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第02讲 整式与因式分解
考点展示·课标透视
中考考点 新课标要求
列代数式 能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示
代数式求值 将具体数代入代数式进行计算
整式的加减 1. 了解整数指数罪的意义和基本性质；2. 理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则；3. 能进行简单的整式加减乘除运算；4. 理解乘法公式，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理；5.灵活运用多种方法化简代数式.
幂的运算
整式的乘除
整式的混合运算
因式分解 能用提公因式法、公式法(直接利用公或不超过二次)进行因式分解(指数为正整数).
知识导航·学法指引
分类研究·深度理解
考点一 代数式
1. 列代数式
定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，这就是列代数式.
代数式的书写要求：
1）数字与字母、字母与字母相乘，通常把乘号写成“·”或省略不写；数与数相乘必须写乘号.
2）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写.
3）除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数.
4）若代数式的最后结果含有加、减运算，则要将整个式子用括号括起来，再写单位.
2. 代数式的值
定义：根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫做代数式的值.
求代数式的值的步骤：
1）代入：将指定的数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号、原来的数字和运算顺序都不能改变，同时对原来省略的乘号要进行还原；
2）计算：按照代数式指定的运算关系计算出结果，运算时，要分清运算种类及运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号要先算括号里面的.
【典例1】当a=3，b=﹣1时，代数式0.5（a﹣2b）的值是（　　）
A．1 B．0.5 C．﹣2.5 D．2.5
【解答】解：当a=3，b=﹣1时，
代数式0.5（a﹣2b）=0.5×（3+2）=2.5，
故选：D
【典例2】随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌的电脑按原价降低 元后又降 ，现售价为 元，那么该电脑的原售价为（ ）
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
【分析】根据两次降价前与降价后的关系列代数式表示数量关系即可。
【解析】【解答】由题意可知，降价20%后，售价为b，即降价20%前为b÷(1-20%)，即 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ， 降价20%前又按原价降了a元，所以原价为()元. 故答案为：B。
【典例3】农户承包果树若干亩，今年投资24400元，收获水果总产量为20000千克．此水果可以在果园直接销售，也可以运去市场销售．已知在果园直接销售每千克售b元．在市场上每千克售a元（b＜a），且农户将水果拉到市场出售平均每天出售1000千克，需2人帮忙，每人每天付工资100元，农用车运费及其他各项税费平均每天200元．
（1）分别用含a，b的代数式表示两种方式出售水果的收入．
（2）若a=4.5元，b=4元，且两种出售水果方式都在相同的时间内售完全部水果，请你通过计算说明选择哪种出售方式较好．
（3）该农户加强果园管理，力争到明年纯收入达到72000元，而且该农户采用了（2）中较好的出售方式出售，那么纯收入增长率是多少（纯收入=总收入﹣总支出）？
【解答】解：（1）在果园直接出售收入为20000b元；
将这批水果拉到市场上出售收入为：
20000a﹣×2×100﹣×200
=20000a﹣4000﹣4000
=20000a﹣8000（元）；
（2）当a=4.5时，市场收入为20000a﹣8000=20000×4.5﹣8000=82000（元）．
当b=4时，果园收入为20000b=20000×4=80000（元）．
因为82000＞80000，所以应选择在市场出售；
（3）因为今年的纯收入为82000﹣24400=57600（元），
×100%=25%，
所以增长率为25%．
考点二 整式的相关概念
1. 单项式
单项式的定义：由数字与字母、字母与字母的乘积组成的式子叫单项式.
单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数.
注意：圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数，而不能当成字母；
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.
注意：单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关.
例如：单项式的次数是2＋3＋4=9而不是14.
2. 多项式
多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式.
多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项.
多项式的次数：一个多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数.
注意：1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数；
2）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式.
升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．
3. 整式
定义：单项式与多项式统称为整式.
【典例1】（2025·湖北）下列运算的结果为m6的是（　　）
A．m3+m3 B．m2 m3 C．（m2）3 D．m4÷m2
【解答】解：A、m3+m3＝2m3，故此选项不符合题意；
B、m2 m3＝m5，故此选项不符合题意；
C、（m2）3＝m6，故此选项符合题意；
D、m4÷m2＝m2，故此选项不符合题意；
故选：C．
【典例2】. （2025·浙江模拟）化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据积的乘方以及同底数幂的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查了积的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握积的乘方以及同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．
【典例3】（2023·江苏扬州·统考中考真题）若，则括号内应填的单项式是( )
A．a B． C． D．
【答案】A
【分析】将已知条件中的乘法运算可以转化为单项式除以单项式进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了整式除法的应用，弄清被除式、除式和商之间的关系是解题的关键．
考点三 整式的运算
1. 同类项
定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.
