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第04讲 二次根式
考点展示·课标透视
中考考点 新课标要求
二次根式的相关概念 了解二次根式、最简二次根式的概念
二次根式的性质 掌握二次根式的性质
二次根式的运算 了解二次根式(根号下仅限于数)加，减、乘、除运算法则,会用它们进行简单的四则运算
知识导航·学法指引
分类研究·深度理解
考点一 二次根式的相关概念
1.二次根式
二次根式的定义：一般地，我们把形如（ ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数．
【易错易混】
1）二次根式的两个要素（判断依据）：含有二次根号“”，且根指数为2；被开方数为非负数；
2）二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：，-都是二次根式；
3)二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足 ≥0；
4)在具体问题中，如果已知是二次根式，相当于给出了 ≥0.
2.二次根式有意义的条件
1）单个二次根式，如有意义的条件是 ≥0；
2）二次根式作为分母时，如有意义的条件是 >0；
3）二次根式与分式相加，如有意义的条件是 ≥0且b＞0.
【典例1】（ 2025·北京）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　x≥1　 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得3x﹣3≥0，解不等式即可．
【解答】解：若在实数范围内有意义，
则3x﹣3≥0，
解得：x≥1，
故答案为：x≥1．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握其有意义的条件是解题的关键．
【典例2】（ 2025·福建）若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【解答】解：由题意，得x﹣1≥0，
∴x≥1，
∴实数x的值可以是2．
故选：D．
【典例3】若式子有意义，则x的取值范围是 　x≥﹣5且x≠0　．
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．.
【专题】分式；二次根式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据分式的分母不为0和二次根式的被开平方数大于等于0进行求解．
【解答】解：由题意得x+5≥0且x≠0，
解得x≥﹣5且x≠0，
故答案为：x≥﹣5且x≠0．
【点评】此题考查了分式和二次根式定义的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
考点二 二次根式的性质与化简
二次根式的性质
1）式子（ ≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（），所以具有双重非负性；
2），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
3），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
二次根式的化简
二次根式的化简：1）利用二次根式的基本性质进行化简；
2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
，
【易错易混】
1.在使用 = 时一定要注意
2.在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意
【典例1】（2025·安徽）下列计算正确的是（　　）
A．a B．a
C．a3 （﹣a）2＝a6 D．（﹣a2）3＝a6
【解答】解：|a|，则A不符合题意，
a，则B符合题意，
a3 （﹣a）2＝a3 a2＝a5，则C不符合题意，
（﹣a2）3＝﹣a6，则D不符合题意，
故选：B．
【典例2】对于二次根式的乘法运算，一般地，有 ．该运算法则成立的条件是（　　）
A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a≤0，b≤0 D．a≥0，b≥0
【考点】二次根式的乘除法．.
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据二次根式的乘法法则，即可解答．
【解答】解：对于二次根式的乘法运算，一般地，有 ．该运算法则成立的条件是a≥0，b≥0，
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．
【典例3】将化为最简二次根式，其结果是（　　）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．.
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：，
故选：D．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义和二次根式的性质，注意：满足以下两个条件：①被开方数中的因式是整式，因数是整数，②被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数，像这样的二次根式叫最简二次根式．
考点三 二次根式的运算
1.二次根式的乘法
乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即：
2.二次根式的除法
除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：
3.最简二次根式
定义：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根数，叫做最简二次根式.例：都是最简二次根式.
最简二次根式必须同时满足以下两个条件：
①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）；
②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1.
4.二次根式的加减
同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.
【补充】几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式.
二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并.
【口诀】一化、二找、三合并.
5.二次根式的混合运算
内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算.
运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的.
易错易混
1）结果要化为最简二次根式或整式；
2）如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件.
6.分母有理化
分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程.
【分母有理化方法】
1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即：
2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.
即：；
【典例1】（ 2025·广西）　　 ．
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．
【解答】解：，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【典例2】计算：26．
【考点】二次根式的混合运算．.
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】6．
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算，进而得出答案．
【解答】解：原式＝326
＝126
＝6．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
专项训练·深度理解
专项训练四：二次根式
（时间：60分钟，总分100分）
一、选择题（本题共10题，每题3分，共30分）
1. （2023·湖南·统考中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　
A．x<1 B．x≤1 C．x>1 D．x≥1
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】解：由题意得，x－1≥0，
解得x≥1．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握要使二次根式有意义，其被开方数应为非负数．
2. 化简的结果是（　　）
A．2 B．3 C．2 D．2
【考点】二次根式的性质与化简．.
