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8.2.1　几个函数模型的比较—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
　　[课时目标]
1．了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型．
2．了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义．
3. 能根据具体问题选择合适的函数模型．
几个函数模型的比较
　　函数性质　　 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xα(α>0)
在(0，＋∞)上的增减性 ________ ________ ________
图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 随α值而不同
增长速度 ax的增长______xα的增长，xα的增长______logax的增长
增长结果 当x足够大时，有__________(a>1)
|微|点|助|解|　
(1)当a＞1时，指数函数y＝ax是增函数，且a越大，y＝ax的函数值的增长就越快；
(2)当a＞1时，对数函数y＝logax是增函数，且a越小，y＝logax的函数值的增长就越快；
(3)当x＞0，n＞1时，幂函数y＝xn是增函数，且当x＞1时，n越大，y＝xn的函数值的增长就越快．
1．已知函数为y＝1＋2x，当x减少1个单位时，y的变化情况是(　 )
A．y减少1个单位　　 B．y增加1个单位
C．y减少2个单位 D．y增加2个单位
2．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是(　 )
A．y＝ex B．y＝ln x
C．y＝x2 D．y＝e－x
3．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示．
时间 1 2 3 4
利润(千元) 2 3.98 8.01 15.99
现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的(　 )
A．y＝log2x B．y＝2x
C．y＝x2 D．y＝2x
题型(一)　函数模型的增长差异
[例1]　
在一次实验中，某小组测得一组数据(xi，yi)(i＝1,2，…，11)，并由实验数据得到右面的散点图．由此散点图，在区间[－2,3]上，下列四个函数模型(a，b为待定系数)中，最能反映x，y函数关系的是(　 )
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx
C．y＝a＋logbx D．y＝a＋
听课记录：
|思|维|建|模|
指数函数、对数函数和幂函数增长差异的判断方法
(1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断．
(2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．　　
[针对训练]
1．若三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表所示．
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 25 45 65 85 105
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.2 7.6
则关于x分别呈函数模型：y＝mlogax＋n，y＝pax＋q，y＝kxa＋t变化的变量依次是(　 )
A．y1，y2，y3 B．y3，y2，y1
C．y1，y3，y2 D．y3，y1，y2
题型(二)　指数函数、对数函数、幂函数模型的比较
[例2]　函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.
(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 024)，g(2 024)的大小．
听课记录：
[针对训练]
2．函数f(x)＝1.1x，g(x)＝ln x＋1，h(x)＝x的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数在(0，＋∞)上的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点，对三个函数的大小进行比较)．
题型(三)　函数模型的选取
[例3]　某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案．公司规定奖励方案中的总奖金额y(单位：万元)是销售利润x(单位：万元)的函数，并且满足如下条件：①图象接近图示；②销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元；③销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元．现有以下三个函数模型供公司选择：
A．y＝kx＋b(k>0)；
B．y＝k·1.5x＋b(k>0)；
C．y＝klog2＋n(k>0)．
(1)请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由；
(2)根据你在(1)中选择的函数模型，解决如下问题：
①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？
②总奖金能否超过销售利润的五分之一？
听课记录：
　|思|维|建|模|
不同的函数增长模型的特点
对于函数模型选取的问题，熟悉各种函数模型的增长特点是关键．一次函数模型的增长是匀速的，二次函数模型是对称的，一侧增，一侧减；指数型函数模型适合描述增长速度很快的变化规律；对数型函数模型比较适合描述增长速度平缓的变化规律；幂型函数模型介于指数型函数模型和对数型函数模型之间，适合描述不快不慢的变化规律．　
[针对训练]
3．某科研单位在研发钛合金产品的过程中使用了一种新材料．该产品的性能指标值是这种新材料的含量x(单位：克)的函数，且性能指标值越大，该产品的性能越好．当0≤x<7时，y和x的关系为以下三种函数模型中的一个：①y＝ax2＋bx＋c，②y＝k·ax(a>0且a≠1)，③y＝klogax(a>0且a≠1)，其中k，a，b，c均为常数．当x≥7时，y＝x－m，其中m为常数．研究过程中部分数据如下表：
x(单位：克) 0 2 6 10 ……
y －4 8 8 ……
(1)指出模型①②③中最能反映y和x(0≤x<7)关系的一个，并说明理由；
(2)求出y与x的函数关系式；
(3)求该新合金材料的含量x为多少时，产品的性能达到最佳．
8．2.1　几个函数模型的比较
?课前预知教材
单调递增　单调递增　单调递增　快于　快于　ax>xα>logax
[基础落实训练]　1.C　2.A　3.B
?课堂题点研究
　[题型(一)]
[例1]　选B　由散点图的定义域可排除C、D选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型．
[针对训练]
1．选B　由题表可知，y2随着x的增大而迅速增大，是指数型函数的变化；y3随着x的增大而增大，但是变化缓慢，是对数型函数的变化；y1相对于y2的变化要慢一些，是幂函数型的变化．
　[题型(二)]
[例2]　解：(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)∵f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，
∴1＜x1＜2,9＜x2＜10，
∴x1＜6＜x2，2 024>x2.
