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(共71张PPT)
1.1.2
集合的基本关系
§1.1　集合
<<<
1.理解集合之间的包含与相等的含义.
2.能识别给定集合的子集、真子集.
3.了解维恩图的含义，会用维恩图表示两个集合间的关系.
学习目标
上节课我们学习了集合的相关概念，那么大家能否判断：1和2是否属于集合A=呢？我们用列举法知道：该集合可以表示为从而可以判断2∈A，1 A.那么集合与集合A又有什么关系呢？
导 语
一、集合间关系的判断
二、子集、真子集及个数问题
课时对点练
三、集合间关系的应用
随堂演练
内容索引
集合间关系的判断
一
观察下面的几个例子，请说出两个集合元素有何特点？
(1)A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}；
(2)C为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合；
(3)A={x|x=2k，k∈Z}，B={偶数}.
问题
提示　(1)集合A的任意元素都是集合B的元素，但4和5是集合B的元素，不是集合A的元素；
(2)集合C的任意元素都是集合D的元素，但立德中学高一(2)班每一个男生都是集合D的元素，不是集合C的元素；
(3)集合A的任意元素都是集合B的元素，同时集合B的任意元素都是集合A的元素.
1.子集与真子集的定义
概念 定义 符号表示 图形表示
子集 如果集合A的_________元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集 A B(或B A)读 作： (或 ) 或
任意一个


A包含于B
B包含A
概念 定义 符号表示 图形表示
真子集 如果集合A是集合B的 ，并且B中 有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集 A B(或B A)读 作：___________ (或 )
相等 如果集合A和集合B的元素 _________ _____
子集
至少
A真包含于B
B真包含A
完全相同
A=B
2.维恩图
如果用平面上一条 的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图通常称为维恩图.
封闭曲线
(1)任意集合A都是它自身的子集，即A A.
(2)空集是任意一个集合A的子集，即 A，空集是任意一个非空集合B的真子集，即 　B.
(3)对于集合A，B，C，如果A B，B C，则A C；对于集合A，B，C，如果A　B，B　C，则A　C.
(4)如果A B且B A，则A=B；反之，如果A=B，则A B且B A.
注 意 点
<<<
(课本例3)写出下列每对集合之间的关系：
(1)A={1，2，3，4，5}，B={1，3，5}；
例 1
因为B的每个元素都属于A，而4∈A且4 B，所以B　A.
解
(2)C={x|x2=1}，D={x||x|=1}；
不难看出，C和D包含的元素都是1和-1，所以C=D.
解
(3)E=(-∞，3)，F=(-1，2]；
在数轴上表示出区间E和F，如图所示.
解
由图可知F　E.
(4)G={x|x是对角线相等且互相平分的四边形}，H={x|x是有一个内角为直角的平行四边形}.
如果x∈G，则x是对角线相等且互相平分的四边形，所以x是矩形，从而可知x是有一个内角为直角的平行四边形，所以x∈H，因此G H.
反之，如果x∈H，则x是有一个内角为直角的平行四边形，
所以x是矩形，从而可知x是对角线相等且互相平分的四边形，所以x∈G，因此H G.
综上可知，G=H.
解
指出下列各对集合之间的关系：
(1)A={-1，1}，B={(-1，-1)，(-1，1)，(1，-1)，(1，1)}；
例 1
集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.
解
(2)A={x|x是等边三角形}，B={x|x是等腰三角形}；
等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A　B.
解
(3)A=(-1，4)，B={x|x-5<0}；
集合B={x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A　B.
解
(4)M={x|x=2n-1，n∈N+}，N={x|x=2n+1，n∈N+}.
由列举法知M={1，3，5，7，…}，N={3，5，7，9，…}，故N　M.
解
(1)判断集合关系的方法
①观察法：一一列举观察.
②元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.
③数形结合法：利用数轴或维恩图.
(2)证明集合间的包含关系，一般用定义.
反
思
感
悟
　(1)能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}关系的维恩图是
跟踪训练 1
√
由x2-x=0，解得x=1或x=0，故N={0，1}，易得N　M，其对应的维恩图如选项B所示.
解析
(2)已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={1，2}，C={x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空：
①A　　　B；②A　　　C； ③{2}　　　C；④2　　　C.
