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(共62张PPT)
正弦函数、余弦函数的性质
(教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学)
第2课时
课时目标
1.能判断y=sin x,y=cos x的奇偶性.
2.掌握y=sin x,y=cos x的最大值与最小值,并会求函数的值域和最值.
3.掌握y=sin x,y=cos x的单调性并能利用单调性比较大小,会求函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的单调区间.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
正弦函数、余弦函数的性质
　 正弦函数 余弦函数
图象
定义域 R R
值域 _______________ _________________
[-1,1]
[-1,1]
续表
周期 _______ _______
奇偶性 ________ _________
单调性 在____________ (k∈Z)上递增,
在____________ (k∈Z)上递减
2π
2π
奇函数
偶函数
[2kπ-π,2kπ]
[2kπ,2kπ+π]
续表
最值 x=________(k∈Z)时,ymax=1; x=_________ (k∈Z)时,ymin=-1 x=_____ (k∈Z)时,ymax=1;
x=_______ (k∈Z)时,ymin=-1
+2kπ
-+2kπ
2kπ
2kπ+π
|微|点|助|解| 　
(1)若函数的定义域不是R,则一定要在给定区间内结合单调性求其值域与最值.
(2)利用函数y=sin x和y=cos x的值域和最值,可以求出由它们复合而成的函数的值域和最值.
(3)正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点,即此时的正弦值、余弦值为最大值或最小值.
基础落实训练
1.函数f(x)=sin的一个单调递增区间可以是(　 )
A.　　　　　　 B.
C. D.
√
2.干支纪年历法(农历)是屹立于世界民族之林的科学历法之一,与国际公历历法并存.黄帝时期,就有了使用六十花甲子的干支纪年历法.干支是天干和地支的总称,把干支顺序相配正好六十为一周期,周而复始,循环记录.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干;子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支.受此周期律的启发,可以求得函数f(x)=sin +cos 3x的最小正周期为(　 )
A.15π B.12π
C.6π D.3π
解析：函数f(x)=sin+cos 3x的最小正周期相当于函数y=sinx的最小正周期=3π与函数y=cos 3x的最小正周期的“最小公倍数”.故答案为6π.
√
3.(多选)已知函数f(x)=sin(x∈R),下面结论正确的是(　 )
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)在区间上单调递增
C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称
D.函数f(x)是奇函数
√
√
√
4.函数y=-2cos x的最大值为　　　　,此时x=　　 　　.
解析：因为-1≤cos x≤1,
所以当cos x=-1时,ymax=-2×(-1)=2.
此时x=2kπ+π,k∈Z.
2
2kπ+π,k∈Z
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一)　正、余弦函数的奇偶性及应用
[例1]　函数f(x)=sin 2x的奇偶性为(　 )
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
解析：因为f(-x)=sin 2(-x)=-sin 2x=-f(x),
所以函数f(x)为奇函数.
√
[例2]　判断函数f(x)=sin的奇偶性.
解：因为f(x)=sin=-cos,
所以f(-x)=-cos=-cos=f(x).
所以函数f(x)=sin为偶函数.
　|思|维|建|模|
利用定义判断函数奇偶性的3个步骤
针对训练
1.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=|sin x|+cos x;
解：函数的定义域为R,
因为f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sin x|+cos x=f(x),所以此函数是偶函数.
(2)f(x)=.
解：由1-cos x≥0且cos x-1≥0,得cos x=1,从而x=2kπ,k∈Z,此时f(x)=0,故该函数既是奇函数又是偶函数.
题型(二)　求正、余弦函数的单调区间
[例3]　函数y=cos的单调递增区间是(　 )
A.(k∈Z) B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
√
解析：y=cos=cos,令-π+2kπ≤2x-≤2kπ,
解得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).
[例4]　函数y=sin,x∈的单调递减区间为　　　　　　　　　.
解析：由+2kπ≤3x++2kπ(k∈Z),得≤x≤(k∈Z).
又x∈,所以函数y=sin,x∈的单调递减区间为.
　|思|维|建|模| 单调区间的求法
求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的函数的单调区间,要先把ω化为正数.