从图象上可以看出，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)，∴f(6)＜g(6)．
当x＞x2时，f(x)＞g(x)，
∴f(2 024)＞g(2 024)．
又g(2 024)＞g(6)，
∴f(2 024)＞g(2 024)＞g(6)＞f(6)．
[针对训练]
2．解：由指数函数、对数函数、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝x，曲线C3对应的函数是g(x)＝ln x＋1.
由题图知，当0＜x＜1时，f(x)＞h(x)＞g(x)；
当1＜x＜e时，f(x)＞g(x)＞h(x)；
当e＜x＜a时，g(x)＞f(x)＞h(x)；
当a＜x＜b时，g(x)＞h(x)＞f(x)；
当b＜x＜c时，h(x)＞g(x)＞f(x)；
当c＜x＜d时，h(x)＞f(x)＞g(x)；
当x＞d时，f(x)＞h(x)＞g(x)．
　[题型(三)]
[例3]　解：(1)模型A.y＝kx＋b(k>0)，因为k>0，所以匀速增长．
模型B.y＝k·1.5x＋b(k>0)，因为k>0，所以先慢后快增长．
模型C.y＝klog2＋n(k>0)，因为k>0，所以先快后慢增长．所以模型C最符合题意．
(2)因为销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元，
所以klog22＋n＝0，即k＋n＝0.
又因为销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元，
所以klog24＋n＝3，即2k＋n＝3.
由解得
所以y＝3log2－3.
①如果总奖金不少于9万元，
则y＝3log2－3≥9，
即log2≥4，即＋2≥16，解得x≥210.
所以至少应完成销售利润210万元．
②设3log2－3≥，
即log2≥＋1.
因为y＝log2与y＝＋1有交点(0,1)，且y＝log2增长速度比y＝＋1慢，所以当x>0时，y＝log2恒在y＝＋1的下方．所以log2≥＋1无解．所以总奖金不会超过销售利润的五分之一．
[针对训练]
3．解：(1)模型①最能反映y和x(0≤x<7)的关系．
由题可知，当x＝0时，y＝－4，显然模型③不合题意，
若为模型②y＝k·ax，则k＝－4，y＝－4ax<0不合题意，故模型①最能反映y和x(0≤x<7)的关系．
(2)当0≤x<7时，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由x＝0，y＝－4，可得c＝－4.
由x＝2，y＝8，得4a＋2b＝12.　　　①
由x＝6，y＝8，得36a＋6b＝12. ②
联立①②，解得a＝－1，b＝8.
所以y＝－x2＋8x－4.
当x≥7时，y＝x－m.
由x＝10，y＝，可得10－m＝，
解得m＝8，即有y＝x－8.
综上，y＝
(3)当0≤x<7时，y＝－x2＋8x－4＝－(x－4)2＋12，即有x＝4时，性能指标值取得最大值12.
当x≥7时，y＝x－8单调递减，所以当x＝7时，性能指标值取得最大值3.
综上可得，当x＝4克时，产品的性能达到最佳．(共58张PPT)
8.2.1
几个函数模型的比较
(教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学)
课时目标
1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.
2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义.
3. 能根据具体问题选择合适的函数模型.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
　几个函数模型的比较
　　 函数 性质 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xα(α>0)
在(0,+∞) 上的增减性 ____________ ____________ _________
图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 随α值而不同
增长速度 ax的增长______xα的增长,xα的增长______logax的增长
增长结果 当x足够大时,有______________(a>1)
单调递增
单调递增
单调递增
快于
快于
ax>xα>logax
|微|点|助|解| 　
(1)当a>1时,指数函数y=ax是增函数,且a越大,y=ax的函数值的增长就越快;
(2)当a>1时,对数函数y=logax是增函数,且a越小,y=logax的函数值的增长就越快;
(3)当x>0,n>1时,幂函数y=xn是增函数,且当x>1时,n越大,y=xn的函数值的增长就越快.
