资源简介

板块综合　三角函数图象与性质的综合(阶段小结课—习题讲评式教学)
[建构知识体系]
[融通学科素养]
1．浸润的核心素养
经历求解三角函数解析式的过程，掌握三角函数的图象与性质知识，提升解题能力，灵活掌握三角函数平移变换，培养直观想象、逻辑推理、数学抽象的核心素养．
2．渗透的数学思想
(1)作三角函数的图象、解三角不等式、研究三角函数的性质，都是数形结合思想的应用．
(2)在解决较复杂的三角函数问题时，一般总是将复杂的问题转化为简单的问题，将难解的问题转化为易解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题．证明三角恒等式及条件求值问题中，常常是化繁为简、化异为同、化切为弦，有时逆用公式，这些都体现了转化与化归思想．
题型(一)　正、余弦函数的对称性
[例1]　函数y＝sin的图象的一条对称轴是(　 )
A．x＝－ B．x＝
C．x＝－ D．x＝
听课记录：
[例2]　设函数f(x)＝2cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，则|φ|的最小值为(　 )
A. B.
C. D.
听课记录：
　|思|维|建|模|
对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可．　
[针对训练]
1．函数y＝sin的对称轴为________，对称中心为________．
2．若函数f(x)(f(x)的值不恒为常数)满足以下两个条件：①f(x)为偶函数；②对于任意的x∈R，都有f＝f.则其解析式可以是f(x)＝________.(写出一个满足条件的解析式即可)
题型(二)　利用正、余弦函数的性质求参数
[例3]　已知函数f(x)＝sin(ω＞0)在上单调递减，则ω的取值范围是________．
听课记录：
|思|维|建|模|
已知三角函数的单调区间确定参数ω的取值范围的步骤
首先，明确所给单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的包含关系求解；另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷．　　
[针对训练]
3．已知函数f(x)＝cos(ω＞0)在区间上单调递减，则实数ω的取值范围为(　 )
A.　　　　　　　　　 B．(1,2]
C．(0,1] D.
　　　　　　　　　　　　
4．(2022·全国乙卷)记函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的最小正周期为T，若f(T)＝，x＝为f(x)的零点，则ω的最小值为________．
题型(三)　与三角函数零点有关的问题
[例4]　(2024·徐州期中)已知f(x)＝2sin(2x＋φ)，φ∈(－π，0)，一条对称轴为x＝，若关于x的方程f(x)＝，在有两个不同的实数根，则m的取值范围为(　 )
A．(－4，－2] B．[－4，－2]
C．[2，4) D．[2，4]
听课记录：
　|思|维|建|模|
与三角函数有关的方程的根或函数的零点问题一般要借助于函数的图象，利用图象特征求解，或转化为两个函数图象的交点问题．　
[针对训练]
5．已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的周期为π，当x∈时，方程f(x)＝m恰有两个不同的实数解x1，x2，则f(x1＋x2)＝(　 )
A．2 B．1
C．－1 D．－2
6．(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω＞0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．
题型(四)　正、余弦函数图象与性质的综合
[例5]　(2022·新课标Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin＋b(ω＞0)的最小正周期为T.若＜T＜π，且y＝f(x)的图象关于点中心对称，则f＝(　 )
A．1 B.
C. D．3
听课记录：
|思|维|建|模|
研究三角函数的几个方面
整体研究三角函数的性质，我们要从函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值、值域等几个方面综合考虑．　　
[针对训练]
7．若函数y＝f(x)同时满足下列三个性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝对称；③在区间上单调递增，则y＝f(x)的解析式可以是(　 )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝cos D．y＝cos
8．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且f(x)≤f恒成立．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在[－π，π]上的单调递增区间．
板块综合　三角函数图象与性质的综合
　[题型(一)]
[例1]　选C　令x－＝＋kπ(k∈Z)，则x＝＋kπ(k∈Z)，当k＝－1时，x＝－，所以C成立．经检验，其他选项都不正确．故选C.
[例2]　选D　由题意，得2×＋φ＝＋kπ(k∈Z)，解得φ＝－＋kπ(k∈Z)，所以|φ|＝(k∈Z)．当k＝1时，|φ|取得最小值为.
[针对训练]
1．解析：由x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z.由x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z.故函数y＝sin的对称轴为x＝＋kπ，k∈Z；对称中心为，k∈Z.
答案：x＝＋kπ，k∈Z　，k∈Z
2．解析：因为对于任意的x∈R，都有f＝f，
所以函数的图象关于直线x＝对称．又由于函数为偶函数，所以函数的解析式可以为f(x)＝cos 3x.因为f(－x)＝cos(－3x)＝cos 3x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．令3x＝kπ，k∈Z，所以x＝，k∈Z，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称．
答案：cos 3x(答案不唯一)
　[题型(二)]
[例3]　解析：由＜x＜π，ω＞0，得＋＜ωx＋＜ωπ＋.又y＝sin x的单调递减区间为，k∈Z，
所以k∈Z，解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z.又由4k＋－≤0，k∈Z且2k＋＞0，k∈Z，得k＝0，所以ω∈.