A={1，2}，B={1，2}，C={0，1，2，3，4，5，6，7}.
故①A=B；②A　C；③{2}　C；④2∈C.
解析
=
∈
二
子集、真子集及个数问题
填写下表，并回答问题：
例 2
集合 集合的子集 子集的个数

{a}
{a，b}
{a，b，c}
由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？
由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n-1，非空真子集的个数是2n-2.
解
集合 集合的子集 子集的个数
1
{a} ，{a} 2
{a，b} ，{a}，{b}，{a，b} 4
{a，b，c} ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8
利用例题的结论，试求满足{1，2}　M {1，2，3，4，5}的集合M的个数.
延伸探究 1
由题意可得{1，2}　M {1，2，3，4，5}，可以确定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个，
又集合{3，4，5}的非空子集的个数为23-1=7，
故集合M的个数为7.
解
求集合的子集的关注点
(1)要注意两个特殊的子集： 和自身.
(2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏.
(3)含有n个元素的集合的子集有2n个，真子集有2n-1个.
反
思
感
悟
(课本例1)写出集合A={6，7，8}的所有子集和真子集.
跟踪训练 2
集合A的所有子集是 ，{6}，{7}，{8}，{6，7}，{6，8}，{7，8}，
{6，7，8}.
在上述子集中，除去集合A本身，即{6，7，8}，剩下的都是A的真子集.
解
已知集合A={(x，y)|x+y=2，x，y∈N}，试写出集合A的所有子集及真子集.
跟踪训练 2
因为A={(x，y)|x+y=2，x，y∈N}，
所以A={(0，2)，(1，1)，(2，0)}.
所以集合A的子集有 ，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.
A的真子集有 ，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}.
解
集合间关系的应用
三
　(课本例2)已知区间A=(-∞，2]和B=(-∞，a)，且B A，求实数a的取值范围.
例 3
因为集合B的元素都是集合A的元素，所以可用数轴表示它们的关系，如图所示.
解
从而可知a≤2.
(1)(2023·新高考全国Ⅱ)设集合A={0，-a}，B={1，a-2，2a-2}，若A B，则a等于
A.2 B.1 C. D.-1
例 3
若a-2=0，解得a=2，此时A={0，-2}，B={1，0，2}，不符合题意；
若2a-2=0，解得a=1，此时A={0，-1}，B={1，-1，0}，符合题意.
综上所述，a=1.
解析
√
(2)已知集合A={x|-2≤x≤5}，集合B={x|m+1≤x≤2m-1}.是否存在实数m使得A B，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.
因为A B，如图所示，此时B≠ ，
所以
所以m不存在.
即不存在实数m使A B.
解
　若例3(2)中的条件不变，且B A，求实数m的取值范围.
延伸探究 2
①当B= 时，满足B A，
此时m+1>2m-1，解得m<2.
②当B≠ ，且B A时，如图所示.
则
解得2≤m≤3.
所以实数m的取值范围是{m|m≤3}.
解
若例3(2)中的条件“A={x|-2≤x≤5}”改为“A={x|-2延伸探究 3
①当B= 时，满足B A，此时m+1>2m-1，解得m<2.
②当B≠ ，且B A时，如图所示.
则即2≤m<3，
所以实数m的取值范围是{m|m<3}.
解
若例3(2)中的条件不变，且B　A，求实数m的取值范围.
延伸探究 4
①当B= 时，满足B　A，此时m+1>2m-1，解得m<2.
②当B≠ ，且B　A时，如图所示.
所以
解得2≤m≤3.
所以实数m的取值范围是{m|m≤3}.
解
(1)利用数轴处理不等式表示的集合间的关系问题时，可化抽象为直观，要注意端点值的取舍.
(2)涉及“A B”或“A　B且B≠ ”的问题，一定要分A= 和A≠ 两种情况讨论，不要忽视空集的情况.
反
思
感
悟
1.知识清单：
(1)子集、真子集、维恩图的概念及集合间关系的判断.
(2)子集、真子集的个数问题.
(3)由集合间的关系求参数的值或范围.
2.方法归纳：数形结合、分类讨论.