(1)当A>0时,把ωx+φ整体代入y=sin x或y=cos x的单调递增区间内,求得的x的范围即为函数的单调递增区间.
(2)当A<0时,把ωx+φ整体代入y=sin x或y=cos x的单调递增区间内,求得的x的范围即为函数的单调递减区间;代入y=sin x或y=cos x的单调递减区间内,可求得函数的单调递增区间.
针对训练
2.求下列函数的单调区间:
(1)y=-cos;
解：要求y=-cos的单调递增区间,只需2kπ≤≤π+2kπ(k∈Z),解得4kπ≤x≤2π+4kπ(k∈Z);要求y=-cos的单调递减区间,
只需-π+2kπ≤≤2kπ(k∈Z),解得-2π+4kπ≤x≤4kπ(k∈Z);
所以y=-cos的单调递增区间为[4kπ,2π+4kπ](k∈Z);
单调递减区间为[-2π+4kπ,4kπ](k∈Z).
(2)y=3sin.
解：要求y=3sin的单调递增区间,只需-+2kπ≤2x++2kπ(k∈Z),解得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z);要求y=3sin的单调递减区间,只需+2kπ≤2x++2kπ(k∈Z),解得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z);所以y=3sin的单调递增区间为(k∈Z);单调递减区间为(k∈Z).
题型(三)　比较三角函数值的大小
[例5]　比较下列各组数的大小.
(1)sin 194°与cos 160°;
解：sin 194°=sin(180°+14°)=-sin 14°,
cos 160°=cos(90°+70°)=-sin 70°.
∵0°<14°<70°<90°,函数y=sin x在0°~90°内单调递增,
∴sin 14°-sin 70°.∴sin 194°>cos 160°.
(2)cos,sin,-cos;
解：sin=cos,-cos=cos,
∵0<π-<π,函数y=cos x在(0,π)上单调递减,
∴cos>cos>cos.即-cos>sin>cos.
(3)sin与sin.
解：cos=cos=sin.
∵0<,函数y=sin x在上单调递增,∴sin∴cos∴sin　|思|维|建|模|
比较三角函数值大小的步骤
(1)异名函数化为同名函数.
(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上.
(3)利用函数的单调性比较大小.
针对训练
3.下列结论正确的是 (　 )
A.sin 400°>sin 50° B.sin 220°C.cos 130°>cos 200° D.cos(-40°)√
解析：由cos 130°=cos(180°-50°)=-cos 50°,cos 200°
=cos(180°+20°)=-cos 20°,
因为当0°-cos 20°.
即cos 130°>cos 200°.
4.不求值,指出下列各式大于零还是小于零.
(1)sin 25°-sin 72°;
解：因为0°<25°<72°<90°,又f(x)=sin x在x∈上单调递增,所以sin 25°所以sin 25°-sin 72°<0.
(2)sin-sin.
解：因为sin=-sin=-sin=-sin=sin,
sin=-sin=-sin=sin,因为0<,
由f(x)=sin x在x∈上单调递增,所以sin所以sin>sin.即sin-sin>0.
[例6]　求下列函数的值域.
(1)y=2sin,x∈;
解：∵x∈,∴2x+∈.
令u=2x+,又y=sin u在上单调递增,在上单调递减,
∴-≤sin≤1.∴-≤2sin≤2.∴函数的值域为[-,2].
题型(四)　正、余弦函数的值域与最值
(2)y=cos2x-4cos x+5.
解：令t=cos x,则-1≤t≤1.
∴y=t2-4t+5=(t-2)2+1.
∴当t=-1时,y取得最大值10,
当t=1时,y取得最小值2.
∴y=cos2x-4cos x+5的值域为[2,10].
　|思|维|建|模|
三角函数的值域(最值)问题的求解方法
(1)形如y=Asin x(或y=Acos x)型,可利用正弦函数(或余弦函数)的有界性,注意对A正、负的讨论.