答案：
[针对训练]
3．选A　由题意有T＝≥π，可得0＜ω≤2，又由＜＋≤，必有＋≤π，可得0＜ω≤.
4．解析：因为f(x)＝cos(ωx＋φ)，(ω＞0,0＜φ＜π)，所以最小正周期T＝，因为f(T)＝cos＝cos(2π＋φ)＝cos φ＝，又0＜φ＜π，所以φ＝.即f(x)＝cos.又x＝为f(x)的零点，所以ω＋＝＋kπ，k∈Z.解得ω＝3＋9k，k∈Z.因为ω＞0，所以当k＝0时ωmin＝3.
答案：3
　[题型(三)]
[例4]　选A　因为x＝是函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的一条对称轴，所以2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，解得φ＝＋kπ，k∈Z.
又φ∈(－π，0)，所以φ＝－.
所以f(x)＝2sin.
又f(x)＝，x∈，
即sin＝，x∈，
设t＝2x－，则t∈，
所以sin t＝在t∈上有两个零点，即y＝sin t与y＝在t∈上有两个交点，如图所示．
因为当t＝－时，sin t＝－，
所以－1<≤－，即－4[针对训练]
5．选B　由T＝＝π，得ω＝2.
∴f(x)＝2sin.
作出函数f(x)在x∈上的图象如图所示．
由图可知x1＋x2＝，∴f(x1＋x2)＝2sin＝2×＝1.
6．解析：函数f(x)＝cos ωx－1在区间[0,2π]有且仅有3个零点，即cos ωx＝1在区间[0,2π]有且仅有3个根．因为ω＞0，x∈[0,2π]，所以ωx∈[0,2ωπ]．令t＝ωx，则cos t＝1有3个根，其中t∈[0,2ωπ]，如图，结合余弦函数y＝cos t的图象性质可得4π≤2ωπ＜6π，故2≤ω＜3，即ω的取值范围是[2,3)．
答案：[2,3)
　[题型(四)]
[例5]　选A　因为＜T＜π，所以＜＜π，解得2＜ω＜3.因为y＝f(x)的图象关于点中心对称，所以b＝2，且sin＋b＝2，
即sin＝0，所以ω＋＝kπ(k∈Z)，
又2＜ω＜3，所以＜ω＋＜，
所以ω＋＝4π，解得ω＝，
所以f(x)＝sin＋2，
所以f＝sin＋2＝sin＋2＝1.故选A.
[针对训练]
7．选A　逐一验证，由函数f(x)的周期为π，故排除B；又因为cos＝cos＝0，所以y＝cos的图象不关于直线x＝对称，故排除C；令－≤2x－≤，得－≤x≤，所以函数y＝sin在上单调递增．
8．解：(1)因为f(x)＝2sin(ωx＋φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以T＝π.而ω＞0，解得ω＝2.因为f(x)＝2sin(2x＋φ)，且f(x)≤f，所以f为最大值f＝2sin＝2，则2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，所以φ＝2kπ＋，k∈Z.因为|φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝2sin.
(2)令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.因为x∈[－π，π]，所以f(x)在[－π，π]上的单调递增区间是，，.(共80张PPT)
板块综合　三角函数图象与性质
的综合 (阶段小结课—习题讲评式教学)
建构知识体系
1.浸润的核心素养
经历求解三角函数解析式的过程,掌握三角函数的图象与性质知识,提升解题能力,灵活掌握三角函数平移变换,培养直观想象、逻辑推理、数学抽象的核心素养.
融通学科素养
2.渗透的数学思想
(1)作三角函数的图象、解三角不等式、研究三角函数的性质,都是数形结合思想的应用.
(2)在解决较复杂的三角函数问题时,一般总是将复杂的问题转化为简单的问题,将难解的问题转化为易解的问题,将未解决的问题转化为已解决的问题.证明三角恒等式及条件求值问题中,常常是化繁为简、化异为同、化切为弦,有时逆用公式,这些都体现了转化与化归思想.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一)　正、余弦函数的对称性
题型(二)　利用正、余弦函数的性质求参数
题型(三)　与三角函数零点有关的问题
课时跟踪检测
4
题型(四)　正、余弦函数图象与性质的综合
5
题型(一) 正、余弦函数的对称性
01
[例1]　函数y=sin的图象的一条对称轴是(　 )
A.x=- B.x=
C.x=- D.x=
解析：令x-+kπ(k∈Z),则x=+kπ(k∈Z),当k=-1时,x=-,所以C成立.经检验,其他选项都不正确.故选C.
√
[例2]　设函数f(x)=2cos(2x+φ)的图象关于点中心对称,则|φ|的最小值为(　 )
A. B.
C. D.
√
解析：由题意,得2×+φ=+kπ(k∈Z),
解得φ=-+kπ(k∈Z),
所以|φ|=(k∈Z).