基础落实训练
1.已知函数为y=1+2x,当x减少1个单位时,y的变化情况是 (　 )
A.y减少1个单位　 B.y增加1个单位
C.y减少2个单位 D.y增加2个单位
解析：结合函数y=1+2x的变化特征可知C正确.
√
2.下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是 (　 )
A.y=ex B.y=ln x
C.y=x2 D.y=e-x
解析：结合指数函数、对数函数及幂函数的图象变化趋势可知A正确.
√
3.某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.
时间 1 2 3 4
利润(千元) 2 3.98 8.01 15.99
现构建一个销售这种空调的函数模型,应是下列函数中的 (　 )
A.y=log2x B.y=2x
C.y=x2 D.y=2x
解析：逐个检验可得答案为B.
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一)　函数模型的增长差异
[例1]　在一次实验中,某小组测得一组数据(xi,yi)(i=1,2,…,11),并由实验数据得到右面的散点图.由此散点图,在区间[-2,3]上,下列四个函数模型(a,b为待定系数)中,最能反映x,y函数关系的是 (　 )
A.y=a+bx B.y=a+bx
C.y=a+logbx D.y=a+
解析：由散点图的定义域可排除C、D选项,由散点图的增长方式可知函数模型为指数型.
√
|思|维|建|模|
指数函数、对数函数和幂函数增长差异的判断方法
(1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断.
(2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升的快慢,即随着自变量的增大,图象最“陡”的函数是指数函数;图象趋于平缓的函数是对数函数.
针对训练
1.若三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如表所示.
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 25 45 65 85 105
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.2 7.6
则关于x分别呈函数模型:y=mlogax+n,y=pax+q,y=kxa+t变化的变量依次是 (　 )
A.y1,y2,y3 B.y3,y2,y1
C.y1,y3,y2 D.y3,y1,y2
解析：由题表可知,y2随着x的增大而迅速增大,是指数型函数的变化;y3随着x的增大而增大,但是变化缓慢,是对数型函数的变化;y1相对于y2的变化要慢一些,是幂函数型的变化.
√
题型(二)　指数函数、对数函数、幂函数模型的比较
[例2]　函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.
设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;
解：C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.
(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2 024),g(2 024)的大小.
解：∵f(1)>g(1),f(2)f(10)>g(10),∴1∴x1<6x2.
从图象上可以看出,当x1当x>x2时,f(x)>g(x),∴f(2 024)>g(2 024).
又g(2 024)>g(6),∴f(2 024)>g(2 024)>g(6)>f(6).
针对训练
2.函数f(x)=1.1x,g(x)=ln x+1,h(x)=的图象如图所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三个函数在(0,+∞)上的增长差异(以1,a,b,c,d,e为分界点,对三个函数的大小进行比较).
解：由指数函数、对数函数、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,
曲线C2对应的函数是h(x)=,曲线C3对应的函数是g(x)=ln x+1.
由题图知,当0h(x)>g(x);当1g(x)>h(x);
当ef(x)>h(x);当ah(x)>f(x);
当bg(x)>f(x);当cf(x)>g(x);
当x>d时,f(x)>h(x)>g(x).
题型(三)　函数模型的选取
[例3]　某公司为了提升销售利润,准备制定一个激励销售人员的奖励方案.公司规定奖励方案中的总奖金额y(单位:万元)是销售利润x(单位:万元)的函数,并且满足如下条件:①图象接近图示;
②销售利润x为0万元时,总奖金y为0万元;③销售利
润x为30万元时,总奖金y为3万元.现有以下三个函数模型供公司选择:
A.y=kx+b(k>0);B.y=k·1.5x+b(k>0);C.y=klog2+n(k>0).
(1)请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型,并说明理由;
解：模型A.y=kx+b(k>0),因为k>0,所以匀速增长.
模型B.y=k·1.5x+b(k>0),因为k>0,所以先慢后快增长.