判断同类项的标准：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，缺一不可.
2. 合并同类项
定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.
法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变.（简称：一相加两不变）
3. 去括号与添括号
添（去）括号法则：括号外是“+”，添(去)括号不变号；括号外是“-”，添(去)括号都变号.
【补充】去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误.
4. 整式的加减
运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
【补充说明】整式加减实际上就是：去括号、合并同类项；
5. 幂的运算
幂的运算法则中底数a的规定：底数a可以是单项式，也可以是多项式.
1）同底数幂相乘底数不变，指数相加，即（m，n都是整数）
2）幂的乘方底数不变，指数相乘，即（m，n都是整数）
注意：幂的乘方法则的条件是“幂”的乘方，结论是“底数不变，指数相乘”．这里的“底数不变”是指“幂”的底数“a”不变．例如：，其中，“幂”的底数是“a”，而不是“”，指数相乘是指“3×2”．
3）积的乘方积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即（n为整数）
4）同底数幂的除法底数不变，指数相减，即（a≠0，m，n都为整数）
5）零指数幂
任何不等于0的数的0次幂都等于1，即（a≠0）.
6. 整式的乘除
1）单项式乘单项式运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.
实质：乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
2）单项式乘多项式运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即.
实质：利用乘法的分配律将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式.
3）多项式乘多项式运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即.
【易错易混】
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；
②多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
4）单项式除以单项式运算法则：一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
5）多项式除以单项式
运算法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
实质：把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式.
7. 乘法公式
1）平方差公式
平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即：
特点：等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；等号右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与相反项的平方差.
2）平方差公式的推导
①用多项式的乘法推导平方差公式
②通过面积法推导平方差公式：
如图1所示，左侧涂色部分的面积为，右侧涂色部分的面积为，所以可以得到.
【补充】常见验证平方差公式的几何图形
3）完全平方公式
完全平方公式：两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的两倍.即.
特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.
口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央，中间符号同前方.
完全平方式的常见变形（①-⑤基础必须掌握）：
① ②
③ ④ ⑤
4）完全平方公式的推导
①用多项式的乘法推导完全平方公式：
②通过面积法推导完全平方公式：
①如图甲所示是一个边长为a+b的正方形，面积为，它的面积还可以看成是由两个小正方形与两个长方形的和，即，所以可以得到；
②如图乙所示，边长为a-b的小正方形的面积是，它的面积还可以看成是由大的正方形面积减去两个小的长方形面积，即，所以可以得到.
8. 整式的混合运算
定义：含有整式的加减、乘除及乘方的多种运算叫做整式的混合运算.
运算顺序: 先乘方，再乘除，后加减，有括号时，先算括号里的，去括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号.
【典例1】（ 2025·广西）（2）化简：a（a﹣1）+a．
【分析】（2）先根据单项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可．
【解答】解：（2）a（a﹣1）+a＝a2﹣a+a＝a2．
【点评】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【典例2】（ 2025·黑龙江龙东）下列运算正确的是（　　）
A．a4 a3＝a6 B．2a+3b＝6ab
C．（﹣2a2b3）3＝﹣8a6b9 D．（﹣a+b）（a+b）＝a2﹣b2
【分析】利用平方差公式，合并同类项，同底数幂乘法，积的乘方法则逐项判断即可．
【解答】解：a4 a3＝a7，则A不符合题意，
2a与3b不是同类项，无法合并，则B不符合题意，
（﹣2a2b3）3＝﹣8a6b9，则C符合题意，
（﹣a+b）（a+b）＝b2﹣a2，则D不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查平方差公式，合并同类项，同底数幂乘法，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【典例3】先化简，再求值：（x﹣2y）2+x（5y﹣x）﹣4y2，其中x，y．
【考点】整式的混合运算—化简求值；分母有理化．.
【专题】整式；运算能力．
【答案】xy，1．
【分析】直接利用整式的混合运算法则化简进而合并得出答案．
【解答】解：原式＝x2+4y2﹣4xy﹣x2+5xy﹣4y2
＝xy，
当x，y时，
原式＝xy1．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确合并同类项是解题关键．
考点四 因式分解
1. 因式分解
定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
【补充说明】
1）因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可.
2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算，且因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
2. 公因式
定义：多项式的各项中都含有相同的因式，我们把这个相同的因式就叫做公因式.
注意：公因式可以是一个单项式，也可以是一个多项式.
3. 提公因式法分解因式
定义：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，将多项式写成公因式与另一个多项式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫提公因式法，即：.
实质：乘法分配律的逆用.