当k=1时,|φ|取得最小值为.
|思|维|建|模|
　　对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)(或f(x)=Acos(ωx+φ))形式的函数,如果求f(x)的对称轴,只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z)(或令ωx+φ=kπ(k∈Z)),求x即可;如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)
,求x即可.
1.函数y=sin的对称轴为　　　 　,对称中心为　　　 　.
解析：由x-+kπ,k∈Z,得x=+kπ,k∈Z.由x-=kπ,k∈Z,得x=+kπ,k∈Z.故函数y=sin的对称轴为x=+kπ,k∈Z;对称中心为,k∈Z.
针对训练
x=+kπ,k∈Z
,k∈Z
2.若函数f(x)(f(x)的值不恒为常数)满足以下两个条件:①f(x)为偶函数;②对于任意的x∈R,都有f=f.则其解析式可以是f(x)=　　　 　.(写出一个满足条件的解析式即可)
cos 3x(答案不唯一)
解析：因为对于任意的x∈R,都有f=f,所以函数的图象关于直线x=对称.又由于函数为偶函数,所以函数的解析式可以为f(x)=cos 3x.因为f(-x)=cos(-3x)=cos 3x=f(x),所以函数f(x)是偶函数.令3x=kπ,k∈Z,所以x=,k∈Z,所以函数f(x)的图象关于直线x=对称.
题型(二)　利用正、余弦函数
的性质求参数
02
[例3]　已知函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递减,则ω的取值范围是　　　　.
解析：由0,得<ωx+<ωπ+.
又y=sin x的单调递减区间为,k∈Z,
所以k∈Z,
解得4k+≤ω≤2k+,k∈Z.
又由4k+≤0,k∈Z且2k+>0,k∈Z,
得k=0,所以ω∈.
|思|维|建|模|
　　已知三角函数的单调区间确定参数ω的取值范围的步骤
首先,明确所给单调区间应为函数的单调区间的子集;其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用它们之间的包含关系求解;另外,若是选择题,利用特值验证排除法求解更为简捷.
针对训练
√
3.已知函数f(x)=cos(ω>0)在区间上单调递减,则实数ω的取值范围为(　 )
A. B.(1,2]
C.(0,1] D.
解析：由题意有T=≥π,可得0<ω≤2,又由,必有≤π,可得0<ω≤.
4.(2022·全国乙卷)记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T,若f(T)=,x=为f(x)的零点,则ω的最小值为　　　　.
解析：因为f(x)=cos(ωx+φ),(ω>0,0<φ<π),
所以最小正周期T=,
3
因为f(T)=cos=cos(2π+φ)=cos φ=,又0<φ<π,所以φ=.
即f(x)=cos.又x=为f(x)的零点,所以ω++kπ,k∈Z.
解得ω=3+9k,k∈Z.因为ω>0,
所以当k=0时ωmin=3.
题型(三)　与三角函数零点
有关的问题
03
[例4]　(2024·徐州期中)已知f(x)=2sin(2x+φ),φ∈(-π,0),一条对称轴为x=,若关于x的方程f(x)=,在有两个不同的实数根,则m的取值范围为(　 )
A.(-4,-2] B.[-4,-2]
C.[2,4) D.[2,4]
√
解析：因为x=是函数f(x)=2sin(2x+φ)的一条对称轴,所以2×+φ=+kπ,k∈Z,解得φ=+kπ,k∈Z.又φ∈(-π,0),所以φ=-.
所以f(x)=2sin.
又f(x)=,x∈,即sin,x∈,
设t=2x-,则t∈,
所以sin t=在t∈上有两个零点,
即y=sin t与y=在t∈上有两个交点,如图所示.
因为当t=-时,sin t=-,
所以-1<≤-,即-4|思|维|建|模|
　　与三角函数有关的方程的根或函数的零点问题一般要借助于函数的图象,利用图象特征求解,或转化为两个函数图象的交点问题.
针对训练
5.已知函数f(x)=2sin(ω>0)的周期为π,当x∈时,方程f(x)=m恰有两个不同的实数解x1,x2,则f(x1+x2)=(　 )
A.2 B.1
C.-1 D.-2
√
解析：由T==π,得ω=2.∴f(x)=2sin.
作出函数f(x)在x∈上的图象如图所示.
由图可知x1+x2=,∴f(x1+x2)=2sin=2×=1.
6.(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是　　　　.
解析：函数f(x)=cos ωx-1在区间[0,2π]有且仅有3个零点,即cos ωx=1在区间[0,2π]有且仅有3个根.
[2,3)
因为ω>0,x∈[0,2π],所以ωx∈[0,2ωπ].令t=ωx,则cos t=1有3个根,其中t∈[0,2ωπ],如图,结合余弦函数y=cos t的图象性质可得4π≤2ωπ<6π,故2≤ω<3,即ω的取值范围是[2,3).
