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阶段质量评价(五)　三角函数
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)
1．tan 390°的值等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
2．半径为r，圆心角是α(弧度)的扇形面积是(　　)
A.r2α B.rα
C.rα2 D.r2α2
3．已知P(cos 305°，sin 305°)，则点P在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．若f(x)＝tan ωx(ω>0)的最小正周期为1，则f的值为(　　)
A．－ B．－
C. D.
5．与图中曲线对应的函数可能是(　　)
A．y＝|sin x| B．y＝sin|x|
C．y＝－|sin x| D．y＝－sin|x|
6．函数f(x)＝sin，x∈的最大值和最小值分别为(　　)
A．1，－1 B.，－
C．1， D．1，－
7．已知|x|≤，则函数f(x)＝cos2x＋sin x的最小值为(　　)
A. B.
C．1 D.
8．把函数y＝sin的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的最小值是(　　)
A. B.
C. D.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．)
9．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上单调递减的是(　　)
A．y＝|sin x| B．y＝cos x
C．y＝－tan x D．y＝－sin x
10．已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是(　　)
A．θ∈ B．cos θ＝－
C．tan θ＝－ D．sin θ－cos θ＝
11.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，将f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数g(x)的图象，则(　　)
A．f(x)＝2cos
B．g(x)＝2cos＋1
C．g(x)的图象关于点对称
D．g(x)在(k∈Z)上单调递减
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．)
12．把函数y＝f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的解析式是 y＝sin，则函数f(x)的解析式为________．
13．已知角α的终边经过点P(3,4)，则
(1)tan(－6π＋α)的值为________；
(2)·sin(α－2π)·cos(2π＋α)的值为________．
14．若函数f(x)＝2sin在区间和上都是严格增函数，则实数x0的取值范围是________．
四、解答题(本大题共5小题，共77分．)
15．(13分)(2023·全国甲卷改编)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin为偶函数，求a的值．
16．(15分)定义函数f(x)＝cos(sin x)为“正余弦”函数．结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明2π为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：f(x＋π)＝cos[sin(x＋π)]＝cos(－sin x)＝cos(sin x)＝f(x)．可得π也为函数f(x)＝cos(sin x)的周期．但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究f(x)＝cos(sin x)的单调性：函数f(x)＝cos(sin x)在上是严格减函数，在上是严格增函数，再结合f(x＋π)＝f(x)，可以确定f(x)＝cos(sin x)的最小正周期为π.进一步我们可以求出该函数的值域了．定义函数f(x)＝sin(cos x)为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题：
(1)求“余正弦”函数的定义域；
(2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由；
(3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域．
17．(15分)设函数f(x)＝Asin(2x＋φ)A>0，0<φ<，函数f(x)的最小值为－2，且x＝为函数f(x)的一个零点．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若对任意的x∈，不等式f(x)>m－3恒成立，求实数m的取值范围．
18．(17分)如图，函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)ω>0，－<φ<的图象与y轴的交点为(0,1)，且其图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的横坐标分别为x0和x0＋2π.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移a(a∈(0,2π))个单位长度后，所得图象对应的函数y＝g(x)是奇函数，求a的值．
19．(17分)设f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω为正整数，|φ|<.当φ＝0时，函数f(x)在上单调递增且在上不具有单调性．
(1)求正整数ω的值；
(2)在①函数f(x)的图象向右平移个单位长度所得图象对应的函数为奇函数，②函数f(x)在上的最小值为－，③函数f(x)的图象的一条对称轴为x＝－这三个条件中任选一个补充在下面横线中，并完成解答．
已知函数f(x)满足________，在锐角三角形ABC中，A注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
阶段质量评价(五)
1．选D　tan 390°＝tan(360°＋30°)＝tan 30°＝.
2．选A　因为扇形的半径为r，圆心角是α(弧度)，所以扇形的弧长l＝rα.
又因为S＝lr，所以S＝r2α.