关键：准确找出多项式各项的公因式.
4. 公因式法分解因式
定义：运用平方差公式、完全平方公式将一个多项式分解因式的方法叫作公式法.
逆用平方差法分解因式：
逆用完全平方公式分解因式：
5. 因式分解的一般步骤：
【典例1】（ 2025·北京）分解因式：7m2﹣28＝　7（m+2）（m﹣2）　 ．
【分析】提公因式后利用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：原式＝7（m2﹣4）
＝7（m+2）（m﹣2），
故答案为：7（m+2）（m﹣2）．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．
【典例2】（ 2025·广西）因式分解：a2﹣1＝（　　）
A．（a+1）（a﹣1） B．a（a+1）
C．（a+1）2 D．（a﹣1）2
【分析】根据平方差公式进行计算即可．
【解答】解：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）．
故答案为：（a+1）（a﹣1）．
故选：A．
【点评】本题考查公式法分解因式，掌握平方差公式是正确解答的关键．
【典例3】（2025·浙江模拟） 因式分解：_____．
【答案】．
【解析】
【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：．
专项训练·深度理解
专项训练一：实数及其运算
（时间：60分钟，总分100分）
一、选择题（本题共10题，每题3分，共30分）
1. . （2025·浙江模拟）化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据积的乘方以及同底数幂的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查了积的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握积的乘方以及同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．
2. （2025·湖南）计算a3 a4的结果是（　　）
A．2a7 B．a7 C．2a4 D．a12
【解答】解：a3 a4＝a3+4＝a7．
故选：B．
3. （ 2025·甘肃）下列计算正确的是（　　）
A．2a2+3a2＝6a2 B．a6÷a2＝a3
C．（a2）3＝a5 D．（3a）2＝9a2
【解答】解：2a2+3a2＝5a2，则A不符合题意，
a6÷a2＝a4，则B不符合题意，
（a2）3＝a6，则C不符合题意，
（3a）2＝9a2，则D符合题意，
故选：D．
4. 下列各式运算结果为a5的是（　　）
A．a2+a3 B．a2 a3 C．a10÷a2 D．（a2）3
【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．.
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】利用同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a2与a3不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、a2 a3＝a5，故B符合题意；
C、a10÷a2＝x8，故C不符合题意；
D、（a2）3＝a6，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5. （2024 河南）计算（）3的结果是（　　）
A．a5 B．a6 C．aa+3 D．a3a
【分析】先根据乘方的意义把括号内的乘法写成乘方的形式，然后根据幂的乘方法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝（aa）3＝a3a，
故选：D．
【点评】本题主要考查了有理数的乘方，解题关键是熟练掌握乘方的意义和幂的乘方法则．
6. 如图，漠漠和嘉嘉做数学游戏：假设嘉嘉抽到牌的点数为x，漠漠猜中的结果为y，则y等于（ ）
A．2 B．3 C．6 D．x+2
【解析】根据题意得：（3x+6）÷3-x=y，
解得：y=2．
选A．
7. 如图①是边长为a的大正方形，减去一个边长为b的小正方形，沿虚线将剩余部分裁剪开，拼接成如图②所示的长方形，则下列等式可以表示图①和图②中阴影部分面积之间关系的是(　　)
A. (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 B. (a－b)2＝a2－2ab＋b2
C. (a＋b)2＝(a＋b)2－4ab D. (a＋b)(a－b)＝a2－b2
【解析】矩形的面积＝正方形的面积－空白部分的面积，则(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
8. 用四个完全一样的矩形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是121，小正方形的面积是9，若用a，b分别表示矩形的长和宽(a＞b)，则下列关系中不正确的是(　　)
A.a＋b＝11 B. a－b＝3 C. ab＝28 D. a2＋b2＝121
【解析】由题意得，大正方形的边长为11，小正方形的边长为3，∴a＋b＝11，a－b＝3，∴a＝7，b＝4，∴ab＝28，a2＋b2＝65，故选D.
9. 设有边长分别为a和b（a＞b）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】多项式乘多项式．.