3.常见误区：忽略对集合是否为空集的讨论，利用数轴解题时忽视是否能够取到端点.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.(多选)以下四个选项中，错误的为
A.{1}∈{0，1，2} B.{1，-3}={-3，1}
C.{0，1，2} {1，0，2} D. ∈{0}
√
√
A应是{1} {0，1，2}；
对于B，集合中的元素有无序性，故B正确；
对于C，任何集合都是本身的子集，故{0，1，2} {1，0，2}，故C正确；
D应是 {0}.
解析
1
2
3
4
2.(多选)集合M={1，2，3}，N={a，b}，若N M，则a+b可能是
A.2 B.3 C.4 D.5
√
因为N M，
所以N的所有可能为
所以a+b可能等于3或4或5.
解析
√
√
1
2
3
4
3.已知a是实数，若集合{x|x2+x+a=0}是任何集合的子集，则a的取值范围
是　　　　　　.
由题意可知，集合是空集，即方程x2+x+a=0无解，
则Δ=1-4a<0，解得a>
所以实数a的取值范围是.
解析
1
2
3
4
4.已知集合A={x|0[2，+∞)
∵B A，
∴利用数轴分析法(如图)，可知a≥2.
解析
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C ACD AB A B D 31　30 题号 8 11 12 13 14 15
答案 {p|p≥4} C B {a|a<-4或a>2} ±1 C
对一对
答案
1
2
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5
6
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16
9.
答案
1
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15
16
(1)A　B.
(2)A={x|x=3k，k∈N}是由自然数中3 的倍数构成的集合，B={x|x=6z，z∈N} 是由自然数中6的倍数构成的集合，6的倍数一定是3的倍数，但3的倍数不一定是6的倍数，∴B　A.
(3)4和10的公倍数是20的倍数，
因而A={x∈N+|x是4与10的公倍数}={x∈N+|x是20的倍数}={x|x=20m，m∈N+}=B.
10.
答案
1
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3
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16
(1)A={x|x2-5x+6=0}={2，3}，
所以集合A的所有非空子集为{2}，{3}，{2，3}.
(2)由已知得B A={2，3}，
①若B= ，则m=0，满足条件.
②若B≠ ，当2∈B时，得m=-；
当3∈B时，得m=-.
故所求的集合为.
16.
答案
1
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16
由题意可知A={x|x2-3x+2=0}={1，2}，
B={x|x2-ax+a-1=0}={x|(x-1)[x-(a-1)]=0}，
∴1∈B.
又B　A，∴a-1=1，
即a=2.
∵C={x|x2-bx+2=0}，且C A，
∴C= 或{1}或{2}或{1，2}.
16.
答案
1
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3
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15
16
当C={1，2}时，b=3；
当C={1}或{2}时，Δ=b2-8=0，
即b=±2
此时x=±与C={1}或{2}矛盾，故舍去；
当C= 时，Δ=b2-8<0，
即-2综上可知，存在a=2，b=3或-2基础巩固
1.下列各选项中，表示M N的是
由M N知，表示集合M的图形应全都在表示集合N的图形中.
解析
答案
1
2
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4
5
6
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16
√
2.(多选)已知集合A={0，1}，则下列式子正确的是
A.0∈A
B.{1}∈A
C. A
D.{0，1} A
√
答案
1
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16
√
√
∵{1} A，∴B项错误，其余均正确.
解析
3.(多选)已知集合A={2，-1}，集合B={m2-m，-1}，若A B且B A，则实数m等于
A.2 B.-1 C.-2 D.4
√
∵A B且B A，∴A=B，
∴m2-m=2，解得m=2或m=-1.
解析
答案
1
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5
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16
√
4.已知集合P={1，2，3，4，5}，Q={y|y=x+1，x∈P}，那么集合M={2，3，4}与Q的关系是
A.M　Q B.M，Q互不包含
C.Q　M D.Q=M
√
答案
1
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16
∵集合P={1，2，3，4，5}，Q={y|y=x+1，x∈P}={2，3，4，5，6}，又集合M={2，3，4}，
∴M　Q.
解析
5.已知集合A={x，0}，B={y，0，1}，其中x，y∈{0，1，2，3，4，5}，且A B.满足以上条件的全部有序数对(x，y)的个数为
A.6 B.8 C.20 D.36
√
答案
1
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16
依题意，当x=1时，y=2，3，4，5，有序数对(x，y)有4个.