题型(四)　正、余弦函数图象
与性质的综合
04
[例5]　(2022·新课标Ⅰ卷)记函数f(x)=sin+b(ω>0)的最小正周期为T.若A.1 B.
C. D.3
√
解析：因为即sin=0,所以ω+=kπ(k∈Z),
又2<ω<3,所以ω+,所以ω+=4π,解得ω=,
所以f(x)=sin+2,所以f=sin+2=sin+2=1.故选A.
　|思|维|建|模|
研究三角函数的几个方面
整体研究三角函数的性质,我们要从函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值、值域等几个方面综合考虑.
针对训练
7.若函数y=f(x)同时满足下列三个性质:①最小正周期为π;②图象关于直线x=对称;③在区间上单调递增,则y=f(x)的解析式可以是(　 )
A.y=sin B.y=sin
C.y=cos D.y=cos
√
解析：逐一验证,由函数f(x)的周期为π,故排除B;又因为cos=cos=0,所以y=cos的图象不关于直线x=对称,故排除C;令-≤2x-,得-≤x≤,所以函数y=sin在上单调递增.
8.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离为,且f(x)≤f恒成立.
(1)求函数f(x)的解析式;
解：因为f(x)=2sin(ωx+φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离为,所以T=π.而ω>0,解得ω=2.
因为f(x)=2sin(2x+φ),且f(x)≤f,
所以f为最大值f=2sin=2,则2×+φ=2kπ+,k∈Z,
所以φ=2kπ+,k∈Z.因为|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin.
(2)求函数f(x)在[-π,π]上的单调递增区间.
解：令-+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,
解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
因为x∈[-π,π],所以f(x)在[-π,π]上的单调递增区间是.
课时跟踪检测
05
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
A级——达标评价
1.函数f(x)=cos的图象的一条对称轴方程为(　 )
A.x= B.x=
C.x= D.x=-
解析：函数f(x)=cos,令2x+=kπ(k∈Z),则x=(k∈Z),当k=1时,x=,故选B.
16
√
17
1
5
6
7
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9
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11
12
13
14
15
2
3
4
2.若点(a,0)是函数y=sin图象的一个对称中心,则a的值可以是(　 )
A. B.
C.- D.-
解析：依题意可得a+=kπ,k∈Z,所以a=kπ-,k∈Z.当k=0时,a=-.
16
√
17
1
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6
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11
12
13
14
15
3
4
2
3.已知函数f(x)=cos2x+sin x-的定义域为[0,m],值域为,则实数m的最大值为(　 )
A.π B.
C. D.
16
√
17
1
5
6
7
8
9
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15
3
4
2
解析： f(x)=cos2x+sin x-=-sin2x+sin x+,令t=sin x,则g(t)=-t2+t+=-+1,因为g(t)的值域为,根据二次函数的图象性质,可得t∈[0,1],所以sin x∈[0,1],且x∈[0,m].因为t=sin x,根据三角函数的图象性质,有≤m≤π,则实数m的最大值为π.
16
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3
4
2
4.若f(x)=cos在区间[-a,a]上单调递增,则实数a的最大值为(　 )
A. B.
C. D.π
16
√
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1
5
6
7
8
9
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11
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13
14
15
3
4
2
解析：易知将函数y=cos x的图象向右平移个单位长度得到函数f(x)=cos的图象,则函数f(x)=cos的增区间为(k∈Z),而函数又在[-a,a]上单调递增,所以 a≤,于是016
17
1
5
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15
3
4
2
5.(2023·天津高考)已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x=2,f(x)的一个周期为4,则f(x)的解析式可能为 (　 )
A.f(x)=sin B.f(x)=cos
C.f(x)=sin D.f(x)=cos
16
√
17
1
5
6
7
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11
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15
3
4
2
解析：对于A,f(x)=sin,最小正周期为=4,因为f(2)=sin π=0,所以函数f(x)=sin的图象不关于直线x=2对称,故排除A;对于B,f(x)=cos,最小正周期为=4,因为f(2)=cos π=-1,所以函数f(x)=cos的图象关于直线x=2对称,故选项B符合题意;对于C、D,函数f(x)=sin和f(x)=cos的最小正周期均为=8,均不符合题意,故排除C、D.故选B.
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1
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13
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3
4
2
6.写出一个以x=为对称轴的奇函数　　 　 　.
解析：易知y=sin ωx(ω≠0)是奇函数,ω=kπ+(k∈Z),ω=2kπ+π(k∈Z),取k=0得ω=π,从而函数式为y=sin πx.
16
y=sin πx(答案不唯一)
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1
5
6
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3
4
2
7.若函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意实数x都有f=f,则f=　　　　.
解析：由题意,函数f(x)对任意实数x都有f=f,可得x=是函数f(x)=3sin(ωx+φ)的一条对称轴,根据三角函数的图象与性质,可得f=±3.