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为2．
【解答】解：2，
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的化简，关键在于被开方数要写成平方数乘积的形式再进行化简．
3. 实数a，b在数轴上的对应位置如图所示，则（b﹣a﹣2）的化简结果是（　　）
A．2 B．2a﹣2 C．2﹣2b D．﹣2
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．.
【专题】计算题；运算能力．
【答案】A
【分析】根据数轴可知，﹣3＜a＜﹣2，0＜b＜1，可得a﹣b＜0，然后根据二次根式的性质和去括号法则计算即可．
【解答】解：由数轴可知，﹣3＜a＜﹣2，0＜b＜1，
∴a﹣b＜0，
∴原式＝b﹣a﹣b+a+2＝2．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
4. （ 2025·河北）计算：（）（）＝（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：（）（）
＝10﹣6
＝4，
故选：B．
5. 下列计算正确的是（　　）
A．2 B．3 C．235 D．（1）2＝3
【考点】二次根式的混合运算；算术平方根；立方根；二次根式的加减法．.
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据二次根式的加法，算术平方根，立方根，完全平方公式，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：A、2，故A不符合题意；
B、3，故B不符合题意；
C、235，故C符合题意；
D、（1）2＝3+2，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的加法，算术平方根，立方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6. 将化简为，其中a、b为整数，求a+b之值为何？（　　）
A．5 B．3 C．﹣9 D．﹣15
【考点】二次根式的混合运算；分母有理化．.
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】A
【分析】把将进行化简，求出a，b的值即可．
【解答】解：∵4，
∴a＝4，b＝1，
∴a+b＝4+1＝5．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算及分母有理化，熟知二次根式分母有理化的法则是解题的关键．
7. 估计（）的值应在（　　）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【考点】二次根式的混合运算；估算无理数的大小．.
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】直接利用二次根式的性质结合估算无理数的大小方法得出答案．
【解答】解：原式＝2，
∵34，
∴5＜26，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，正确估算无理数是解题关键．
8.实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：为（ ）．
A．2 B．m C．2+m D．2﹣m
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．.
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】2﹣m．
【分析】根据二次根式的非负性进行化简去绝对值即可．
【解答】解：由数轴可知：1＜m＜2，
∴m﹣2＜0，
∴|m﹣2|＝2﹣m．
故答案为：D．
9. （2023·湖北荆州·统考中考真题）已知，则与最接近的整数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据二次根式的混合运算进行计算，进而估算无理数的大小即可求解．
【详解】解：
∵，
∴,
∴与最接近的整数为，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
10. 为三个整数，若，，，则下列有关于的大小关系，正确的是( ).
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】根据二次根式的化简方法，逐个化简可求出k，m，n，再进行比较.
【详解】因为，，，
所以k=3，m=2，n=5，
所以m＜k＜n，
故选D.
二、填空题（本题共6题，每题3分，共18分）
11. （ 2025·河南）请写出一个使在实数范围内有意义的x的值：　x≤5　 ．
【解答】解：若在实数范围内有意义，
则5﹣x≥0，
解得x≤5，
故答案为：x≤5．
12. 计算的结果是 　　．
【分析】运用二次根式乘法法则进行计算、求解．
【解答】解：，
故答案为：．
【点评】此题考查了二次根式乘法的计算能力，关键是能准确理解并运用该法则进行正确地求解．
13. 计算：　　．
【考点】二次根式的混合运算．.
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】．
【分析】先根据二次根式的乘法法则计算乘法，再把二次根式化简，最后合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握二次根式的乘法法则和如何把二次根式化成最简形式．
14. 从，，中任意选择两个数，分别填在算式 （□+〇）2里面的“□”与“〇”中计算该算式的结果是 　2（答案不唯一）　．（只需写出一种结果）
【考点】二次根式的混合运算．.
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】2（答案不唯一）．
【分析】根据二次根式的乘除法法则进行计算，即可解答．
【解答】解：若“□”是，“〇”是，则 （）2（5﹣2）2；
若“□”是，“〇”是，则 （）2（8﹣2）42；
若“□”是，“〇”是，则 （）2（9+2）6；
故答案为：2（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15. 如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a+=　 　．
【分析】直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a的取值范围进而化简即可．
【解答】由数轴可得：
0＜a＜2，
则a+
=a+
=a+（2﹣a）
=2．
故答案为：2．
16. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为　 　．
【分析】根据题目中的面积公式可以求得△ABC的三边长分别为1，2，的面积，从而可以解答本题．
解析：∵S=，
∴△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为：
S==1，
故答案为：1．
三、解答题（本题共7题，共52分）
17. （6分）已知a＝2，b＝2，求代数式a2b+ab2的值．
【考点】二次根式的混合运算；代数式求值．.