(2)形如y=Asin(ωx+φ)+b(或y=Acos(ωx+φ)+b)型,可先由定义域求得ωx+φ的范围,然后求得sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ))的范围,最后求得值域(最值).
(3)求给定区间上最值(值域)的问题,可利用换元思想,设t=ωx+φ,转换成y=Asin x(或y=Acos x)型的函数求值.
5.函数y=+sin x-sin2x,x∈的最小值是(　 )
A.1 B.
C.- D.不存在
解析：令t=sin x∈,则y=-t2+t+=-+2.当t=-时,y有最小值1.
针对训练
√
6.求函数y=3-4cos,x∈的最值.
解：∵x∈,∴2x+∈.
从而-≤cos≤1.∴当cos=1,2x+=0,
即x=-时,ymin=3-4=-1;
当cos=-,2x+,即x=时,ymax=3-4×=5.
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A级——达标评价
1.y=2cos x2的值域是(　 )
A.[-2,2] B.[0,2]
C.[-2,0] D.R
解析：因为x∈R,所以x2≥0,所以y=2cos x2∈[-2,2].
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2.函数y=|cos x|的一个单调递减区间是 (　 )
A. B.
C. D.
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解析：函数y=|cos x|=图象如图所示.
单调递减区间有,….故选C.
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3.若函数f(x)=sin(φ∈[0,2π])是偶函数,则φ=(　 )
A. B.
C. D.
解析：因为f(x)是偶函数,所以+kπ(k∈Z).所以φ=+3kπ(k∈Z).又φ∈[0,2π],所以φ=.
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4.当-≤x≤时,函数f(x)=2sin有(　 )
A.最大值为1,最小值为-1 B.最大值为1,最小值为-
C.最大值为2,最小值为-2 D.最大值为2,最小值为-1
解析：因为-≤x≤,所以-≤x+.所以-≤sin≤1.
所以-1≤2sin≤2.即f(x)的最大值为2,最小值为-1.
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5.(多选)已知函数f(x)=2sin,下列说法正确的是(　 )
A.f(x)的最小正周期为2π B.f(x)的最大值为2
C.f(x)在区间上单调递减 D.为f(x)的一个零点
√
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解析： f(x)的最小正周期为2π,故A正确;当sin=1时,f(x)的最大值为2,故B正确;因为x∈,所以x+∈ .所以f(x)在区间上单调递减.故C正确;f=2sin=2sin,所以不是f(x)的一个零点.故D错误.
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6.cos 1,cos 2,cos 3的大小关系是　　 　 　.(用“>”连接)
解析：∵0<1<2<3<π,而y=cos x在[0,π]上单调递减,
∴cos 1>cos 2>cos 3.
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cos 1>cos 2>cos 3
7.若f(x)是R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=sin x,则f(x)的解析式是　　　　　　.
解析：当x<0时,-x>0,f(-x)=sin(-x)=-sin x,∵f(-x)=f(x),∴x<0时,f(x)=-sin x.∴f(x)=sin |x|,x∈R.
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f(x)=sin |x|
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8.已知函数y=cos x在区间[-π,a]上单调递增,则a的取值范围是　 .
解析：因为y=cos x在[-π,0]上单调递增,在[0,π]上单调递减,所以只有-π16
(-π,0]
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9.(8分)已知函数f(x)=2cos.
(1)求f(x)的单调递增区间;
解：令2kπ-π≤3x+≤2kπ(k∈Z),
解得≤x≤(k∈Z).
∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z).　
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(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值.
解：当3x+=2kπ-π(k∈Z)时,f(x)取得最小值-2.
即x=(k∈Z)时,f(x)取得最小值-2.
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10.(8分)已知函数f(x)=Asin+1(A>0,ω>0)的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式;
解：因为函数f(x)的最大值为3,所以A+1=3.即A=2.因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为,所以最小正周期T=π.所以ω=2.
故函数f(x)的解析式为y=2sin+1.
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(2)设α∈,f=2,求α的值.
解：因为f=2sin+1=2,
即sin.又0<α<,所以-<α-.所以α-.故α=.