当x=y时，x=y=2，3，4，5，有序数对(x，y)有4个.
所以全部有序数对(x，y)的个数为8.
解析
6.已知集合A={x∈R|x2-3x+2=0}，B={x∈N|0A.1 B.2 C.3 D.4
√
答案
1
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16
由题意知，A={1，2}，B={1，2，3，4}.
又A C B，则集合C可能为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共4个.
解析
7.集合A=的真子集个数为　　，非空真子集个数为　　.
因为∈N，x∈N，所以x=5，4，3，2，0，
所以集合A={0，2，3，4，5}，所以集合A的真子集个数为25-1=31，非空真子集个数为25-2=30.
解析
答案
1
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16
31
30
8.已知集合A={x|x<-1或x>2}，B={x|4x+p<0}，若B A，则实数p的取值范围是　　　　 .
集合A={x|x<-1或x>2}，
B={x|4x+p<0}=
若B A，则-≤-1，即p≥4，
则实数p的取值范围是{p|p≥4}.
解析
答案
1
2
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4
5
6
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{p|p≥4}
9.判断下列两个集合之间的关系：
(1)A={x|x<0}，B={x|x<1}；
答案
1
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15
16
A　B.
解
(2)A={x|x=3k，k∈N}，B={x|x=6z，z∈N}；
A={x|x=3k，k∈N}是由自然数中3 的倍数构成的集合，B={x|x=6z，z∈N} 是由自然数中6的倍数构成的集合，6的倍数一定是3的倍数，但3的倍数不一定是6的倍数，∴B　A.
解
(3)A={x∈N+|x是4与10的公倍数}，B={x|x=20m，m∈N+}.
答案
1
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16
4和10的公倍数是20的倍数，因而A={x∈N+|x是4与10的公倍数}= {x∈N+|x是20的倍数}={x|x=20m，m∈N+}=B.
解
10.已知集合A={x|x2-5x+6=0}，B={x|mx+1=0}，且B A.
(1)求集合A的所有非空子集；
答案
1
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16
A={x|x2-5x+6=0}={2，3}，
所以集合A的所有非空子集为{2}，{3}，{2，3}.
解
(2)求实数m的值组成的集合.
答案
1
2
3
4
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15
16
由已知得B A={2，3}，
①若B= ，则m=0，满足条件.
②若B≠ ，当2∈B时，得m=-；
当3∈B时，得m=-.
故所求的集合为.
解
11.已知集合A={a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和等于9，则a1+a2+a3等于
A.1 B.2 C.3 D.6
√
综合运用
答案
1
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集合A={a1，a2，a3}的所有非空真子集有：{a1}，{a1，a2}，{a1，a3}，{a2}，{a2，a3}，{a3}，
故3(a1+a2+a3)=9，即a1+a2+a3=3.
解析
12.已知集合M=N=P= 则集合M，N，P的关系为
A.M=N　P B.M　N=P
C.M　N　P D.N　P　M
√
答案
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答案
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16
因为M=
N=
P=所以M　N=P.
解析
13.已知集合A={x|x<-1或x>4}，B={x|2a≤x≤a+3}，若B　A，则实数a的取值范围为　　　　　　　.
答案
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{a|a<-4或a>2}
答案
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16
①当B= 时，2a>a+3，即a>3，显然满足题意；②当B≠ 时，根据题意作出如图所示的数轴，
解析
可得
解得a<-4或2综上可得，实数a的取值范围是{a|a<-4或a>2}.
14.若集合A={x|(a-1)x2+4x-2=0}有且仅有两个子集，则实数a的值是　　.
答案
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因为集合A={x|(a-1)x2+4x-2=0}有且仅有两个子集，
所以集合A中只含有1个元素.
当a=1时，A={x|4x-2=0}=符合题意；
当a≠1时，要使集合A中只有一个元素，只需Δ=42-4(a-1)×(-2)=0，解得a=-1，
综上所述， 实数a的值是1或-1.