模型C.y=klog2+n(k>0),因为k>0,所以先快后慢增长.所以模型C最符合题意.
(2)根据你在(1)中选择的函数模型,解决如下问题:
①如果总奖金不少于9万元,则至少应完成销售利润多少万元
②总奖金能否超过销售利润的五分之一
解：因为销售利润x为0万元时,总奖金y为0万元,
所以klog22+n=0,即k+n=0.
又因为销售利润x为30万元时,总奖金y为3万元,
所以klog24+n=3,即2k+n=3.
由解得所以y=3log2-3.
①如果总奖金不少于9万元,
则y=3log2-3≥9,
即log2≥4,即+2≥16,解得x≥210.
所以至少应完成销售利润210万元.
②设3log2-3≥,即log2+1.
因为y=log2与y=+1有交点(0,1),
且y=log2增长速度比y=+1慢,
所以当x>0时,y=log2恒在y=+1的下方.所以log2+1无解.所以总奖金不会超过销售利润的五分之一.
　|思|维|建|模|
　　不同的函数增长模型的特点
对于函数模型选取的问题,熟悉各种函数模型的增长特点是关键.一次函数模型的增长是匀速的,二次函数模型是对称的,一侧增,一侧减;指数型函数模型适合描述增长速度很快的变化规律;对数型函数模型比较适合描述增长速度平缓的变化规律;幂型函数模型介于指数型函数模型和对数型函数模型之间,适合描述不快不慢的变化规律.
针对训练
3.某科研单位在研发钛合金产品的过程中使用了一种新材料.该产品的性能指标值是这种新材料的含量x(单位:克)的函数,且性能指标值越大,该产品的性能越好.当0≤x<7时,y和x的关系为以下三种函数模型中的一个:①y=ax2+bx+c,②y=k·ax(a>0且a≠1),③y=klogax(a>0且a≠1),其中k,a,b,c均为常数.当x≥7时,y=,其中m为常数.
研究过程中部分数据如下表:
x(单位:克) 0 2 6 10 ……
y -4 8 8 ……
(1)指出模型①②③中最能反映y和x(0≤x<7)关系的一个,并说明理由;
解：模型①最能反映y和x(0≤x<7)的关系.
由题可知,当x=0时,y=-4,显然模型③不合题意,
若为模型②y=k·ax,则k=-4,y=-4ax<0不合题意,故模型①最能反映y和x(0≤x<7)的关系.
(2)求出y与x的函数关系式;
解：当0≤x<7时,y=ax2+bx+c(a≠0),由x=0,y=-4,可得c=-4.
由x=2,y=8,得4a+2b=12.　　　①
由x=6,y=8,得36a+6b=12. ②
联立①②,解得a=-1,b=8.所以y=-x2+8x-4.当x≥7时,y=.
由x=10,y=,可得,
解得m=8,即有y=.
综上,y=
(3)求该新合金材料的含量x为多少时,产品的性能达到最佳.
解：当0≤x<7时,y=-x2+8x-4=-(x-4)2+12,即有x=4时,性能指标值取得最大值12.
当x≥7时,y=单调递减,
所以当x=7时,性能指标值取得最大值3.
综上可得,当x=4克时,产品的性能达到最佳.
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.如表是函数值y随自变量x变化的一组数据,由此判断它最可能的函数模型
x 4 5 6 7 8 9 10
y 15 17 19 21 23 25 27
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A.一次函数模型 B.二次函数模型
C.指数函数模型 D.对数函数模型
解析：自变量每增加1函数值增加2,函数值的增量是均匀的,故为一次函数模型.故选A.
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2.(多选)当a>1时,下列结论正确的有 (　 )
A.指数函数y=ax,当a越大时,其函数值增长越快
B.指数函数y=ax,当a越小时,其函数值增长越快
C.对数函数y=logax,当a越大时,其函数值增长越快
D.对数函数y=logax,当a越小时,其函数值增长越快
解析：结合指数函数及对数函数的图象可知A、D正确.
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3.某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是 (　 )
A.y=0.2x B.y=(x2+2x)
C.y= D.y=0.2+log16x
解析：将x=1,2,3,y=0.2,0.4,0.76分别代入验算.
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4.y1=2x,y2=x2,y3=log2x,当2A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3
C.y1>y3>y2 D.y2>y3>y1
√
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解析：由题意可知,三个函数在区间(2,4)上都是单调递增的,所以4y1>y3.