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B级——重点培优
11.若α,β都是锐角,且sin αA.α>β B.α<β
C.α+β> D.α+β<
解析：因为sin α√
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12.已知函数f(x)=πsin,如果存在实数x1,x2,使x∈R时,f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立,则|x1-x2|的最小值是(　 )
A.4π B.π
C.8π D.2π
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解析：因为f(x)=πsin对任意x∈R,f(x1)≤f(x)≤f(x2),故f(x1)为f(x)的最小值,f(x2)为f(x)的最大值,从而|x1-x2|的最小值为半个周期,因为T==8π,所以|x1-x2|的最小值为4π.
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13.函数y=2sin-cos(x∈R)的最小值为　　　　.
解析：由诱导公式知sin=cos,所以函数y=2cos-cos=cos.最小值为-1.
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14.已知函数y=2sin(ω>0)的周期为π,则其单调递增区间为　　　　 　　　 .
解析：y=2sin(ω>0)的周期为π,故ω=2.其单调递增区间满足
-+2kπ≤2x++2kπ(k∈Z),解得x∈(k∈Z).
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(k∈Z)
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15.(10分)已知函数f(x)=cos.
(1)判断f的奇偶性;
解：f=cos=cos=-sin 2x.
令F(x)=f=-sin 2x,由于F(-x)=-sin(-2x)=sin 2x=-F(x),所以F(x)是奇函数,即f是奇函数.
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(2)若函数g(x)的最小正周期是2π,且当x∈时,g(x)=f,求关于x的方程g(x)=的解集.
解：当x∈时,g(x)=f=cos.
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因为x+∈,所以由g(x)=,解得x+=-或x+,
即x=-或x=-.
又因为g(x)的最小正周期为2π,所以g(x)=的解集为.
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16.(10分)已知函数f(x)=sin 2x.
(1)若g(x)=f,求函数g(x)的单调递增区间;
解：∵g(x)=f=sin=-sin,令2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,
∴函数g(x)的单调递增区间为,k∈Z.
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(2)当x∈时,函数y=2af(x)+b(a>0)的最大值为1,最小值为-5,求实数a,b的值.
解：∵-≤x≤,∴-≤2x≤.
∴-1≤sin 2x≤1.又y=2asin 2x+b(a>0),
∴ymax=2a+b=1,ymin=-2a+b=-5.即解得
16第 2 课时　正弦函数、余弦函数的性质—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
　[课时目标]
1．能判断y＝sin x，y＝cos x的奇偶性．
2．掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求函数的值域和最值．
3．掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性并能利用单调性比较大小，会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．
正弦函数、余弦函数的性质
　 正弦函数 余弦函数
图象
定义域 R R
值域 ________ ________
周期 ________ ________
奇偶性 ________ ________
单调性 在______________(k∈Z)上递增，在________________(k∈Z)上递减 在____________(k∈Z)上递增，在____________(k∈Z)上递减
最值 x＝________(k∈Z)时，ymax＝1；x＝__________(k∈Z)时，ymin＝－1 x＝______(k∈Z)时，ymax＝1；x＝__________(k∈Z)时，ymin＝－1
|微|点|助|解|　
(1)若函数的定义域不是R，则一定要在给定区间内结合单调性求其值域与最值．
(2)利用函数y＝sin x和y＝cos x的值域和最值，可以求出由它们复合而成的函数的值域和最值．
(3)正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值为最大值或最小值．
1．函数f(x)＝sin的一个单调递增区间可以是(　 )
A.　 B.
C. D.
2．干支纪年历法(农历)是屹立于世界民族之林的科学历法之一，与国际公历历法并存．黄帝时期，就有了使用六十花甲子的干支纪年历法．干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周期，周而复始，循环记录．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．受此周期律的启发，可以求得函数f(x)＝sin ＋cos 3x的最小正周期为(　 )
A．15π B．12π
C．6π D．3π
3．(多选)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论正确的是(　 )
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间上单调递增
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
4．函数y＝－2cos x的最大值为________，此时x＝________.