16
±3
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1
5
6
7
8
9
10
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12
13
14
15
3
4
2
8.设函数f(x)=cos(ω>0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立,
则ω的最小值为　　　　.
解析：∵f(x)≤f对任意的实数x都成立,
∴当x=时,f(x)取得最大值.即f=cos=1.∴ω-=2kπ,k∈Z,
∴ω=8k+,k∈Z.∵ω>0,∴当k=0时,ω取得最小值.
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5
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7
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13
14
15
3
4
2
9.(8分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),若f(x)的图象关于点对称,且图象上两个相邻最高点的距离为π.
(1)求f(x);
解：依题意T=π,∴ω=2,f(x)=sin(2x+φ).∵f(x)的图象关于点对称,∴2×+φ=kπ,k∈Z.得φ=+kπ,k∈Z.
又|φ|≤,∴φ=.∴f(x)=sin.
16
17
1
5
6
7
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(2)求f(x)的单调递增区间.
解：令-+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
∴f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
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10.(8分)已知函数f(x)=2sin(ω<0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)单调递增区间;
解：因为函数f(x)=2sin(ω<0)的最小正周期为π,
所以T==π.由于ω<0,所以ω=-2.
所以f(x)=2sin=-2sin,
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所以要求函数f(x)的单调递增区间,只需求函数y=2sin的单调递减区间,令+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
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(2)若函数g(x)=f(x)-m在上有零点,求实数m的取值范围.
解：因为函数g(x)=f(x)-m在上有零点,所以函数y=f(x)的图象与直线y=m在上有交点.因为x∈,2x-∈,故函数f(x)在区间上的值域为[-2,1].所以当m∈[-2,1]时,函数y=f(x)的图象与直线y=m在上有交点.所以当m∈[-2,1]时,函数g(x)=f(x)-m在上有零点.故实数m的取值范围为[-2,1].
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B级——重点培优
11.已知函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递增,且f=f,则ω=(　 )
A. B.
C. D.1
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√
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解析：当x∈时,ωx+∈,∵f(x)在上单调递增,∴ω+,解得ω≤1,即0<ω≤1.∴ω+ω+,则由f=f得=π,解得ω=.故选C.
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12.(2023·全国乙卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间单调递增,直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f=(　 )
A.- B.-
C. D.
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解析：由题意得,解得ω=2,易知x=是f(x)的最小值点,所以×2+φ=+2kπ(k∈Z),得φ=+2kπ(k∈Z).
不妨取k=0,于是f(x)=sin,
f=sin=sin,故选D.
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13.(多选)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),现有如下四个命题:
甲:该函数的最小值为-;
乙:该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π;
丙:该函数的一个零点为;
丁:该函数图象可以由y=sin的图象平移得到.
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如果有且只有一个假命题,那么下列说法正确的是 (　 )
A.乙一定是假命题
B.φ的值可唯一确定
C.函数f(x)图象的一条对称轴为x=
D.函数f(x)的图象可以由y=cos的图象伸缩变换得到
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√
√
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解析：若甲命题正确,则A=.若乙命题正确,则最小正周期T=2π=,因为ω>0,则ω=1.若丙命题正确,则Asin=0,即+φ=kπ,k∈Z.若丁命题正确,函数图象可以由y=sin的图象平移得到,则A=,ω=2.故命题乙与命题丁矛盾.
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由甲、乙、丙、丁有且只有一个假命题可知,命题甲与命题丙均为真命题,命题乙与命题丁一真一假.若命题乙为真命题,则ω=1,由+φ=kπ,k∈Z,0<φ<,可得φ=,此时f(x)=sin;若命题丁为真命题,则ω=2,由+φ=kπ,k∈Z,得φ=kπ-,k∈Z,又0<φ<,则不存在符合条件的φ,不合题意.
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综上,命题丁为假命题,命题甲、乙、丙均为真命题,所以f(x)=sin,故A错误,B正确.由x+=kπ+,k∈Z,得函数f(x)图象的对称轴为x=kπ+,k∈Z.当k=0时,x=,故C正确.由y=cos=sin可知,把y=cos的图象上每一点的纵坐标伸长为原来的倍,横坐标保持不变,可以得到f(x)=sin的图象,故D正确.故选B、C、D.
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14.(12分)在①函数f(x)的图象关于点对称;②函数f(x)在上的最小值为;③函数f(x)的图象关于直线x=对称.在这三个条件中任选两个补充到下面的问题中,再解答这个问题.
已知函数f(x)=sin(2x+φ)+b,若满足条件　　　与　　　.
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(1)求函数f(x)的解析式;
解：方案一:选①②.
∵为f(x)的对称中心,∴2×+φ=kπ,k∈Z,即φ=kπ+,k∈Z,
又|φ|<,∴φ=.∵-≤x,∴-≤2x+,
∴-≤sin≤1.∴f(x)min=-+b=,∴b=1,∴f(x)=sin+1.