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】C
【分析】用长乘宽，列出算式，根据多项式乘多项式的运算法则展开，然后根据A、B、C类卡片的形状可得答案．
【解答】解：∵（3a+b）（2a+2b）
＝6a2+6ab+2ab+2b2
＝6a2+8ab+2b2，
∴若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为8张．
故选：C．
【点评】本题考查了多项式乘多项式在几何图形问题中的应用，数形结合并明确多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
10. 对于任何一个数，我们规定符号的意义是＝ad﹣bc，按照这个规定计算的结果是（　　）
A．﹣2x﹣1 B．﹣2x+1 C．2x+1 D．2x﹣1
【解答】解：
＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣2）
＝x2﹣1﹣x2+2x
＝2x﹣1，
故选：D．
二、填空题（本题共6题，每题3分，共18分）
11. （ 2025·甘肃）因式分解：x2﹣6x+9＝　（x﹣3）2　 ．
【解答】解：x2﹣6x+9＝（x﹣3）2．
12. （ 2025·河北）计算：2a2+4a2＝　6a2　 ．
【解答】解：2a2+4a2＝（2+4）a2＝6a2．
故答案为：6a2．
13. （2025·湖南）因式分解：a2+13a＝ 　a（a+13）　 ．
【解答】解：a2+13a＝a（a+13），
故答案为：a（a+13）．
14. 已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是 　3　．
【考点】平方差公式；代数式求值．.
【专题】整式；运算能力．
【答案】3．
【分析】观察已知和所求可知，4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n），将代数式的值代入即可得出结论．
【解答】解：∵2m+n＝3，2m﹣n＝1，
∴4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n）＝3×1＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查代数式求值，平方差公式的应用，熟知平方差公式的结构是解题关键．
15. 如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，已知m＞n且满足am﹣bn＝2，an+bm＝4．
（1）若a＝3，b＝4，则图1阴影部分的面积是 　25　；
（2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是 　　．
【考点】整式的混合运算．.
【专题】整式；几何直观；运算能力．
【答案】（1）25；（2）．
【分析】（1）根据正方形的面积公式列得代数式，然后代入数值计算即可；
（2）结合已知条件可得a2+b2＝3，利用梯形面积公式可得（m+n）2＝10，然后将题干中的两个等式分别平方再相加并整理可得（a2+b2）（m2+n2）＝20，继而求得m2+n2，再结合（m+n）2＝10可求得mn，根据正方形性质可得图2中阴影部分是一个直角三角形，利用勾股定理求得其两直角边长，再根据三角形面积公式可得其面积为mn．
【解答】解：（1）由题意可得图1阴影部分面积为：a2+b2，
∵a＝3，b＝4，
∴a2+b2＝32+42＝25，
故答案为：25；
（2）由题意可得a2+b2＝3，图2中四边形ABCD是直角梯形，
∵AB＝m，CD＝n，它的高为：（m+n），
∴（m+n）（m+n）＝5，
∴（m+n）2＝10，
∵am﹣bn＝2，an+bm＝4，
∴将两式分别平方并整理可得：a2m2﹣2abmn+b2n2＝4①，a2n2+2abmn+b2m2＝16②，
①+②整理得：（a2+b2）（m2+n2）＝20，
∵a2+b2＝3，∴m2+n2，
∵（m+n）2＝10，∴（m+n）2﹣（m2+n2）＝10，
整理得：2mn，即mn，
∵图2中阴影部分的三角形的其中两边是两正方形的对角线，
∴这两边构成的角为：45°+45°＝90°，
那么阴影部分的三角形为直角三角形，其两直角边的长分别为：m，n，
故阴影部分的面积为：mn＝mn，故答案为：．
【点评】本题考查整式运算的实际应用，（2）中将题干中的两个等式分别平方再相加并整理后得出（a2+b2）（m2+n2）＝20是解题的关键．
16. 有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，
对于方案一，小明是这样验证的：a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程分别为 ； 。
【解答】解：方案二：a2＋ab＋(a＋b)b＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，
方案三：a2＋2×＝a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.
三、解答题（本题共7题，共52分）
17. （6分）（1）（ 2025·河南）化简：（x+1）2﹣x（x+2）．
【解答】解：（1）原式＝x2+2x+1﹣（x2+2x）＝x2+2x+1﹣x2﹣2x＝1．
（2）先化简，再求值：（x+1）2+（2+x）（2﹣x）．
【分析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（x+1）2+（2+x）（2﹣x）
＝x2+2x+1+4﹣x2
＝2x+5，
【点评】本题考查了整式的化值，能熟记乘法公式是解此题的关键．
18. （6分）
（1）（2025·湖南）先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）+x（1﹣x），其中x＝6．
【解答】解：（x+2）（x﹣2）+x（1﹣x）
＝x2﹣4+x﹣x2
＝x﹣4，
当x＝6时，原式＝6﹣4＝2．
（2）（2025·浙江）化简求值：x（5﹣x）+x2+3，其中x＝2．
【解答】解：x（5﹣x）+x2+3
＝5x﹣x2+x2+3
＝5x+3，
当x＝2时，
原式＝5×2+3＝13．
19. （6分）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图所示（a＞1）．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如表2和表3，其面积分别为S1，S2．
表2
表3
（1）请用含a的式子分别表示S1，S2，当a＝2时，求S1+S2的值；
（2）比较S1与S2的大小，并说明理由．
【考点】多项式乘多项式．.