题型(一)　正、余弦函数的奇偶性及应用
[例1]　函数f(x)＝sin 2x的奇偶性为(　 )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
听课记录：
[例2]　判断函数f(x)＝sin的奇偶性．
听课记录：
|思|维|建|模|
利用定义判断函数奇偶性的3个步骤
[针对训练]
1．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝|sin x|＋cos x；
(2)f(x)＝＋.
题型(二)　求正、余弦函数的单调区间
[例3]　函数y＝cos的单调递增区间是(　 )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
听课记录：
[例4]　函数y＝sin，x∈的单调递减区间为__________________．
听课记录：
|思|维|建|模|
单调区间的求法
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函数的单调区间，要先把ω化为正数．
(1)当A>0时，把ωx＋φ整体代入y＝sin x或y＝cos x的单调递增区间内，求得的x的范围即为函数的单调递增区间．
(2)当A<0时，把ωx＋φ整体代入y＝sin x或y＝cos x的单调递增区间内，求得的x的范围即为函数的单调递减区间；代入y＝sin x或y＝cos x的单调递减区间内，可求得函数的单调递增区间．　　
[针对训练]
2．求下列函数的单调区间：
(1)y＝－cos；
(2)y＝3sin.
题型(三)　比较三角函数值的大小
[例5]　比较下列各组数的大小．
(1)sin 194°与cos 160°；
(2)cos，sin，－cos；
(3)sin与sin.
听课记录：
　|思|维|建|模|
比较三角函数值大小的步骤
(1)异名函数化为同名函数．
(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上．
(3)利用函数的单调性比较大小．　
[针对训练]
3．下列结论正确的是(　 )
A．sin 400°>sin 50° B．sin 220°C．cos 130°>cos 200° D．cos(－40°)4．不求值，指出下列各式大于零还是小于零．
(1)sin 25°－sin 72°；
(2)sin－sin.
题型(四)　正、余弦函数的值域与最值
[例6]　求下列函数的值域．
(1)y＝2sin，x∈；
(2)y＝cos2x－4cos x＋5.
听课记录：
　|思|维|建|模|
三角函数的值域(最值)问题的求解方法
(1)形如y＝Asin x(或y＝Acos x)型，可利用正弦函数(或余弦函数)的有界性，注意对A正、负的讨论．
(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得值域(最值)．
(3)求给定区间上最值(值域)的问题，可利用换元思想，设t＝ωx＋φ，转换成y＝Asin x(或y＝Acos x)型的函数求值．　
[针对训练]
5．函数y＝＋sin x－sin2x，x∈的最小值是(　 )
A．1 B.
C．－ D．不存在
6．求函数y＝3－4cos，x∈的最值．
第2课时　正弦函数、余弦函数的性质
?课前预知教材
[－1,1]　[－1,1]　2π　2π　奇函数　偶函数　　　[2kπ－π，2kπ]　[2kπ，2kπ＋π]　＋2kπ　－＋2kπ　2kπ　2kπ＋π
[基础落实训练]　1.D　2.C　3.ABC　
4．2　2kπ＋π，k∈Z
?课堂题点研究
　[题型(一)]
[例1]　选A　因为f(－x)＝×sin 2(－x)＝－sin 2x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．
[例2]　解：因为f(x)＝sin＝－cos，所以f(－x)＝－cos＝－cos＝f(x)．所以函数f(x)＝sin为偶函数．
[针对训练]
1．解：(1)函数的定义域为R，
因为f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sin x|＋cos x＝f(x)，所以此函数是偶函数．
(2)由1－cos x≥0且cos x－1≥0，得cos x＝1，从而x＝2kπ，k∈Z，此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数．
　[题型(二)]
[例3]　选B　y＝cos＝cos，令－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
[例4]　解析：由＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ(k∈Z)，得＋≤x≤＋(k∈Z)．
又x∈，
所以函数y＝sin，x∈的单调递减区间为，.