3．选D　因为270°<305°<360°，所以305°为第四象限角．所以cos 305°>0，sin 305°<0.
所以点P(cos 305°，sin 305°)位于第四象限．
4．选D　∵f(x)＝tan ωx(ω>0)的周期为＝1，∴ω＝π，即f(x)＝tan πx，
则f＝tan＝.
5．选D　对于A选项，当00，A选项不满足条件；
对于B选项，当00，B选项不满足条件；
对于C选项，当π对于D选项，令f(x)＝－sin|x|，该函数的定义域为R，
f(－x)＝－sin|－x|＝－sin|x|＝f(x)，故函数y＝－sin|x|为偶函数，
当06．选D　由题设，2x＋∈，
故f(x)＝sin∈.所以f(x)的最大值和最小值分别为1，－.
7．选A　y＝f(x)＝cos2x＋sin x＝－sin2x＋sin x＋1.令t＝sin x，∵|x|≤，∴－≤sin x≤ .则y＝－t2＋t＋1＝－2＋，
∴当t＝－时，即x＝－时，f(x)有最小值，且最小值为－2＋＝.
8．选C　将函数y＝sin的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度得到函数y＝sin.
∵所得函数图象关于y轴对称，
即－2φ＝＋kπ(k∈Z)，
∴φ＝－(k∈Z)．
∵φ>0，∴当k＝0时，φ的最小值为.
9．选AC　对于选项A，y＝|sin x|的最小正周期为π，在区间上y＝|sin x|＝sin x单调递减，故选项A正确；
对于选项B，y＝cos x的最小正周期为2π，故选项B不正确；
对于选项C，y＝－tan x的最小正周期为π，在区间上单调递减，故选项C正确；
对于选项D，y＝－sin x的最小正周期为2π，故选项D不正确．
10．选ABD　因为sin θ＋cos θ＝，
所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，
则2sin θcos θ＝－.
因为θ∈(0，π)，
所以sin θ>0，cos θ<0.
所以θ∈，故A正确．
所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝.
所以sin θ－cos θ＝，故D正确．
联立可得sin θ＝，cos θ＝－，故B正确．
所以tan θ＝＝－，故C错误．
11．选ABD　由题图可知函数f(x)的最大值为2，最小值为－2，所以A＝2，
＝－＝ T＝π.
又T＝，所以ω＝2.
因为f＝2 2cos＝2，
所以＋φ＝2kπ(k∈Z) φ＝2kπ－(k∈Z)．
又|φ|<，所以φ＝－.
所以f(x)＝2cos，故A正确．
将f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后得g(x)＝2cos＋1＝2cos＋1，故B正确．
由2x＋＝＋kπ(k∈Z) x＝＋(k∈Z)，
所以g(x)的图象关于点对称，故C错误．
由2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，
得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
故D正确．故选A、B、D.
12．解析：将函数y＝sin的横坐标缩短到原来的，得到函数y＝sin，
再向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin＝cos x.
所以f(x)＝cos x.
答案：f(x)＝cos x
13．解析：设x＝3，y＝4，则r＝＝5，
所以sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝＝.
(1)tan(－6π＋α)＝tan α＝.
(2)原式＝·sin α·cos α＝sin2α＝.
答案：(1)　(2)
14．解析：当x∈时，2x＋∈，
当x∈时，
2x＋∈，
由题意得
又解得≤x0≤.
答案：
15．解：法一：因为f(x)为偶函数，
所以f(－x)＝f(x)，即(－x－1)2－ax＋sin＝(x－1)2＋ax＋sin，得a＝2.
法二：因为f(x)为偶函数，所以f＝f，即2－a＝2＋a，得a＝2.
16．解：(1)f(x)＝sin(cos x)的定义域为R.