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方案二:选②③.
∵x=为f(x)的一条对称轴,
∴2×+φ=kπ+,k∈Z,∴φ=kπ+,k∈Z,
又|φ|<,∴φ=.∵-≤x≤,∴-≤2x+,∴-≤sin≤1.
∴f(x)min=-+b=,∴b=1,∴f(x)=sin+1.
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(2)设g(x)=f,求g(x)的单调区间.
解：由(1)知f(x)=sin+1,
则g(x)=f=sin+1=-sin+1,
由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
∴g(x)的单调递减区间为,k∈Z.
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由2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,
∴g(x)的单调递增区间为,k∈Z.
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15.(14分)已知函数f(x)=2sin+1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
解：令-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,
则-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
∴y=f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
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(2)若f(x)=0,x∈,求x的值;
解：由f(x)=0,得2sin+1=0,∴sin=-.
又∵x∈,∴2x-∈,
∴2x-=-或2x-=-或2x-,解得x=0或x=-或x=.
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(3)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象.若曲线y=h(x)与y=g(x)的图象关于直线x=对称,求函数h(x)在的值域.
解：将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,可得函数图象的解析式为y=2sin+1=2sin+1=2cos 2x+1.
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再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)=2cos x+1的图象.
又∵曲线y=h(x)与y=g(x)的图象关于直线x=对称,
∴h(x)=g=2cos+1=2sin x+1.
∵x∈,∴sin x∈,
∴2sin x+1∈(0,3].∴函数h(x)在上的值域为(0,3].
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16.(14分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),函数f(x)的图象
关于对称,且函数f(x)图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4.
(1)求ω,φ的值;
解：∵f(x)图象上相邻的最高点与最低点的距离为4.且A=,
∴+(2)2=16,∴T=4,即=4,∴ω=.
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又f(x)的图象关于对称,∴-+φ=kπ,k∈Z,∴φ=+kπ,k∈Z.
又|φ|≤,∴φ=.
(2)求函数f(x)的单调递增区间;
解：由(1)知f(x)=sin,
令-+2kπ≤x++2kπ,k∈Z,解得-+4k≤x≤+4k,k∈Z,
∴f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
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(3)若方程f(x)-m=0在x∈有两个根,求m的取值范围.
解：当x∈时, f(0)=,f,作出x∈时f(x)的图象如图,
若方程f(x)-m=0在x∈有两个根,则≤m<.
故m的取值范围为.
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17.(16分)已知函数f(x)=tan,ω>0.
(1)若ω=2,求f(x)的最小正周期与函数图象的对称中心;
解：由题可得f(x)=tan,所以函数的最小正周期为,
由2x+,k∈Z,可得x=,k∈Z,
所以函数f(x)图象的对称中心为(k∈Z).
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(2)若f(x)在[0,π]上是严格增函数,求ω的取值范围;
解：因为f(x)在[0,π]上是严格增函数,所以x∈[0,π] ωx+∈ .所以ωπ+.
又ω>0,所以ω∈.
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(3)若方程f(x)=在[a,b]上至少存在2 023个根,且b-a的最小值不小于2 023,求ω的取值范围.
解：因为f(x)= tan ωx++kπ,k∈Z,所以x=,k∈Z.因为至少存在2 023个根,所以可得b-a至少包含2 022个周期,即b-a≥2 022T=2 022·.所以b-a的最小值为2 022·,又b-a的最小值不小于2 023,所以2 022·2 023,所以ω∈.
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17课时跟踪检测(四十九)　三角函数图象与性质的综合
(满分130分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．函数f(x)＝cos的图象的一条对称轴方程为(　　)
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝－
2．若点(a,0)是函数y＝sin图象的一个对称中心，则a的值可以是(　　)
A. B.
C．－ D．－
3．已知函数f(x)＝cos2x＋sin x－的定义域为[0，m]，值域为，则实数m的最大值为(　　)
A．π B.
C. D.
4．若f(x)＝cos在区间[－a，a]上单调递增，则实数a的最大值为(　　)
A. B.
C. D．π
5．(2023·天津高考)已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x＝2，f(x)的一个周期为4，则f(x)的解析式可能为(　　)
A．f(x)＝sinx B．f(x)＝cosx
C．f(x)＝sinx D．f(x)＝cosx
6．写出一个以x＝为对称轴的奇函数________．
7．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意实数x都有f＝f，则f＝________.
8．设函数f(x)＝cos(ω＞0)．若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．
9．(8分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω＞0，|φ|≤，若f(x)的图象关于点对称，且图象上两个相邻最高点的距离为π.