答案：，
[针对训练]
2．解：(1)要求y＝－cos的单调递增区间，只需2kπ≤≤π＋2kπ(k∈Z)，解得4kπ≤x≤2π＋4kπ(k∈Z)；要求y＝－cos的单调递减区间，只需－π＋2kπ≤≤2kπ(k∈Z)，解得－2π＋4kπ≤x≤4kπ(k∈Z)；所以y＝－cos的单调递增区间为[4kπ，2π＋4kπ](k∈Z)；单调递减区间为[－2π＋4kπ，4kπ](k∈Z)．
(2)要求y＝3sin的单调递增区间，只需－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)；
要求y＝3sin的单调递减区间，只需＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)；所以y＝3sin的单调递增区间为(k∈Z)；单调递减区间为(k∈Z)．
　[题型(三)]
[例5]　解：(1)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，
cos 160°＝cos(90°＋70°)＝－sin 70°.
∵0°<14°<70°<90°，函数y＝sin x在0°～90°内单调递增，∴sin 14°∴－sin 14°>－sin 70°.∴sin 194°>cos 160°.
(2)sin＝cos，－cos＝cos，
∵0<π－<－<<π，函数y＝cos x在(0，π)上单调递减，
∴cos>cos>cos.
即－cos>sin>cos.
(3)cos＝cos＝sin.
∵0<<<，函数y＝sin x在上单调递增，∴sin∴cos∴sin[针对训练]
3．选C　由cos 130°＝cos(180°－50°)＝－cos 50°，cos 200°＝cos(180°＋20°)＝－cos 20°，因为当0°－cos 20°.即cos 130°>cos 200°.
4．解：(1)因为0°<25°<72°<90°，又f(x)＝sin x在x∈上单调递增，所以sin 25°(2)因为sin＝－sin＝－sin＝－sin＝sin，
sin＝－sin＝－sin＝sin，因为0<<<，由f(x)＝sin x在x∈上单调递增，
所以sinsin.即sin－sin>0.
　[题型(四)]
[例6]　解：(1)∵x∈，∴2x＋∈.
令u＝2x＋，又y＝sin u在上单调递增，在上单调递减，
∴－≤sin≤1.
∴－≤2sin≤2.
∴函数的值域为[－，2]．
(2)令t＝cos x，则－1≤t≤1.
∴y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1.
∴当t＝－1时，y取得最大值10，
当t＝1时，y取得最小值2.
∴y＝cos2x－4cos x＋5的值域为[2,10]．
[针对训练]
5．选A　令t＝sin x∈，
则y＝－t2＋t＋＝－2＋2.
当t＝－时，y有最小值1.
6．解：∵x∈，∴2x＋∈.
从而－≤cos≤1.
∴当cos＝1,2x＋＝0，即x＝－时，ymin＝3－4＝－1；
当cos＝－，2x＋＝，即x＝时，ymax＝3－4×＝5.课时跟踪检测(四十五)　正弦函数、余弦函数的性质
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．y＝2cos x2的值域是(　　)
A．[－2,2] B．[0,2]
C．[－2,0] D．R
2．函数y＝|cos x|的一个单调递减区间是(　　)
A. B.
C. D.
3．若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝(　　)
A. B.
C. D.
4．当－≤x≤时，函数f(x)＝2sin有(　　)
A．最大值为1，最小值为－1
B．最大值为1，最小值为－
C．最大值为2，最小值为－2
D．最大值为2，最小值为－1
5．(多选)已知函数f(x)＝2sin，下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期为2π
B．f(x)的最大值为2
C．f(x)在区间上单调递减
D.为f(x)的一个零点
6．cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是________．(用“>”连接)
7．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sin x，则f(x)的解析式是____________．
8．已知函数y＝cos x在区间[－π，a]上单调递增，则a的取值范围是________．
9．(8分)已知函数f(x)＝2cos.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值．
10．(8分)已知函数f(x)＝Asin＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设α∈，f＝2，求α的值．
B级——重点培优
11．若α，β都是锐角，且sin αA．α>β B．α<β
C．α＋β> D．α＋β<
12．已知函数f(x)＝πsin，如果存在实数x1，x2，使x∈R时，f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立，则|x1－x2|的最小值是(　　)
A．4π B．π
C．8π D．2π
13．函数y＝2sin－cos(x∈R)的最小值为________．
14．已知函数y＝2sin(ω>0)的周期为π，则其单调递增区间为______________．
15．(10分)已知函数f(x)＝cos.