【专题】数与式；运算能力．
【答案】（1）S1＝a2+3a+2，S2＝5a+1，当a＝2时，S1+S2＝23；
（2）S1＞S2，理由见解析．
【分析】（1）根据图形，利用长方形的面积公式计算即可；
（2）利用作差法比较即可．
【解答】解：（1）由图可知S1＝（a+2）（a+1）＝a2+3a+2，S2＝（5a+1）×1＝5a+1，
当a＝2时，S1+S2＝4+6+2+10+1＝23；
（2）S1＞S2，
理由：∵S1﹣S2＝a2+3a+2﹣5a﹣1＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，
又∵a＞1，
∴（a﹣1）2＞0，
∴S1＞S2．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，关键是能列出整式或算式表示几何图形的面积．
20. （8分）在多项式的乘法公式中，完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2是其中重要的一个．
(1)请补全完全平方公式的推导过程：
(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)
＝a2＋________＋________＋b2
＝a2＋________＋b2
(2)如图，将边长为a＋b的正方形分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四部分，请你结合图形给出完全平方公式的几何解释；
(3)用完全平方公式求5982的值．
解：(1)ab，ab，2ab；
(2)边长为a＋b的正方形面积为a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2；
(3)5982
＝(600－2)2
＝6002－2×600×2＋22
＝360000－2400＋4
＝357604.
21. （8分）阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若ax=N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：x=logaN．比如指数式24=16可以转化为4=log216，对数式2=log525可以转化为52=25．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（M N）=logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：
设logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an
∴M N=am an=am+n，由对数的定义得m+n=loga（M N）
又∵m+n=logaM+logaN
∴loga（M N）=logaM+logaN
解决以下问题：
（1）将指数43=64转化为对数式　3=log464　；
（2）证明loga=logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）
（3）拓展运用：计算log32+log36﹣log34=　1　．
【分析】（1）根据题意可以把指数式43=64写成对数式；
（2）先设logaM=m，logaN=n，根据对数的定义可表示为指数式为：M=am，N=an，计算的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；
（3）根据公式：loga（M N）=logaM+logaN和loga=logaM﹣logaN的逆用，将所求式子表示为：log3（2×6÷4），计算可得结论．
【解答】解：（1）由题意可得，指数式43=64写成对数式为：3=log464，
故答案为：3=log464；
（2）设logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an，
∴==am﹣n，由对数的定义得m﹣n=loga，
又∵m﹣n=logaM﹣logaN，
∴loga=logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；
（3）log32+log36﹣log34，
=log3（2×6÷4），
=log33，
=1，
故答案为：1．
22. （8分）活中我们经常用到密码，例如支付宝支付时．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2﹣x﹣2可以因式分解为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x=29时，x﹣1=28，x+1=30，x+2=31，此时可以得到数字密码283031．
（1）根据上述方法，当x=15，y=5时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？
（2）已知一个直角三角形的周长是24，斜边长为11，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码（只需一个即可）．
【考点】因式分解的应用．
【分析】（1）先分解因式得到x3﹣xy2=x（x﹣y）（x+y），然后利用题中设计密码的方法写出所有可能的密码；
（2）利用勾股定理和周长得到x+y=13，x2+y2=121，再利用完全平方公式可计算出xy=24，然后与（1）小题的解决方法一样．
【解答】解：（1）x3﹣xy2=x（x﹣y）（x+y），
当x=15，y=5时，x﹣y=10，x+y=20，
可得数字密码是151020；也可以是152010；101520；102015，201510，201015；
（2）由题意得：解得xy=24，
而x3y+xy3=xy（x2+y2），
所以可得数字密码为24121．
【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题；考查了用类比的方法解决问题；（2）小题中计算出xy的值为解决问题的关键．
23. （10分）
我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图1所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征点，将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图2，图3，…
（1）观察以上图形并完成下表：
图形的名称 基本图的个数 特征点的个数
图1 1 7
图2 2 12
图3 3 17
图4 4 　22　
… … …
猜想：在图（n）中，特征点的个数为 　5n+2　（用n表示）；
（2）如图，将图（n）放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为（x1，2），则x1＝　　；图（2013）的对称中心的横坐标为 　2013　．
【考点】规律型：图形的变化类；规律型：点的坐标．.