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5.如图是根据原卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》绘制的我国7岁以下女童身高(长)的中位数散点图,下列可近似刻画身高y随年龄x变化规律的函数模型是 (　 )
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A.y=mx+n(m>0) B.y=m+n(m>0)
C.y=max+n(m>0,a>1) D.y=mlogax+n(m>0,a>1)
解析：A选项,由散点图知身高y随年龄x变化不是线性增长,故A错误;C选项,指数函数模型中y随x增长越来越快,与题图不符合,故C错误;D选项,对数函数模型在x=0时没有意义,故D错误;B选项符合散点图中y随x增长越来越慢,且在x=0时有意义,故B正确.
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6.某地发生地震后,地震专家对该地区发生的余震进行了监测,记录的部分数据如下表:
强度(J) 1.6×1019 3.2×1019 4.5×1019 6.4×1019
震级(里氏) 5.0 5.2 5.3 5.4
注:地震强度是指地震时释放的能量.
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地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y=alg x+b(其中a,b为常数).利用散点图可知a的值等于　　　　.(取lg 2≈0.3进行计算)
解析：由模拟函数及散点图得
两式相减得a(lg 3.2-lg 1.6)=0.2,即alg 2=0.2,所以a≈.
7.函数y=x3与函数y=x2ln x在区间(0,+∞)上增长速度较快的一个是　　　.
解析：∵,∴比较y=x3与y=x2ln x的增长速度
只需比较y=x与y=ln x增长速度即可.由图象可知y=x的
增长速度快于y=ln x的增长速度,∴函数y=x3与函数
y=x2ln x在区间(0,+∞)上增长速度较快的是y=x3.
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y=x3
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8.(8分)某人对东北一种松树的生长进行了研究,收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据,选择h=mt+b与h=loga(t+1)来拟合h与t的关系,你认为哪个符合 并预测第8年的松树高度.
t(年) 1 2 3 4 5 6
h(米) 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7
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解：在平面直角坐标系中标出t(年)与h(米)之间的关系如图所示.
由图象可以看出增长的速度越来越慢,
用一次函数模型拟合不合适,则选用对数
函数模型比较合理.
不妨将(2,1)代入h=loga(t+1)中,得1=loga3,解得a=3.
故可用函数h=log3(t+1)来拟合这个实际问题.
当t=8时,求得h=log3(8+1)=2,故可预测第8年松树的高度为2米.
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B级——重点培优
9.下列函数图象中,估计有可能用函数y=a+blg x(b>0)来模拟的是(　 )
√
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解析：由于函数y=lg x在定义域内单调递增,且是上凸的,又b>0,所以当x>0时,y=a+blg x(b>0)的图象是单调递增且上凸的.
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10.C0表示生物体内碳14的初始质量,经过t年后碳14剩余质量C(t)=C0(t>0,h为碳14的半衰期).现测得一古墓内某生物体内碳14含量为0.4C0,据此推算该生物距今约(参考数据lg 2≈0.301)(　 )
A.1.36h年 B.1.34h年
C.1.32h年 D.1.30h年
√
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解析：由题意可知,C0=0.4C0.
所以lg=lg 0.4,即lg=lg 0.4.所以.所以t=·h≈1.32h.
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11.已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y=a·0.5x+b,现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件,则此厂3月份该产品的产量为　　　　万件.
解析：∵y=a·0.5x+b,且当x=1时,y=1,当x=2时,y=1.5,
则有解得∴y=-2×0.5x+2.
当x=3时,y=-2×0.125+2=1.75(万件).
1.75
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12.若已知16解析：作出f(x)=和g(x)=log2x的图象,如图所示.
由图象可知,在(0,4)内,>log2x;当x=4或x=16时,=log2x;
在(4,16)内,log2x.
>log2x
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13.(10分)已知桶1与桶2通过水管相连如图所示,开始时桶1中有a L水,t min后剩余的水符合指数衰减函数y1=a·e-nt,那么桶2中的水就是y2=a-a·e-nt,假定5 min后,桶1中的水与桶2中的水相等,那么再过多长时间桶1中的水只有 L
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解：由题意,得a·e-5n=a-a·e-5n,即e-5n=.①
设再过t min桶1中的水只有 L,则a·e-n(t+5)=a,即e-n(t+5)=.②
将①式两边平方得e-10n=,③
比较②③,得-n(t+5)=-10n,所以t=5.