(1)判断f的奇偶性；
(2)若函数g(x)的最小正周期是2π，且当x∈时，g(x)＝f，求关于x的方程g(x)＝的解集．
16．(10分)已知函数f(x)＝sin 2x.
(1)若g(x)＝f，求函数g(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，函数y＝2af(x)＋b(a>0)的最大值为1，最小值为－5，求实数a，b的值．
课时跟踪检测(四十五)
1．选A　因为x∈R，所以x2≥0，所以y＝2cos x2∈[－2,2]．
2．选C　函数y＝|cos x|＝
图象如图所示．
单调递减区间有，，….故选C.
3．选C　因为f(x)是偶函数，所以＝＋kπ(k∈Z)．所以φ＝＋3kπ(k∈Z)．
又φ∈[0,2π]，所以φ＝.
4．选D　因为－≤x≤，所以－≤x＋≤.所以－≤sin≤1.所以－1≤2sin≤2.即f(x)的最大值为2，最小值为－1.
5．选ABC　f(x)的最小正周期为2π，故A正确；当sin＝1时，f(x)的最大值为2，故B正确；因为x∈，所以x＋∈ .所以f(x)在区间上单调递减．故C正确；f＝2sin＝2sin＝，所以不是f(x)的一个零点．故D错误．
6．解析：∵0<1<2<3<π，而y＝cos x在[0，π]上单调递减，∴cos 1>cos 2>cos 3.
答案：cos 1>cos 2>cos 3
7．解析：当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝sin(－x)＝－sin x，∵f(－x)＝f(x)，∴x＜0时，f(x)＝－sin x．∴f(x)＝sin |x|，x∈R.
答案：f(x)＝sin |x|
8．解析：因为y＝cos x在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减，所以只有－π答案：(－π，0]
9．解：(1)令2kπ－π≤3x＋≤2kπ(k∈Z)，
解得－≤x≤－(k∈Z)．
∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)当3x＋＝2kπ－π(k∈Z)时，f(x)取得最小值－2.即x＝－(k∈Z)时，f(x)取得最小值－2.
10．解：(1)因为函数f(x)的最大值为3，所以A＋1＝3.即A＝2.因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以最小正周期T＝π.所以ω＝2.
故函数f(x)的解析式为y＝2sin＋1.
(2)因为f＝2sin＋1＝2，
即sin＝.又0<α<，
所以－<α－<.
所以α－＝.故α＝.
11．选D　因为sin α12．选A　因为f(x)＝πsin对任意x∈R，f(x1)≤f(x)≤f(x2)，故f(x1)为f(x)的最小值，f(x2)为f(x)的最大值，从而|x1－x2|的最小值为半个周期，因为T＝＝8π，所以|x1－x2|的最小值为4π.
13．解析：由诱导公式知sin＝cos，所以函数y＝2cos－cos＝cos.最小值为－1.
答案：－1
14．解析：y＝2sin(ω>0)的周期为π，故ω＝2.
其单调递增区间满足－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，解得x∈(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
15．解：(1)f＝cos＝cos＝－sin 2x.
令F(x)＝f＝－sin 2x，由于F(－x)＝－sin(－2x)＝sin 2x＝－F(x)，所以F(x)是奇函数，即f是奇函数．
(2)当x∈时，g(x)＝f＝cos.
因为x＋∈，所以由g(x)＝，解得x＋＝－或x＋＝，
即x＝－或x＝－.
又因为g(x)的最小正周期为2π，
所以g(x)＝的解集为.
16．解：(1)∵g(x)＝f＝sin＝－sin，令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴函数g(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)∵－≤x≤，∴－≤2x≤.
∴－1≤sin 2x≤1.
又y＝2asin 2x＋b(a>0)，
∴ymax＝2a＋b＝1，ymin＝－2a＋b＝－5.
即解得

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