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浙教版2025-2026学年七年级上数学第6章 图形的初步知识 单元培优卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．将如图所示的平面图形绕轴旋转一周，得到的立体图形是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，已知在同一平面内的三点，，，按下列语句画图：画直线；画射线；连接，则画图正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，某同学用直尺画数轴，数轴上点A，B分别在直尺的1cm，9cm处，若点A对应-2，直尺的0刻度位置对应-4，则线段AB中点对应的数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．0
4．在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（　　）
①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；③把弯曲的公路改直，就能缩短路程；④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上.
A． B． C． D．
5．如图，C是线段AB的中点，点D在线段AC上，则下列等式不一定成立的是（　　）
A．AD+BD=AB B．AD+CD=CB C． D．AC=3AD
6．如图．已知O是直线AB上一点，∠1＝50°，OD平分∠BOC，则∠2的度数是（　　）
A．25° B．50° C．65° D．70°
7．点C在射线AB上，若AB=1，BC=3AB，M为AC的中点，则BM为（　　）
A．0.5 B．1 C．2 D．3
8．若与互补，且，则下列表示的余角的式子中：；；； 正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，O是直线上一点，过O作任意射线，平分，平分，则的度数是（　　）
A． B． C． D．不能确定
10．如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，下列结论：①；②；③与互为补角；④；其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．③④ C．②③ D．②③④
（第9题） （第10题） （第11题） （第13题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，小明到小颖家有四条路，小明想尽快到小颖家，他选择走第②条路，其中的道理是　 　．
12．若 则 　 　(填“>”“=”或“<”)∠B.
13．如图所示，点是线段上一点，点、点分别是、中点，若线段长为，则线段长为　 　．
14．如图，点O与量角器中心重合，与零刻度线叠合，与量角器刻度线叠合，是的角平分线，那么　 　．
15．已知线段，延长AB至点C，使，反向延长AC至点D，使，则CD的长为　 　．
16．长方形纸片上有一数轴，剪下6个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是　 　．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．计算．
（1）； （2）；
（3）； （4）．
18．按照下列要求解题．
（1）如图，读下列语句，按要求作出图形（不写作法）
①作射线，作直线；
②在射线方向上截取点E，使；
（2）在（1）②的条件下，若，求的长．
19．如图，直线，相交于点，．
（1）若，判断与的位置关系；
（2）若，求的度数．
20．如图，点E是线段的中点，C是线段上一点，.
（1）若F为的中点，且，求的长；
（2）若，求的长.
21．已知∠AOB=α，过点O任作一射线OC，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
（1）如图，当OC在∠AOB内部时，试探寻∠MON与α的关系；
（2）当OC在∠AOB外部时，其它条件不变，上述关系是否成立？画出相应图形，并说明理由．
22．数轴上，两个点对应的数分别是，，一般地，把称为点与点之间的距离，并记作．
如图：数轴上，两个点对应的数分别是，，且．
（1）求．
（2）点为数轴上一点，当时，求点所对应的数．
（3）直接写出点对应的数为多少时，．
23．欧拉（，1707年1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献.他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数、棱数、面数之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式.
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形
顶点数 4 　 　 　 　 　 　
棱数 6 　 　 　 　 　 　
面数 4 　 　 　 　 　 　
（2）分析表中的数据，请写出、、之间的等量关系为：　 　；一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是　 　；
（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个顶点，每个顶点处都有3条棱.请问该多面体表面三角形与八边形的个数之和是多少？
24．如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足︱a+3︱+︱ c-5 ︱ =0
（1）a=　 　，b=　 　，c=　 　．
（2）如果点P表示的数为x，当P点到B、C两点的距离之和为8时，x=　 　
（3）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，则AB=　 　，BC=　 　．（用含t的代数式表示）
（4）3BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变 若变化，请说明理由；若不变，请求其值。
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浙教版2025-2026学年七年级上数学第6章 图形的初步知识 单元培优卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．将如图所示的平面图形绕轴旋转一周，得到的立体图形是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将平面
绕旋转轴旋转一周可得到
故答案为：C.
2．如图，已知在同一平面内的三点，，，按下列语句画图：画直线；画射线；连接，则画图正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 直线PM没有端点，并可以向线段PM的两端无限延伸；
射线PN是以点为P端点，并沿着PN的方向无限延伸；
线段MN有两个端点，直接连接点M，N即可.
故答案为：A.
3．如图，某同学用直尺画数轴，数轴上点A，B分别在直尺的1cm，9cm处，若点A对应-2，直尺的0刻度位置对应-4，则线段AB中点对应的数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．0
【答案】C
【解析】由题意可得线段AB的长度为：设AB的中点为E，则又因为点A对应-2，直尺的0刻度位置对应-4 ，则每增加1cm有理数增加2，因为点A对应-2 ，所以处表示的数为：
故答案为：C.