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】﹣4．
【分析】利用因式分解，进行计算即可解答．
【解答】解：∵a＝2，b＝2，
∴a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝（2）（2）（22）
＝（4﹣5）×4
＝﹣1×4
＝﹣4．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
18. （6分）计算||+（）2﹣（）2．
【考点】二次根式的混合运算．.
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】分别运用绝对值的性质和乘法公式展开再合并即可．
【解答】解：解法一，原式[（）2]﹣[（）2]
（2）﹣（2）
22
．
解法二，原式（）（）
2（﹣1）
2
．
【点评】本题考查二次根式的计算，运用绝对值和完全平方公式是解题关键．
19. （6分）若x，y为实数，且y＝++．求﹣的值．
【解答】解：依题意得：x＝，则y＝，所以＝＝，＝＝2，
所以﹣＝﹣＝﹣＝．
20. （8分）阅读下列解题过程：
＝＝＝＝.
请回答下列问题：
(1)观察上面的解题过程，化简：
①；②；
(2)利用上面提供的解法，请计算：(＋＋＋…＋)·(＋)．
解：(1)①＝＝＋3.
②＝＝.
(2)原式＝(－＋－＋－＋…＋－)(＋)
＝(－)(＋)
＝n.
21. （8分）小明在解决问题：已知，a＝，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：
∵a＝．
∴a﹣2＝﹣．
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1．
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：＝　 　；
（2）计算：+++…+；
（3）若a＝，求2a2﹣8a+1的值．
【解答】解：（1），
故答案为：；
（2）原式＝＝＝；
（3）∵，
∴，
∴（a﹣2）2＝5即a2﹣4a+4＝5，
∴a2﹣4a＝1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×1+1＝3．
22. （8分）阅读下面材料：
将边长分别为a，a，a+2，a+3的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4．
则S2﹣S1＝（a）2﹣a2
＝[（a）+a] [（a）﹣a]
＝（2a）
＝b+2a
例如：当a＝1，b＝3时，S2﹣S1＝3+2
根据以上材料解答下列问题：
（1）当a＝1，b＝3时，S3﹣S2＝　9+2　，S4﹣S3＝　15+2　；
（2）当a＝1，b＝3时，把边长为a+n的正方形面积记作Sn+1，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出Sn+1﹣Sn等于多少吗？并证明你的猜想；
（3）当a＝1，b＝3时，令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，tn＝Sn+1﹣Sn，且T＝t1+t2+t3+…+t50，求T的值．
【分析】（1）把a＝1，b＝3代入S3﹣S2，S4﹣S3，计算即可得到结论；
（2）根据（1）的结论化简Sn+1﹣Sn即可；
（3）化简T＝t1+t2+t3+…+t50后，代入数值计算即可．
【解答】解：S3﹣S2＝（a+2）2﹣（a）2
＝a2+4a4b﹣a2﹣2ab
＝2a3b，
当a＝1，b＝3时，S3﹣S2＝9+2；
S4﹣S3＝（a+3）2﹣（a+2）2＝a2+6a9b﹣a2﹣4a4b
＝2a5b，
当a＝1，b＝3时，S4﹣S3＝15+2；
故答案为：9+2；15+2；
（2）Sn+1﹣Sn＝6n﹣3+2；
证明：Sn+1﹣Sn
＝（1n）2﹣[1+（n﹣1）]2
＝[2+（2n﹣1）]
＝3（2n﹣1）+2
＝6n﹣3+2；
（3）当a＝1，b＝3时，T＝t1+t2+t3+…+t50
＝S2﹣S1+S3﹣S2+S4﹣S3…+S51﹣S50
＝S51﹣S1
＝（1+50）2﹣1
＝7500+100．
【点评】本题考查了二次根式的化简，正确地计算出结果是解题的关键．
23. （10分）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．
∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=　m2+3n2　，b=　2mn　；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　4　+　2　=（　1　+　1　）2
（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？
分析：（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；
（2）首先确定好m、n的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出a、b的值；
（3）根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值．
【解答】解：（1）∵a+b=，
∴a+b=m2+3n2+2mn，
∴a=m2+3n2，b=2mn．
故答案为：m2+3n2，2mn．
（2）设m=1，n=1，
∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2．
故答案为4、2、1、1．
（3）由题意，得：
a=m2+3n2，b=2mn
∵4=2mn，且m、n为正整数，
∴m=2，n=1或者m=1，n=2，
∴a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13．
点评： 本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键在于熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则．
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第04讲 二次根式
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二次根式的相关概念 了解二次根式、最简二次根式的概念
二次根式的性质 掌握二次根式的性质
二次根式的运算 了解二次根式(根号下仅限于数)加，减、乘、除运算法则,会用它们进行简单的四则运算
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考点一 二次根式的相关概念
1.二次根式
二次根式的定义：一般地，我们把形如（ ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数．
【易错易混】
1）二次根式的两个要素（判断依据）：含有二次根号“”，且根指数为2；被开方数为非负数；
2）二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：，-都是二次根式；
3)二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足 ≥0；
4)在具体问题中，如果已知是二次根式，相当于给出了 ≥0.
