(2)若m>0，求的值．
15．(12分)已知f(α)＝.
(1)若tan α＝2，求的值；
(2)若f＝－，－<α<－，求cos＋cos的值．
课时跟踪检测(四十二)
1．选A　cos 64.7°＝cos(90°－25.3°)＝sin 25.3°＝a.
2．选BCD　sin(α－3π)＝sin(α－π)＝－sin(π－α)＝－sin α，故A不正确；
cos＝cos＝－sin α，故B正确；
tan(－α－π)＝tan(－α)＝－tan α，故C正确；
sin＝sin＝cos α，故D正确．
3．选C　因为sin 65°＝cos 25°，cos 115°＝cos(90°＋25°)＝－sin 25°，tan 205°＝tan(180°＋25°)＝tan 25°＝，
所以sin 65°cos 115°tan 205°＝－sin225°＝－a2.
4．选C　在△ABC中，A＋B＋C＝π，
∴＝－，
∴cos ＝cos＝sin＝.
又∈，∴cos＝.
5．选B　由题意，tan θ＝2，得sincos θ－sin θcos＝cos2θ－sin2θ＝＝＝＝－.故选B.
6．解析：原式＝(－sin α)·sin α＋cos α·(－cos α)＝－sin2α－cos2α＝－1.
答案：－1
7．解析：因为＋＝，所以－α＝－.
所以cos＝cos＝sin＝.
答案：
8．解析：因为P在角α的终边上，所以r＝＝1.
所以cos α＝－.
所以sin＝cos α＝－.
答案：－
9．解：若选①tan(π＋α)＝2，则tan α＝2.
若选②sin(π－α)－sin＝cos(－α)，
则sin α－cos α＝cos α，
即sin α＝2cos α，则tan α＝2.
若选③2sin＝cos，
则2cos α＝sin α，
即tan α＝2.
(1)＝.
将tan α＝2代入，原式＝＝8.
(2)当α为第三象限角时，
cos α＝－，sin α＝－.
sin(－α)－cos(π＋α)－cos·sin＝－sin α＋cos α＋sin αcos α＝－－＋×＝.
10．证明：因为左边＝＋＝＋＝
＝＝＝右边，所以原等式成立．
11．选B　∵cos＝－sin φ＝，
∴sin φ＝－<0.∵|φ|<，
∴－<φ<0.
∴cos φ＝＝.
∴tan φ＝＝－.
12．选D　设以OP为终边的角为α，则有sin α＝，cos α＝－，且有θ＝α－，
所以tan θ＝＝＝＝＝＝.
13．解析：因为sin(90°－α)＝cos α，sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＋sin2(90°－α)＝1.因此sin21°＋sin289°＝1，sin22°＋sin288°＝1，sin23°＋sin287°＝1，….所以sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝44×1＋sin245°＝44＋2＝.
答案：
14．解：(1)根据三角函数的定义可得cos α＝＝，解得m＝0或m＝3或m＝－4.
(2)由(1)知m＝0或m＝3或m＝－4，
因为m>0，所以m＝3，
所以cos α＝，sin α＝－，
由诱导公式，可得
＝
＝－＝－.
15．解：f(α)＝＝＝－cos α.
(1)＝＝＝＝－.
(2)∵f＝－cos＝－，
∴cos＝，
∴cos＝cos
＝－cos＝－.
∵－<α<－，
∴<－α<，
∴sin＝
＝ ＝，
∴cos＝cos
＝cos
＝sin＝.
∴cos＋cos
＝－＋＝.

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