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）观察图形，结合已知条件，得出将基本图每复制并平移一次，特征点增加5个，由此得出图4中特征点的个数为17+5＝22个，进一步猜想出：在图（n）中，特征点的个数为：7+5（n﹣1）＝5n+2；
（2）过点O1作O1M⊥y轴于点M，根据正六边形、等腰三角形的性质得出∠BO1M＝30°，再由余弦函数的定义求出O1M，即x1；然后结合图形分别得出图（2）、图（3）、图（4）的对称中心的横坐标，找到规律，进而得出图（2013）的对称中心的横坐标．
【解答】解：（1）由题意，可知图1中特征点有7个；
图2中特征点有12个，12＝7+5×1；
图3中特征点有17个，17＝7+5×2；
所以图4中特征点有7+5×3＝22个；
由以上猜想：在图（n）中，特征点的个数为：7+5（n﹣1）＝5n+2；
（2）如图，过点O1作O1M⊥y轴于点M，
又∵正六边形的中心角60°，O1C＝O1B＝O1A＝2，
∴∠BO1M＝30°，
∴O1M＝O1B cos∠BO1M＝2，
∴x1；
由题意，可得图（2）的对称中心的横坐标为2，
图（3）的对称中心的横坐标为3，
图（4）的对称中心的横坐标为4，
…
∴图（2013）的对称中心的横坐标为2013．
故答案为：22，5n+2；，2013．
【点评】本题借助正六边形考查了规律型：图形的变化类问题，难度适中．关键是通过观察、归纳与总结，得到其中的规律；（2）要注意求的是整个图形的对称中心的横坐标，而不是第2013个正六边形的对称中心的横坐标，这也是本题容易出错的地方．
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第02讲 整式与因式分解
考点展示·课标透视
中考考点 新课标要求
列代数式 能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示
代数式求值 将具体数代入代数式进行计算
整式的加减 1. 了解整数指数罪的意义和基本性质；2. 理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则；3. 能进行简单的整式加减乘除运算；4. 理解乘法公式，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理；5.灵活运用多种方法化简代数式.
幂的运算
整式的乘除
整式的混合运算
因式分解 能用提公因式法、公式法(直接利用公或不超过二次)进行因式分解(指数为正整数).
知识导航·学法指引
分类研究·深度理解
考点一 代数式
1. 列代数式
定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，这就是列代数式.
代数式的书写要求：
1）数字与字母、字母与字母相乘，通常把乘号写成“·”或省略不写；数与数相乘必须写乘号.
2）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写.
3）除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数.
4）若代数式的最后结果含有加、减运算，则要将整个式子用括号括起来，再写单位.
2. 代数式的值
定义：根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫做代数式的值.
求代数式的值的步骤：
1）代入：将指定的数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号、原来的数字和运算顺序都不能改变，同时对原来省略的乘号要进行还原；
2）计算：按照代数式指定的运算关系计算出结果，运算时，要分清运算种类及运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号要先算括号里面的.
【典例1】当a=3，b=﹣1时，代数式0.5（a﹣2b）的值是（　　）
A．1 B．0.5 C．﹣2.5 D．2.5
【典例2】随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌的电脑按原价降低 元后又降 ，现售价为 元，那么该电脑的原售价为（ ）
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
【典例3】农户承包果树若干亩，今年投资24400元，收获水果总产量为20000千克．此水果可以在果园直接销售，也可以运去市场销售．已知在果园直接销售每千克售b元．在市场上每千克售a元（b＜a），且农户将水果拉到市场出售平均每天出售1000千克，需2人帮忙，每人每天付工资100元，农用车运费及其他各项税费平均每天200元．
（1）分别用含a，b的代数式表示两种方式出售水果的收入．
（2）若a=4.5元，b=4元，且两种出售水果方式都在相同的时间内售完全部水果，请你通过计算说明选择哪种出售方式较好．
（3）该农户加强果园管理，力争到明年纯收入达到72000元，而且该农户采用了（2）中较好的出售方式出售，那么纯收入增长率是多少（纯收入=总收入﹣总支出）？
考点二 整式的相关概念
1. 单项式
单项式的定义：由数字与字母、字母与字母的乘积组成的式子叫单项式.
单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数.
注意：圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数，而不能当成字母；
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.
注意：单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关.
例如：单项式的次数是2＋3＋4=9而不是14.
2. 多项式
多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式.
多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项.
多项式的次数：一个多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数.
注意：1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数；
2）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式.
升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．
3. 整式
定义：单项式与多项式统称为整式.
【典例1】（2025·湖北）下列运算的结果为m6的是（　　）
A．m3+m3 B．m2 m3 C．（m2）3 D．m4÷m2
【典例2】. （2025·浙江模拟）化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【典例3】（2023·江苏扬州·统考中考真题）若，则括号内应填的单项式是( )
A．a B． C． D．
考点三 整式的运算
1. 同类项
定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.