即再过5 min桶1中的水只有 L.
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14.(13分)某公司每个仓库的收费标准如下表(x表示储存天数,y(万元)表示每个仓库收取的总费用).
x 1 3 7 14
y 1 2 3 4
(1)给出两个函数y1=px-1+q(p>0且p≠1),y2=loga(x+b)(a>0且a≠1),要从这两个函数中选出一个来模拟表中x,y之间的关系,问:选择哪一个函数较好 请说明理由.
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解：若选择函数y1=px-1+q(p>0且p≠1),
将(1,1),(3,2)代入函数得
解得∴y1=()x-1=.
当x=7时,y1=23=8;当x=14时,y1==64,
可知当x=7或14时,与实际数据差距较大.
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若选择函数y2=loga(x+b)(a>0且a≠1),将(1,1)(3,2)代入函数得
解得∴y2=log2(x+1).当x=7时,y2=log28=3;当x=14时,y2=log215,可知当x=7或14时,与实际数据比较接近.综上所述,选择y2=loga(x+b)(a>0且a≠1)较好.
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(2)该公司旗下有10个这样的仓库,每个仓库储存货物时,每天需要
2 000元的运营成本,不存货物时仅需500元的成本.一批货物需要存放7天,设该批货物存放在m个仓库内,其余仓库空闲.要使该公司这
7天的仓库收益不少于43 000元,则m的最小值是多少
注:收益=收入-成本.
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解：设该公司这7天的仓库收益为f(m)元,由表格数据可知若货物存放7天,每个仓库收费30 000元,
∴f(m)=30 000m-[2 000m+500×(10-m)]×7=19 500m-35 000.
由f(m)≥43 000,得m≥4.∴m的最小值为4.课时跟踪检测(五十二)　几个函数模型的比较
(满分90分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型(　　)
x 4 5 6 7 8 9 10
y 15 17 19 21 23 25 27
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
2．(多选)当a>1时，下列结论正确的有(　　)
A．指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值增长越快
B．指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值增长越快
C．对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值增长越快
D．对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值增长越快
3．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是(　　)
A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x)
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
4．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3
C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1
5．如图是根据原卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》绘制的我国7岁以下女童身高(长)的中位数散点图，下列可近似刻画身高y随年龄x变化规律的函数模型是(　　)
A．y＝mx＋n(m＞0)
B．y＝m＋n(m＞0)
C．y＝max＋n(m＞0，a＞1)
D．y＝mlogax＋n(m＞0，a＞1)
6．某地发生地震后，地震专家对该地区发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：
强度(J) 1.6×1019 3.2×1019 4.5×1019 6.4×1019
震级(里氏) 5.0 5.2 5.3 5.4
注：地震强度是指地震时释放的能量．
地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y＝alg x＋b(其中a，b为常数)．利用散点图可知a的值等于________．(取lg 2≈0.3进行计算)
7．函数y＝x3与函数y＝x2ln x在区间(0，＋∞)上增长速度较快的一个是__________．
8．(8分)某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来拟合h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度.
t(年) 1 2 3 4 5 6
h(米) 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7
B级——重点培优
9．下列函数图象中，估计有可能用函数y＝a＋blg x(b>0)来模拟的是(　　)
10．C0表示生物体内碳14的初始质量，经过t年后碳14剩余质量C(t)＝C0(t＞0，h为碳14的半衰期)．现测得一古墓内某生物体内碳14含量为0.4C0，据此推算该生物距今约(参考数据lg 2≈0.301)(　　)
A．1.36h年 B．1.34h年
C．1.32h年 D．1.30h年
11．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此厂3月份该产品的产量为________万件．
12．若已知1613．(10分)已知桶1与桶2通过水管相连如图所示，开始时桶1中有a L水，t min后剩余的水符合指数衰减函数y1＝a·e－nt，那么桶2中的水就是y2＝a－a·e－nt，假定5 min后，桶1中的水与桶2中的水相等，那么再过多长时间桶1中的水只有 L
14．(13分)某公司每个仓库的收费标准如下表(x表示储存天数，y(万元)表示每个仓库收取的总费用).
x 1 3 7 14
y 1 2 3 4
(1)给出两个函数y1＝px－1＋q(p＞0且p≠1)，y2＝loga(x＋b)(a＞0且a≠1)，要从这两个函数中选出一个来模拟表中x，y之间的关系，问：选择哪一个函数较好？请说明理由．
(2)该公司旗下有10个这样的仓库，每个仓库储存货物时，每天需要2 000元的运营成本，不存货物时仅需500元的成本．一批货物需要存放7天，设该批货物存放在m个仓库内，其余仓库空闲．要使该公司这7天的仓库收益不少于43 000元，则m的最小值是多少？
注：收益＝收入－成本．
课时跟踪检测(五十二)
1．选A　自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．故选A.