解析
±1
15.集合M={x|x=5k-2，k∈Z}，P={x|x=5n+3，n∈Z}，S={x|x=10m+3，m∈Z}的关系是
A.M S=P B.S=P M
C.S P=M D.P=M S
拓广探究
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
任取a∈M，则a=5k1-2=5(k1-1)+3，k1∈Z，
所以a∈P，所以M P，
任取b∈P，则b=5n1+3=5(n1+1)-2，n1∈Z，
所以b∈M，所以P M，所以M=P，
任取c∈S，则c=10m1+3=5·(2m1)+3，m1∈Z，
所以c∈P，所以S P，
又8∈P，8 S，所以S≠P，所以S P=M.
解析
16.已知三个集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+a-1=0}，C={x|x2-bx+2=0}，同时满足B　A，C A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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答案
1
2
3
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16
由题意可知A={x|x2-3x+2=0}={1，2}，
B={x|x2-ax+a-1=0}={x|(x-1)[x-(a-1)]=0}，
∴1∈B.
又B　A，∴a-1=1，即a=2.
∵C={x|x2-bx+2=0}，且C A，
∴C= 或{1}或{2}或{1，2}.
解
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
当C={1，2}时，b=3；
当C={1}或{2}时，Δ=b2-8=0，
即b=±2
此时x=±与C={1}或{2}矛盾，故舍去；
当C= 时，Δ=b2-8<0，
即-2综上可知，存在a=2，b=3或-2解
§1.1　集合
<<<1.1.2　集合的基本关系
学习目标　1.理解集合之间的包含与相等的含义.2.能识别给定集合的子集、真子集.3.了解维恩图的含义，会用维恩图表示两个集合间的关系.
导语
上节课我们学习了集合的相关概念，那么大家能否判断：1和2是否属于集合A=呢？我们用列举法知道：该集合可以表示为从而可以判断2∈A，1 A.那么集合与集合A又有什么关系呢？
一、集合间关系的判断
问题　观察下面的几个例子，请说出两个集合元素有何特点？
(1)A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}；
(2)C为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合；
(3)A={x|x=2k，k∈Z}，B={偶数}.
提示　(1)集合A的任意元素都是集合B的元素，但4和5是集合B的元素，不是集合A的元素；
(2)集合C的任意元素都是集合D的元素，但立德中学高一(2)班每一个男生都是集合D的元素，不是集合C的元素；
(3)集合A的任意元素都是集合B的元素，同时集合B的任意元素都是集合A的元素.
知识梳理
1.子集与真子集的定义
概念 定义 符号表示 图形表示
子 集 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集 A B (或B A)读作：A包含于B(或B包含A) 或
真 子 集 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集 AB (或BA)读作：A真包含于B(或B真包含A)
相 等 如果集合A和集合B的元素完全相同 A=B
2.维恩图
如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图通常称为维恩图.
注意点：
(1)任意集合A都是它自身的子集，即A A.
(2)空集是任意一个集合A的子集，即 A，空集是任意一个非空集合B的真子集，即 B.
(3)对于集合A，B，C，如果A B，B C，则A C；对于集合A，B，C，如果AB，BC，则AC.
(4)如果A B且B A，则A=B；反之，如果A=B，则A B且B A.
例1　(课本例3)写出下列每对集合之间的关系：
(1)A={1，2，3，4，5}，B={1，3，5}；
(2)C={x|x2=1}，D={x||x|=1}；
(3)E=(-∞，3)，F=(-1，2]；
(4)G={x|x是对角线相等且互相平分的四边形}，H={x|x是有一个内角为直角的平行四边形}.
解　(1)因为B的每个元素都属于A，而4∈A且4 B，所以BA.
(2)不难看出，C和D包含的元素都是1和-1，所以C=D.
(3)在数轴上表示出区间E和F，如图所示.
由图可知FE.
(4)如果x∈G，则x是对角线相等且互相平分的四边形，所以x是矩形，从而可知x是有一个内角为直角的平行四边形，所以x∈H，因此G H.
反之，如果x∈H，则x是有一个内角为直角的平行四边形，
所以x是矩形，从而可知x是对角线相等且互相平分的四边形，所以x∈G，因此H G.
综上可知，G=H.
例1　指出下列各对集合之间的关系：
(1)A={-1，1}，B={(-1，-1)，(-1，1)，(1，-1)，(1，1)}；
(2)A={x|x是等边三角形}，B={x|x是等腰三角形}；
(3)A=(-1，4)，B={x|x-5<0}；
(4)M={x|x=2n-1，n∈N+}，N={x|x=2n+1，n∈N+}.