(1)求f(x)；
(2)求f(x)的单调递增区间．
10．(8分)已知函数f(x)＝2sin(ω＜0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)单调递增区间；
(2)若函数g(x)＝f(x)－m在上有零点，求实数m的取值范围．
B级——重点培优
11．已知函数f(x)＝sin(ω＞0)在上单调递增，且f＝f，则ω＝(　　)
A. B.
C. D．1
12．(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条对称轴，则f＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
13．(多选)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0,0＜φ＜，现有如下四个命题：
甲：该函数的最小值为－；
乙：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π；
丙：该函数的一个零点为；
丁：该函数图象可以由y＝sin的图象平移得到．
如果有且只有一个假命题，那么下列说法正确的是(　　)
A．乙一定是假命题
B．φ的值可唯一确定
C．函数f(x)图象的一条对称轴为x＝
D．函数f(x)的图象可以由y＝cos的图象伸缩变换得到
14．(12分)在①函数f(x)的图象关于点对称；②函数f(x)在上的最小值为；③函数f(x)的图象关于直线x＝对称．在这三个条件中任选两个补充到下面的问题中，再解答这个问题．
已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋b，若满足条件________与________．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设g(x)＝f，求g(x)的单调区间．
15．(14分)已知函数f(x)＝2sin＋1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x)＝0，x∈，求x的值；
(3)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象．若曲线y＝h(x)与y＝g(x)的图象关于直线x＝对称，求函数h(x)在的值域．
16．(14分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|≤，函数f(x)的图象关于对称，且函数f(x)图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4.
(1)求ω，φ的值；
(2)求函数f(x)的单调递增区间；
(3)若方程f(x)－m＝0在x∈有两个根，求m的取值范围．
17．(16分)已知函数f(x)＝tan，ω＞0.
(1)若ω＝2，求f(x)的最小正周期与函数图象的对称中心；
(2)若f(x)在[0，π]上是严格增函数，求ω的取值范围；
(3)若方程f(x)＝在[a，b]上至少存在2 023个根，且b－a的最小值不小于2 023，求ω的取值范围．
课时跟踪检测(四十九)
1．选B　函数f(x)＝cos，令2x＋＝kπ(k∈Z)，则x＝－(k∈Z)，
当k＝1时，x＝，故选B.
2．选C　依题意可得a＋＝kπ，k∈Z，所以a＝kπ－，k∈Z.当k＝0时，a＝－.
3．选A　f(x)＝cos2x＋sin x－＝－sin2x＋sin x＋，令t＝sin x，则g(t)＝－t2＋t＋＝－2＋1，因为g(t)的值域为，根据二次函数的图象性质，可得t∈[0,1]，所以sin x∈[0,1]，且x∈[0，m]．因为t＝sin x，根据三角函数的图象性质，有≤m≤π，则实数m的最大值为π.
4．选A　易知将函数y＝cos x的图象向右平移个单位长度得到函数f(x)＝cos的图象，则函数f(x)＝cos的增区间为(k∈Z)，而函数又在[－a，a]上单调递增，所以 a≤，于是0＜a≤，即a的最大值为.
5．选B　对于A，f(x)＝sin，最小正周期为＝4，因为f(2)＝sin π＝0，所以函数f(x)＝sin的图象不关于直线x＝2对称，故排除A；对于B，f(x)＝cos，最小正周期为＝4，因为f(2)＝cos π＝－1，所以函数f(x)＝cos的图象关于直线x＝2对称，故选项B符合题意；对于C、D，函数f(x)＝sin和f(x)＝cos的最小正周期均为＝8，均不符合题意，故排除C、D.故选B.
6．解析：易知y＝sin ωx(ω≠0)是奇函数，ω＝kπ＋(k∈Z)，ω＝2kπ＋π(k∈Z)，取k＝0得ω＝π，从而函数式为y＝sin πx.
答案：y＝sin πx(答案不唯一)
7．解析：由题意，函数f(x)对任意实数x都有f＝f，可得x＝是函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)的一条对称轴，根据三角函数的图象与性质，可得f＝±3.
答案：±3
8．解析：∵f(x)≤f对任意的实数x都成立，
∴当x＝时，f(x)取得最大值．
即f＝cos＝1.
∴ω－＝2kπ，k∈Z，∴ω＝8k＋，k∈Z.∵ω＞0，∴当k＝0时，ω取得最小值.
答案：
9．解：(1)依题意T＝π，∴ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ)．∵f(x)的图象关于点对称，∴2×＋φ＝kπ，k∈Z.得φ＝＋kπ，k∈Z.
又|φ|≤，∴φ＝.
∴f(x)＝sin.
(2)令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
10．解：(1)因为函数f(x)＝2sin(ω＜0)的最小正周期为π，所以T＝＝π.由于ω＜0，所以ω＝－2.所以f(x)＝2sin＝－2sin，所以要求函数f(x)的单调递增区间，只需求函数y＝2sin的单调递减区间，令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)因为函数g(x)＝f(x)－m在上有零点，所以函数y＝f(x)的图象与直线y＝m在上有交点．因为x∈，2x－∈，故函数f(x)在区间上的值域为[－2,1]．所以当m∈[－2,1]时，函数y＝f(x)的图象与直线y＝m在上有交点．所以当m∈[－2,1]时，函数g(x)＝f(x)－m在上有零点．故实数m的取值范围为[－2,1]．
11．选C　当x∈时，ωx＋∈，∵f(x)在上单调递增，∴ω＋≤，解得ω≤1，即0＜ω≤1.∴＜ω＋≤，＜ω＋≤，则由f＝f得＋＝π，解得ω＝.故选C.