(2)对于函数f(x)＝sin(cos x)，
因为f(－x)＝sin[cos(－x)]＝sin(cos x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数．
(3)f(x＋2π)＝sin[cos(x＋2π)]＝sin(cos x)＝f(x)，
y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，y＝sin x在区间[－1,1]上单调递增，所以f(x)＝sin(cos x)在[0，π]上单调递减．
y＝cos x在区间[π，2π]上单调递增，y＝sin x在区间[－1,1]上单调递增，所以f(x)＝sin(cos x)在[π，2π]上单调递增．
所以f(x)的最小正周期为2π，
f(x)在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是严格减函数，在[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)上是严格增函数．
结合f(x)＝sin(cos x)的单调性可知，f(x)的值域为[－sin 1，sin 1]．
17．解：(1)∵f(x)min＝－A＝－2，∴A＝2.
∵x＝为f(x)的一个零点，
∴＋φ＝kπ(k∈Z)，解得φ＝kπ－(k∈Z)．
又0<φ<，∴φ＝.
∴f(x)＝2sin.
令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)当x∈时，2x＋∈，
∴sin∈.
∴f(x)∈[1,2]．
∵对任意的x∈，f(x)>m－3恒成立，
∴m－3即实数m的取值范围为(－∞，4)．
18．解：(1)由题意，知＝x0＋2π－x0＝2π，
∴T＝＝4π，得ω＝.
∴f(0)＝2cos＝1，
即cos φ＝.
∵－<φ<，
∴φ＝－或φ＝.
当φ＝时，函数f(x)在(0，＋∞)上先取得最小值，后取得最大值，不符合题意，
∴φ＝－.∴函数f(x)的解析式为f(x)＝2cos.
(2)由题意得g(x)＝2cos.
∵y＝g(x)是奇函数，
∴g(0)＝2cos＝0.
∴－＝kπ－(k∈Z)，
得a＝2kπ－(k∈Z)．
又a∈(0,2π)，∴a＝.
∴g(x)＝2cos＝2cos＝－2sinx，满足g(－x)＝－g(x)．
∴g(x)为奇函数．∴a＝满足题意．
19．解：(1)当φ＝0时，f(x)＝sin ωx，ω∈N*.
因为当φ＝0时，函数f(x)在上单调递增，
所以－≥－，且≤，得0<ω≤.
因为ω为正整数，所以ω＝1或ω＝2.
当ω＝1时，f(x)＝sin x，显然在上具有单调性，不合题意；
当ω＝2时，f(x)＝sin 2x在上不具有单调性，符合题意，所以ω＝2.
(2)选①.
函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向右平移个单位长度所得图象对应的函数为g(x)＝sin，
又g(x)为奇函数，则－＋φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝kπ＋，k∈Z.
又|φ|<，故φ＝，所以f(x)＝sin.
因为f(A)＝f(B)，即sin＝sin，
所以2A＋＝2B＋＋2kπ或2A＋＋2B＋＝π＋2kπ，k∈Z，
即A＝B＋kπ或A＋B＝＋kπ，k∈Z.
又A，B为△ABC的内角，且A选②.
f(x)＝sin(2x＋φ)在上的最小值为－，因为|φ|<，所以f(x)＝sin(2x＋φ)在上的最小值为f(0)＝sin φ＝－.
所以φ＝－.
所以f(x)＝sin.
因为f(A)＝f(B)，
即sin＝sin，
所以2A－＝2B－＋2kπ或2A－＋2B－＝π＋2kπ，k∈Z，
即A＝B＋kπ或A＋B＝＋kπ，k∈Z.
又A，B为△ABC的内角，且A故这样的锐角三角形ABC存在，且C＝.
选③.
f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于x＝－对称，
则－＋φ＝＋kπ，k∈Z，解得φ＝＋kπ，k∈Z.
又|φ|<，故φ＝－，
所以f(x)＝sin.
因为f(A)＝f(B)，
即sin＝sin，
所以2A－＝2B－＋2kπ或2A－＋2B－＝π＋2kπ，k∈Z，
即A＝B＋kπ或A＋B＝＋kπ，k∈Z.
又A，B为△ABC的内角，且A故这样的锐角三角形ABC存在，且C＝.

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