4．在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（　　）
①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；③把弯曲的公路改直，就能缩短路程；④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释；
②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，可以用基本事实“无数个点组成线”来解释；
③把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释；
④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释.
故答案为：C.
5．如图，C是线段AB的中点，点D在线段AC上，则下列等式不一定成立的是（　　）
A．AD+BD=AB B．AD+CD=CB C． D．AC=3AD
【答案】D
【解析】A、有数轴可知，AD+BD=AB，正确，不符合题意；
B、点C是AB的中点，AC=BC=AD+CD，正确，不符合题意；
C、点C是AB的中点， ，正确，不符合题意；
D、不能判断，符合题意.
故答案为：D.
6．如图．已知O是直线AB上一点，∠1＝50°，OD平分∠BOC，则∠2的度数是（　　）
A．25° B．50° C．65° D．70°
【答案】C
【解析】∵∠1=50°，
所以∠BOC=180°-∠1=130°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠2=∠BOC=65°，
故答案为：C.
7．点C在射线AB上，若AB=1，BC=3AB，M为AC的中点，则BM为（　　）
A．0.5 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】∵AB=1，BC=3AB，
∴BC=3，
∴AC=AB+BC=1+3=4，
∵M为AC的中点，
∴AM= AB= ×4=2，
∴BM=AM-AB=2-1=1.
故答案为：B.
8．若与互补，且，则下列表示的余角的式子中：；；； 正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵与互补，
∴，
∴，，故③错误；
∴的余角为，故①正确；
，故②正确；
，故④正确，
综上 ，正确的有①②④.
故答案为：B.
9．如图，O是直线上一点，过O作任意射线，平分，平分，则的度数是（　　）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【解析】因为OC平分∠AOM，OD平分∠BOM，所以∠MOC=∠AOM，∠MOD=∠BOM，∠COD=∠MOC+∠MOD=∠AOM+1/2∠BOM=（∠AOM+∠BOM）=×180°=90°，
故答案为：B.
10．如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，下列结论：①；②；③与互为补角；④；其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．③④ C．②③ D．②③④
【答案】A
【解析】∵OF平分∠AOD，OG平分∠AOC，
∴∠AOG=∠AOC， AOF=∠AOD，
∴∠GOF=∠AOG+∠AOF＝∠AOC+∠AOD=∠COD=×90°=45°，
∴①正确；
∵∠DOC＝∠GOE＝90°，
∴∠AOE＝135°∠AOD，
∴2∠AOE＝270°﹣∠AOD，
∴2∠AOE﹣∠BOD＝90°，
∴②正确；
∵∠DOC＝∠GOE＝90°，
∴∠EOD+∠COG＝180°，
∴∠EOD与∠COG互为补角.
∴③正确；
∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOD，
∴∠DOF+∠COG＝45°，
∵OE平分∠BOC，OG平分∠AOC，
∴∠BOE+∠COG＝90°，
∴∠BOE﹣∠DOF＝45°；
∴④正确．
综上所述，正确的有②③④．
故答案为：A．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，小明到小颖家有四条路，小明想尽快到小颖家，他选择走第②条路，其中的道理是　 　．
【答案】两点之间线段最短
【解析】他选择走第②条路，其中的道理是两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短．
12．若 则 　 　(填“>”“=”或“<”)∠B.
【答案】<
【解析】因为，所以，即
故答案为： .
13．如图所示，点是线段上一点，点、点分别是、中点，若线段长为，则线段长为　 　．
【答案】5
【解析】∵点 D是AC 的中点，
∴DC=AC；
又∵点E是CB 的中点
∴ CE=CB；
∵DE=DC+CE=(AC+CB)=AB，
∴ DE=×10=5.
答案为：5。
14．如图，点O与量角器中心重合，与零刻度线叠合，与量角器刻度线叠合，是的角平分线，那么　 　．
【答案】
【解析】由题意得，
是的角平分线，
故答案为：
15．已知线段，延长AB至点C，使，反向延长AC至点D，使，则CD的长为　 　．
【答案】12
【解析】如图所示：
∵，AB=6，
∴BC=2，
∴AC=AB+BC=6+2=8，
∴，
∴CD=AD+AC=4+8=12，
故答案为：12.