12．选D　由题意得×＝－，解得ω＝2，易知x＝是f(x)的最小值点，所以×2＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，得φ＝＋2kπ(k∈Z)．
不妨取k＝0，于是f(x)＝sin，
f＝sin＝sin＝，故选D.
13．选BCD　若甲命题正确，则A＝.若乙命题正确，则最小正周期T＝2π＝，因为ω＞0，则ω＝1.若丙命题正确，则Asin＝0，即＋φ＝kπ，k∈Z.若丁命题正确，函数图象可以由y＝sin的图象平移得到，则A＝，ω＝2.故命题乙与命题丁矛盾．由甲、乙、丙、丁有且只有一个假命题可知，命题甲与命题丙均为真命题，命题乙与命题丁一真一假．若命题乙为真命题，则ω＝1，由＋φ＝kπ，k∈Z,0＜φ＜，可得φ＝，此时f(x)＝sin；若命题丁为真命题，则ω＝2，由＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝kπ－，k∈Z，又0＜φ＜，则不存在符合条件的φ，不合题意．综上，命题丁为假命题，命题甲、乙、丙均为真命题，所以f(x)＝sin，故A错误，B正确．由x＋＝kπ＋，k∈Z，得函数f(x)图象的对称轴为x＝kπ＋，k∈Z.当k＝0时，x＝，故C正确．由y＝cos＝sin可知，把y＝cos的图象上每一点的纵坐标伸长为原来的倍，横坐标保持不变，可以得到f(x)＝sin的图象，故D正确．故选B、C、D.
14．解：(1)方案一：选①②.
∵为f(x)的对称中心，
∴2×＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z，
又|φ|<，∴φ＝.
∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤，
∴－≤sin≤1.
∴f(x)min＝－＋b＝，∴b＝1，
∴f(x)＝sin＋1.
方案二：选②③.
∵x＝为f(x)的一条对称轴，
∴2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，
∴φ＝kπ＋，k∈Z，
又|φ|<，∴φ＝.
∵－≤x≤，
∴－≤2x＋≤，
∴－≤sin≤1.
∴f(x)min＝－＋b＝，∴b＝1，
∴f(x)＝sin＋1.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋1，
则g(x)＝f
＝sin＋1
＝－sin＋1，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴g(x)的单调递减区间为，k∈Z.
由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴g(x)的单调递增区间为，k∈Z.
15．解：(1)令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
则－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
∴y＝f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由f(x)＝0，得2sin＋1＝0，
∴sin＝－.
又∵x∈，
∴2x－∈，
∴2x－＝－或2x－＝－或2x－＝，解得x＝0或x＝－或x＝.
(3)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，可得函数图象的解析式为y＝2sin＋1＝2sin＋1＝2cos 2x＋1.
再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)＝2cos x＋1的图象．
又∵曲线y＝h(x)与y＝g(x)的图象关于直线x＝对称，
∴h(x)＝g＝2cos＋1＝2sin x＋1.
∵x∈，∴sin x∈，
∴2sin x＋1∈(0,3]．
∴函数h(x)在上的值域为(0,3]．
16．解：(1)∵f(x)图象上相邻的最高点与最低点的距离为4.且A＝，
∴2＋(2)2＝16，∴T＝4，
即＝4，∴ω＝.
又f(x)的图象关于对称，
∴－×＋φ＝kπ，k∈Z，
∴φ＝＋kπ，k∈Z.
又|φ|≤，∴φ＝.
(2)由(1)知f(x)＝sin，
令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋4k≤x≤＋4k，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(3)
当x∈时， f(0)＝，f＝，作出x∈时f(x)的图象如图，若方程f(x)－m＝0在x∈有两个根，则≤m<.故m的取值范围为.
17．解：(1)由题可得f(x)＝tan，所以函数的最小正周期为，由2x＋＝，k∈Z，可得x＝－，k∈Z，所以函数f(x)图象的对称中心为(k∈Z)．
(2)因为f(x)在[0，π]上是严格增函数，所以x∈[0，π] ωx＋∈ .所以ωπ＋＜.
又ω＞0，所以ω∈.
(3)因为f(x)＝ tan＝ ωx＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝，k∈Z.因为至少存在2 023个根，所以可得b－a至少包含2 022个周期，即b－a≥2 022T＝2 022·.所以b－a的最小值为2 022·，又b－a的最小值不小于2 023，所以2 022·≥2 023，所以ω∈.

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