判断同类项的标准：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，缺一不可.
2. 合并同类项
定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.
法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变.（简称：一相加两不变）
3. 去括号与添括号
添（去）括号法则：括号外是“+”，添(去)括号不变号；括号外是“-”，添(去)括号都变号.
【补充】去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误.
4. 整式的加减
运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
【补充说明】整式加减实际上就是：去括号、合并同类项；
5. 幂的运算
幂的运算法则中底数a的规定：底数a可以是单项式，也可以是多项式.
1）同底数幂相乘底数不变，指数相加，即（m，n都是整数）
2）幂的乘方底数不变，指数相乘，即（m，n都是整数）
注意：幂的乘方法则的条件是“幂”的乘方，结论是“底数不变，指数相乘”．这里的“底数不变”是指“幂”的底数“a”不变．例如：，其中，“幂”的底数是“a”，而不是“”，指数相乘是指“3×2”．
3）积的乘方积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即（n为整数）
4）同底数幂的除法底数不变，指数相减，即（a≠0，m，n都为整数）
5）零指数幂
任何不等于0的数的0次幂都等于1，即（a≠0）.
6. 整式的乘除
1）单项式乘单项式运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.
实质：乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
2）单项式乘多项式运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即.
实质：利用乘法的分配律将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式.
3）多项式乘多项式运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即.
【易错易混】
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；
②多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
4）单项式除以单项式运算法则：一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
5）多项式除以单项式
运算法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
实质：把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式.
7. 乘法公式
1）平方差公式
平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即：
特点：等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；等号右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与相反项的平方差.
2）平方差公式的推导
①用多项式的乘法推导平方差公式
②通过面积法推导平方差公式：
如图1所示，左侧涂色部分的面积为，右侧涂色部分的面积为，所以可以得到.
【补充】常见验证平方差公式的几何图形
3）完全平方公式
完全平方公式：两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的两倍.即.
特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.
口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央，中间符号同前方.
完全平方式的常见变形（①-⑤基础必须掌握）：
① ②
③ ④ ⑤
4）完全平方公式的推导
①用多项式的乘法推导完全平方公式：
②通过面积法推导完全平方公式：
①如图甲所示是一个边长为a+b的正方形，面积为，它的面积还可以看成是由两个小正方形与两个长方形的和，即，所以可以得到；
②如图乙所示，边长为a-b的小正方形的面积是，它的面积还可以看成是由大的正方形面积减去两个小的长方形面积，即，所以可以得到.
8. 整式的混合运算
定义：含有整式的加减、乘除及乘方的多种运算叫做整式的混合运算.
运算顺序: 先乘方，再乘除，后加减，有括号时，先算括号里的，去括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号.
【典例1】（ 2025·广西）（2）化简：a（a﹣1）+a．
【典例2】（ 2025·黑龙江龙东）下列运算正确的是（　　）
A．a4 a3＝a6 B．2a+3b＝6ab
C．（﹣2a2b3）3＝﹣8a6b9 D．（﹣a+b）（a+b）＝a2﹣b2
【典例3】先化简，再求值：（x﹣2y）2+x（5y﹣x）﹣4y2，其中x，y．
考点四 因式分解
1. 因式分解
定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
【补充说明】
1）因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可.
2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算，且因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
2. 公因式
定义：多项式的各项中都含有相同的因式，我们把这个相同的因式就叫做公因式.
注意：公因式可以是一个单项式，也可以是一个多项式.
3. 提公因式法分解因式
定义：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，将多项式写成公因式与另一个多项式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫提公因式法，即：.
实质：乘法分配律的逆用.
关键：准确找出多项式各项的公因式.
4. 公因式法分解因式
定义：运用平方差公式、完全平方公式将一个多项式分解因式的方法叫作公式法.