解　(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.
(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.
(3)集合B={x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知AB.
(4)由列举法知M={1，3，5，7，…}，N={3，5，7，9，…}，故NM.
反思感悟　(1)判断集合关系的方法
①观察法：一一列举观察.
②元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.
③数形结合法：利用数轴或维恩图.
(2)证明集合间的包含关系，一般用定义.
跟踪训练1　(1)能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}关系的维恩图是(　　)
答案　B
解析　由x2-x=0，解得x=1或x=0，故N={0，1}，易得NM，其对应的维恩图如选项B所示.
(2)已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={1，2}，C={x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空：
①A　　　　B；②A　　　　C；
③{2}　　　　C；④2　　　　C.
答案　①=　②　③　④∈
解析　A={1，2}，B={1，2}，C={0，1，2，3，4，5，6，7}.故①A=B；②AC；③{2}C；④2∈C.
二、子集、真子集及个数问题
例2　填写下表，并回答问题：
集合 集合的子集 子集的个数

{a}
{a，b}
{a，b，c}
由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？
解　
集合 集合的子集 子集的个数
1
{a} ，{a} 2
{a，b} ，{a}，{b}，{a，b} 4
{a，b，c} ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8
由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n-1，非空真子集的个数是2n-2.
延伸探究1　利用例题的结论，试求满足{1，2}M {1，2，3，4，5}的集合M的个数.
解　由题意可得{1，2}M {1，2，3，4，5}，可以确定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个，
又集合{3，4，5}的非空子集的个数为23-1=7，
故集合M的个数为7.
反思感悟　求集合的子集的关注点
(1)要注意两个特殊的子集： 和自身.
(2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏.
(3)含有n个元素的集合的子集有2n个，真子集有2n-1个.
跟踪训练2　(课本例1)写出集合A={6，7，8}的所有子集和真子集.
解　集合A的所有子集是
，{6}，{7}，{8}，{6，7}，{6，8}，{7，8}，{6，7，8}.
在上述子集中，除去集合A本身，即{6，7，8}，剩下的都是A的真子集.
跟踪训练2　已知集合A={(x，y)|x+y=2，x，y∈N}，试写出集合A的所有子集及真子集.
解　因为A={(x，y)|x+y=2，x，y∈N}，
所以A={(0，2)，(1，1)，(2，0)}.
所以集合A的子集有 ，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.
A的真子集有 ，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}.
三、集合间关系的应用
例3　(课本例2)已知区间A=(-∞，2]和B=(-∞，a)，且B A，求实数a的取值范围.
解　因为集合B的元素都是集合A的元素，所以可用数轴表示它们的关系，如图所示.
从而可知a≤2.
例3　 (1)(2023·新高考全国Ⅱ)设集合A={0，-a}，B={1，a-2，2a-2}，若A B，则a等于(　　)
A.2 B.1 C. D.-1
答案　B
解析　若a-2=0，解得a=2，此时A={0，-2}，B={1，0，2}，不符合题意；
若2a-2=0，解得a=1，此时A={0，-1}，B={1，-1，0}，符合题意.
综上所述，a=1.
(2)已知集合A={x|-2≤x≤5}，集合B={x|m+1≤x≤2m-1}.是否存在实数m使得A B，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.
解　因为A B，如图所示，此时B≠ ，
所以即
所以m不存在.
即不存在实数m使A B.
延伸探究2　若例3(2)中的条件不变，且B A，求实数m的取值范围.
解　①当B= 时，满足B A，
此时m+1>2m-1，解得m<2.
②当B≠ ，且B A时，如图所示.
则
解得2≤m≤3.
所以实数m的取值范围是{m|m≤3}.
延伸探究3　若例3(2)中的条件“A={x|-2≤x≤5}”改为“A={x|-2解　①当B= 时，满足B A，此时m+1>2m-1，解得m<2.
②当B≠ ，且B A时，如图所示.
则解得即2≤m<3，
所以实数m的取值范围是{m|m<3}.
延伸探究4　若例3(2)中的条件不变，且BA，求实数m的取值范围.
解　①当B= 时，满足BA，此时m+1>2m-1，解得m<2.