2．选AD　结合指数函数及对数函数的图象可知A、D正确．
3．选C　将x＝1,2,3，y＝0.2,0.4,0.76分别代入验算．
4.选B　由题意可知，三个函数在区间(2,4)上都是单调递增的，所以4y1>y3.
5．选B　A选项，由散点图知身高y随年龄x变化不是线性增长，故A错误；C选项，指数函数模型中y随x增长越来越快，与题图不符合，故C错误；D选项，对数函数模型在x＝0时没有意义，故D错误；B选项符合散点图中y随x增长越来越慢，且在x＝0时有意义，故B正确．
6．解析：由模拟函数及散点图得
两式相减得a(lg 3.2－lg 1.6)＝0.2，即alg 2＝0.2，所以a≈.
答案：
7．解析：∵＝，∴比较y＝x3与y＝x2ln x的增长速度只需比较y＝x与y＝ln x增长速度即可．由图象可知y＝x的增长速度快于y＝ln x的增长速度，
∴函数y＝x3与函数y＝x2ln x在区间(0，＋∞)上增长速度较快的是y＝x3.
答案：y＝x3
8．解：在平面直角坐标系中标出t(年)与h(米)之间的关系如图所示．
由图象可以看出增长的速度越来越慢，用一次函数模型拟合不合适，则选用对数函数模型比较合理．
不妨将(2,1)代入h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，
解得a＝3.
故可用函数h＝log3(t＋1)来拟合这个实际问题．
当t＝8时，求得h＝log3(8＋1)＝2，故可预测第8年松树的高度为2米．
9．选C　由于函数y＝lg x在定义域内单调递增，且是上凸的，又b>0，所以当x>0时，y＝a＋blg x(b>0)的图象是单调递增且上凸的．
10．选C　由题意可知，C0＝0.4C0.
所以lg＝lg 0.4，即lg＝lg 0.4.所以＝＝.
所以t＝·h≈1.32h.
11．解析：∵y＝a·0.5x＋b，且当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝1.5，则有解得∴y＝－2×0.5x＋2.
当x＝3时，y＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)．
答案：1.75
12．解析：作出f(x)＝x和g(x)＝log2x的图象，如图所示．
由图象可知，在(0,4)内，x＞log2x；当x＝4或x＝16时，x＝log2x；在(4,16)内，xlog2x.
答案：x>log2x
13．解：由题意，得a·e－5n＝a－a·e－5n，即e－5n＝.①
设再过t min桶1中的水只有 L，则a·e－n(t＋5)＝a，
即e－n(t＋5)＝.②
将①式两边平方得e－10n＝，③
比较②③，得－n(t＋5)＝－10n，所以t＝5.
即再过5 min桶1中的水只有 L.
14．解：(1)若选择函数y1＝px－1＋q(p＞0且p≠1)，
将(1,1)，(3,2)代入函数得
解得∴y1＝()x－1＝2x－.
当x＝7时，y1＝23＝8；当x＝14时，y1＝2＝64，可知当x＝7或14时，与实际数据差距较大．
若选择函数y2＝loga(x＋b)(a＞0且a≠1)，将(1,1)(3,2)代入函数得
解得∴y2＝log2(x＋1)．当x＝7时，y2＝log28＝3；当x＝14时，y2＝log215，可知当x＝7或14时，与实际数据比较接近．综上所述，选择y2＝loga(x＋b)(a＞0且a≠1)较好．
(2)设该公司这7天的仓库收益为f(m)元，由表格数据可知若货物存放7天，每个仓库收费30 000元，∴f(m)＝30 000m－[2 000m＋500×(10－m)]×7＝19 500m－35 000.由f(m)≥43 000，得m≥4.∴m的最小值为4.

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