逆用平方差法分解因式：
逆用完全平方公式分解因式：
5. 因式分解的一般步骤：
【典例1】（ 2025·北京）分解因式：7m2﹣28＝　 　 ．
【典例2】（ 2025·广西）因式分解：a2﹣1＝（　　）
A．（a+1）（a﹣1） B．a（a+1）
C．（a+1）2 D．（a﹣1）2
【典例3】（2025·浙江模拟） 因式分解：_____．
专项训练·深度理解
专项训练一：实数及其运算
（时间：60分钟，总分100分）
一、选择题（本题共10题，每题3分，共30分）
1. . （2025·浙江模拟）化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
2. （2025·湖南）计算a3 a4的结果是（　　）
A．2a7 B．a7 C．2a4 D．a12
3. （ 2025·甘肃）下列计算正确的是（　　）
A．2a2+3a2＝6a2 B．a6÷a2＝a3
C．（a2）3＝a5 D．（3a）2＝9a2
4. 下列各式运算结果为a5的是（　　）
A．a2+a3 B．a2 a3 C．a10÷a2 D．（a2）3
5. （2024 河南）计算（）3的结果是（　　）
A．a5 B．a6 C．aa+3 D．a3a
6. 如图，漠漠和嘉嘉做数学游戏：假设嘉嘉抽到牌的点数为x，漠漠猜中的结果为y，则y等于（ ）
A．2 B．3 C．6 D．x+2
7. 如图①是边长为a的大正方形，减去一个边长为b的小正方形，沿虚线将剩余部分裁剪开，拼接成如图②所示的长方形，则下列等式可以表示图①和图②中阴影部分面积之间关系的是(　　)
A. (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 B. (a－b)2＝a2－2ab＋b2
C. (a＋b)2＝(a＋b)2－4ab D. (a＋b)(a－b)＝a2－b2
8. 用四个完全一样的矩形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是121，小正方形的面积是9，若用a，b分别表示矩形的长和宽(a＞b)，则下列关系中不正确的是(　　)
A.a＋b＝11 B. a－b＝3 C. ab＝28 D. a2＋b2＝121
9. 设有边长分别为a和b（a＞b）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
10. 对于任何一个数，我们规定符号的意义是＝ad﹣bc，按照这个规定计算的结果是（　　）
A．﹣2x﹣1 B．﹣2x+1 C．2x+1 D．2x﹣1
二、填空题（本题共6题，每题3分，共18分）
11. （ 2025·甘肃）因式分解：x2﹣6x+9＝　 ．
12. （ 2025·河北）计算：2a2+4a2＝　 ．
13. （2025·湖南）因式分解：a2+13a＝ 　 　 ．
14. 已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是 　　．
15. 如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，已知m＞n且满足am﹣bn＝2，an+bm＝4．
（1）若a＝3，b＝4，则图1阴影部分的面积是 　 　；
（2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是 　　．
16. 有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，
对于方案一，小明是这样验证的：a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程分别为 ； 。
三、解答题（本题共7题，共52分）
17. （6分）（1）（ 2025·河南）化简：（x+1）2﹣x（x+2）．
（2）先化简，再求值：（x+1）2+（2+x）（2﹣x）．
18. （6分）
（1）（2025·湖南）先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）+x（1﹣x），其中x＝6．
（2）（2025·浙江）化简求值：x（5﹣x）+x2+3，其中x＝2．
19. （6分）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图所示（a＞1）．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如表2和表3，其面积分别为S1，S2．
表2
表3
（1）请用含a的式子分别表示S1，S2，当a＝2时，求S1+S2的值；
（2）比较S1与S2的大小，并说明理由．
20. （8分）在多项式的乘法公式中，完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2是其中重要的一个．
(1)请补全完全平方公式的推导过程：
(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)
＝a2＋________＋________＋b2
＝a2＋________＋b2
(2)如图，将边长为a＋b的正方形分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四部分，请你结合图形给出完全平方公式的几何解释；
(3)用完全平方公式求5982的值．
21. （8分）阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若ax=N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：x=logaN．比如指数式24=16可以转化为4=log216，对数式2=log525可以转化为52=25．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（M N）=logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：
设logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an
∴M N=am an=am+n，由对数的定义得m+n=loga（M N）
又∵m+n=logaM+logaN
∴loga（M N）=logaM+logaN
解决以下问题：
（1）将指数43=64转化为对数式　 　；
（2）证明loga=logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）
（3）拓展运用：计算log32+log36﹣log34=　 ．
22. （8分）活中我们经常用到密码，例如支付宝支付时．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2﹣x﹣2可以因式分解为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x=29时，x﹣1=28，x+1=30，x+2=31，此时可以得到数字密码283031．
（1）根据上述方法，当x=15，y=5时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？
（2）已知一个直角三角形的周长是24，斜边长为11，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码（只需一个即可）．
23. （10分）
我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图1所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征点，将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图2，图3，…
（1）观察以上图形并完成下表：
图形的名称 基本图的个数 特征点的个数
图1 1 7
图2 2 12
图3 3 17
图4 4 　22　
… … …
猜想：在图（n）中，特征点的个数为 　5n+2　（用n表示）；
（2）如图，将图（n）放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为（x1，2），则x1＝　　；图（2013）的对称中心的横坐标为 ．
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