②当B≠ ，且BA时，如图所示.
所以或
解得2≤m≤3.
所以实数m的取值范围是{m|m≤3}.
反思感悟　(1)利用数轴处理不等式表示的集合间的关系问题时，可化抽象为直观，要注意端点值的取舍.
(2)涉及“A B”或“AB且B≠ ”的问题，一定要分A= 和A≠ 两种情况讨论，不要忽视空集的情况.
1.知识清单：
(1)子集、真子集、维恩图的概念及集合间关系的判断.
(2)子集、真子集的个数问题.
(3)由集合间的关系求参数的值或范围.
2.方法归纳：数形结合、分类讨论.
3.常见误区：忽略对集合是否为空集的讨论，利用数轴解题时忽视是否能够取到端点.
1.(多选)以下四个选项中，错误的为(　　)
A.{1}∈{0，1，2} B.{1，-3}={-3，1}
C.{0，1，2} {1，0，2} D. ∈{0}
答案　AD
解析　A应是{1} {0，1，2}；对于B，集合中的元素有无序性，故B正确；对于C，任何集合都是本身的子集，故{0，1，2} {1，0，2}，故C正确；D应是 {0}.
2.(多选)集合M={1，2，3}，N={a，b}，若N M，则a+b可能是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
答案　BCD
解析　因为N M，
所以N的所有可能为
所以a+b可能等于3或4或5.
3.已知a是实数，若集合{x|x2+x+a=0}是任何集合的子集，则a的取值范围是　　　　　　　.
答案　
解析　由题意可知，集合是空集，即方程x2+x+a=0无解，
则Δ=1-4a<0，解得a>
所以实数a的取值范围是.
4.已知集合A={x|0答案　[2，+∞)
解析　∵B A，
∴利用数轴分析法(如图)，可知a≥2.
课时对点练
[分值：100分]
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分
1.下列各选项中，表示M N的是(　　)
答案　C
解析　由M N知，表示集合M的图形应全都在表示集合N的图形中.
2.(多选)已知集合A={0，1}，则下列式子正确的是 (　　)
A.0∈A
B.{1}∈A
C. A
D.{0，1} A
答案　ACD
解析　∵{1} A，∴B项错误，其余均正确.
3.(多选)已知集合A={2，-1}，集合B={m2-m，-1}，若A B且B A，则实数m等于(　　)
A.2 B.-1 C.-2 D.4
答案　AB
解析　∵A B且B A，∴A=B，
∴m2-m=2，解得m=2或m=-1.
4.已知集合P={1，2，3，4，5}，Q={y|y=x+1，x∈P}，那么集合M={2，3，4}与Q的关系是(　　)
A.MQ
B.M，Q互不包含
C.QM
D.Q=M
答案　A
解析　∵集合P={1，2，3，4，5}，Q={y|y=x+1，x∈P}={2，3，4，5，6}，又集合M={2，3，4}，
∴MQ.
5.已知集合A={x，0}，B={y，0，1}，其中x，y∈{0，1，2，3，4，5}，且A B.满足以上条件的全部有序数对(x，y)的个数为(　　)
A.6 B.8 C.20 D.36
答案　B
解析　依题意，当x=1时，y=2，3，4，5，有序数对(x，y)有4个.
当x=y时，x=y=2，3，4，5，有序数对(x，y)有4个.所以全部有序数对(x，y)的个数为8.
6.已知集合A={x∈R|x2-3x+2=0}，B={x∈N|0A.1 B.2 C.3 D.4
答案　D
解析　由题意知，A={1，2}，B={1，2，3，4}.又A C B，则集合C可能为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共4个.
7.(5分)集合A=的真子集个数为　　　　，非空真子集个数为　　　　.
答案　31　30
解析　因为∈N，x∈N，所以x=5，4，3，2，0，
所以集合A={0，2，3，4，5}，所以集合A的真子集个数为25-1=31，非空真子集个数为25-2=30.
8.(5分)已知集合A={x|x<-1或x>2}，B={x|4x+p<0}，若B A，则实数p的取值范围是　　　　.
答案　{p|p≥4}
解析　集合A={x|x<-1或x>2}，
B={x|4x+p<0}=
若B A，则-≤-1，即p≥4，
则实数p的取值范围是{p|p≥4}.