16．长方形纸片上有一数轴，剪下6个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是　 　．
【答案】或2或
【解析】三条线段的长度之比为，设三条线段的长分别是、、，
到5的距离是5-（-1）=6，，解得，
三条线段的长分别为，，3，
①当时，此时A点是-1，B点就是，折痕点表示的数是；
②当时，此时A点是-1，B点就是，折痕点表示的数是；
③当时，此时A点是-1，B点就是，折痕点表示的数是；
综上所述，折痕处对应的点表示的数可能或2或．
故答案为：或2或．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．计算．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
18．按照下列要求解题．
（1）如图，读下列语句，按要求作出图形（不写作法）
①作射线，作直线；
②在射线方向上截取点E，使；
（2）在（1）②的条件下，若，求的长．
【答案】解：（1）①射线，直线如图所示：
②在射线方向上截取点E，使，如图所示：
（2）∵，，
∴．
19．如图，直线，相交于点，．
（1）若，判断与的位置关系；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：．理由如下：
因为，所以，
所以．
又因为，所以，
即，所以；
（2）解：由（1）知，
因为，所以，
所以，
所以，
所以．
20．如图，点E是线段的中点，C是线段上一点，.
（1）若F为的中点，且，求的长；
（2）若，求的长.
【答案】（1）解：∵，∴
∵点E是线段的中点，
∴，
∵F为的中点，
∴
∴，
∴；
（2）∵，∴设，则，
∴，
∵点E是线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．已知∠AOB=α，过点O任作一射线OC，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
（1）如图，当OC在∠AOB内部时，试探寻∠MON与α的关系；
（2）当OC在∠AOB外部时，其它条件不变，上述关系是否成立？画出相应图形，并说明理由．
【答案】（1）解：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠NOC＝，∠COM＝∠COA．
∵∠CON+∠COM＝∠MON，
∴∠MON＝（∠BOC+∠AOC）＝α；
（2）解：如图：
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC＝（∠AOB+∠BOC），∠CON＝BOC．
∵∠MON+∠CON＝∠MOC，
∴ ∠MON＝∠MOC-∠CON
＝（AOB+∠BOC）-∠BOC
＝∠AOB
＝α．
22．数轴上，两个点对应的数分别是，，一般地，把称为点与点之间的距离，并记作．
如图：数轴上，两个点对应的数分别是，，且．
（1）求．
（2）点为数轴上一点，当时，求点所对应的数．
（3）直接写出点对应的数为多少时，．
【答案】（1）解：由题知：，，，
（2）解：设点所对应的数为，则：，解得：．
对应的数为3或15．
（3）解：3或15
【解析】（3）设点M所对应的数为n，
∵，
∴|n-（-3）|=2×|n-6|，
解得：n=3或n=15，
∴点M表示的数为3或15，
故答案为：3或15.
23．欧拉（，1707年1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献.他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数、棱数、面数之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式.
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形
顶点数 4 　 　 　 　 　 　
棱数 6 　 　 　 　 　 　
面数 4 　 　 　 　 　 　
（2）分析表中的数据，请写出、、之间的等量关系为：　 　；一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是　 　；
（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个顶点，每个顶点处都有3条棱.请问该多面体表面三角形与八边形的个数之和是多少？
【答案】（1）6；9；5；8；12；6；6；12；8
（2）；20
（3）
【解析】（1）解：依题意，三棱柱的顶点数是6，棱数是9，面数是5；
正方体的顶点数是8，棱数是12，面数是6；
正八面体的顶点数是6，棱数是12，面数是8；故答案为：6，9，5；8，12，6；6，12，8；
（2）解：分析表中的数据，能发现、、之间的关系为：，
，，，，，故答案为：，20；
（3）解：依题意，设该多面体表面三角形的个数为个，八边形的个数为个，
有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，共有（条，
，解得．．∴该多面体表面三角形与八边形的个数之和是．
24．如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足︱a+3︱+︱ c-5 ︱ =0
（1）a=　 　，b=　 　，c=　 　．
（2）如果点P表示的数为x，当P点到B、C两点的距离之和为8时，x=　 　
（3）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，则AB=　 　，BC=　 　．（用含t的代数式表示）
（4）3BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变 若变化，请说明理由；若不变，请求其值。
【答案】（1）-3；-1；5
（2）-2或6
（3）3t+2；t+6
（4）解：
∴3BC-AB的值为定值16．
【解析】（1）∵︱a+3︱+︱c-5︱=0，且︱a+3︱≥0，︱c-5︱≥0，
∴︱a+3︱=0，︱c-5︱=0，
∴a+3=0， c-5=0，
∴a=-3， c=5.
∵b是最大的负整数，
∴b=-1，
故答案为：-3；-1；5.
(2)若点P在点B的左侧，当P点到B、C两点的距离之和为8 ，
∴5-x+(-1-x)=8，
解得，x=-2，
若点P在点C的右侧，
当P点到B、C两点的距离之和为8 ，
∴x-5+x-(-1)=8，
解得，x=6.
综上，x=-2或6.
故答案为：-2或6.
(3) t秒钟过后，点A表示的数为-t-3，点B表示的数为2t-1，点C表示的数为3t+5，
∴AB=(2t-1)-(-t-3)=3t+2，BC=(3t+5)-(2t-1)=t+6.
故答案为： 3t+2， t+6.
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