9.(10分)判断下列两个集合之间的关系：
(1)A={x|x<0}，B={x|x<1}；(2分)
(2)A={x|x=3k，k∈N}，B={x|x=6z，z∈N}；(4分)
(3)A={x∈N+|x是4与10的公倍数}，B={x|x=20m，m∈N+}.(4分)
解　(1)AB.
(2)A={x|x=3k，k∈N}是由自然数中3 的倍数构成的集合，B={x|x=6z，z∈N} 是由自然数中6的倍数构成的集合，6的倍数一定是3的倍数，但3的倍数不一定是6的倍数，∴BA.
(3)4和10的公倍数是20的倍数，因而A={x∈N+|x是4与10的公倍数}={x∈N+|x是20的倍数}={x|x=20m，m∈N+}=B.
10.(11分)已知集合A={x|x2-5x+6=0}，B={x|mx+1=0}，且B A.
(1)求集合A的所有非空子集；(5分)
(2)求实数m的值组成的集合.(6分)
解　(1)A={x|x2-5x+6=0}={2，3}，
所以集合A的所有非空子集为{2}，{3}，{2，3}.
(2)由已知得B A={2，3}，
①若B= ，则m=0，满足条件.
②若B≠ ，当2∈B时，得m=-；
当3∈B时，得m=-.
故所求的集合为.
11.已知集合A={a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和等于9，则a1+a2+a3等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.6
答案　C
解析　集合A={a1，a2，a3}的所有非空真子集有：{a1}，{a1，a2}，{a1，a3}，{a2}，{a2，a3}，{a3}，
故3(a1+a2+a3)=9，即a1+a2+a3=3.
12.已知集合M=N=P=则集合M，N，P的关系为(　　)
A.M=NP B.MN =P
C.MNP D.NPM
答案　B
解析　因为M=
N=
P=所以MN=P.
13.(5分)已知集合A={x|x<-1或x>4}，B={x|2a≤x≤a+3}，若BA，则实数a的取值范围为　　　　　　　　　　.
答案　{a|a<-4或a>2}
解析　①当B= 时，2a>a+3，即a>3，显然满足题意；②当B≠ 时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得或
解得a<-4或2综上可得，实数a的取值范围是{a|a<-4或a>2}.
14.(5分)若集合A={x|(a-1)x2+4x-2=0}有且仅有两个子集，则实数a的值是　　　　.
答案　±1
解析　因为集合A={x|(a-1)x2+4x-2=0}有且仅有两个子集，
所以集合A中只含有1个元素.
当a=1时，A={x|4x-2=0}=符合题意；
当a≠1时，要使集合A中只有一个元素，只需Δ=42-4(a-1)×(-2)=0，解得a=-1，
综上所述， 实数a的值是1或-1.
15.集合M={x|x=5k-2，k∈Z}，P={x|x=5n+3，n∈Z}，S={x|x=10m+3，m∈Z}的关系是(　　)
A.M S=P B.S=P M
C.S P=M D.P=M S
答案　C
解析　任取a∈M，则a=5k1-2=5(k1-1)+3，k1∈Z，
所以a∈P，所以M P，
任取b∈P，则b=5n1+3=5(n1+1)-2，n1∈Z，
所以b∈M，所以P M，
所以M=P，
任取c∈S，则c=10m1+3=5·(2m1)+3，m1∈Z，
所以c∈P，所以S P，
又8∈P，8 S，所以S≠P，
所以S P=M.
16.(12分)已知三个集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+a-1=0}，C={x|x2-bx+2=0}，同时满足BA，C A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由.
解　由题意可知A={x|x2-3x+2=0}={1，2}，
B={x|x2-ax+a-1=0}
={x|(x-1)[x-(a-1)]=0}，
∴1∈B.又BA，∴a-1=1，即a=2.
∵C={x|x2-bx+2=0}，且C A，
∴C= 或{1}或{2}或{1，2}.
当C={1，2}时，b=3；
当C={1}或{2}时，Δ=b2-8=0，
即b=±2
此时x=±与C={1}或{2}矛盾，故舍去；
当C= 时，Δ=b2-8<0，
即-2综上可知，存在a=2，b=3或-2

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