2.二次根式有意义的条件
1）单个二次根式，如有意义的条件是 ≥0；
2）二次根式作为分母时，如有意义的条件是 >0；
3）二次根式与分式相加，如有意义的条件是 ≥0且b＞0.
【典例1】（ 2025·北京）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 ．
【典例2】（ 2025·福建）若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【典例3】若式子有意义，则x的取值范围是 ．
考点二 二次根式的性质与化简
二次根式的性质
1）式子（ ≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（），所以具有双重非负性；
2），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
3），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
二次根式的化简
二次根式的化简：1）利用二次根式的基本性质进行化简；
2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
，
【易错易混】
1.在使用 = 时一定要注意
2.在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意
【典例1】（2025·安徽）下列计算正确的是（　　）
A．a B．a
C．a3 （﹣a）2＝a6 D．（﹣a2）3＝a6
【典例2】对于二次根式的乘法运算，一般地，有 ．该运算法则成立的条件是（　　）
A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a≤0，b≤0 D．a≥0，b≥0
【典例3】将化为最简二次根式，其结果是（　　）
A． B． C． D．
考点三 二次根式的运算
1.二次根式的乘法
乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即：
2.二次根式的除法
除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：
3.最简二次根式
定义：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根数，叫做最简二次根式.例：都是最简二次根式.
最简二次根式必须同时满足以下两个条件：
①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）；
②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1.
4.二次根式的加减
同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.
【补充】几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式.
二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并.
【口诀】一化、二找、三合并.
5.二次根式的混合运算
内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算.
运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的.
易错易混
1）结果要化为最简二次根式或整式；
2）如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件.
6.分母有理化
分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程.
【分母有理化方法】
1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即：
2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.
即：；
【典例1】（ 2025·广西）　 　 ．
【典例2】计算：26．
专项训练·深度理解
专项训练四：二次根式
（时间：60分钟，总分100分）
一、选择题（本题共10题，每题3分，共30分）
1. （2023·湖南·统考中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　
A．x<1 B．x≤1 C．x>1 D．x≥1
2. 化简的结果是（　　）
A．2 B．3 C．2 D．2
3. 实数a，b在数轴上的对应位置如图所示，则（b﹣a﹣2）的化简结果是（　　）
A．2 B．2a﹣2 C．2﹣2b D．﹣2
4. （ 2025·河北）计算：（）（）＝（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
5. 下列计算正确的是（　　）
A．2 B．3 C．235 D．（1）2＝3
6. 将化简为，其中a、b为整数，求a+b之值为何？（　　）
A．5 B．3 C．﹣9 D．﹣15
7. 估计（）的值应在（　　）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
8. 实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：为（ ）．
A．2 B．m C．2+m D．2﹣m
9. （2023·湖北荆州·统考中考真题）已知，则与最接近的整数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
10. 为三个整数，若，，，则下列有关于的大小关系，正确的是( ).
A. B. C. D.
二、填空题（本题共6题，每题3分，共18分）
11. （ 2025·河南）请写出一个使在实数范围内有意义的x的值：　 ．
12. 计算的结果是 　．
13. 计算：　 　．
14. 从，，中任意选择两个数，分别填在算式 （□+〇）2里面的“□”与“〇”中计算该算式的结果是 　．（只需写出一种结果）
15. 如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a+=　 　．
16. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为　 　．
三、解答题（本题共7题，共52分）
17. （6分）已知a＝2，b＝2，求代数式a2b+ab2的值．
18. （6分）计算||+（）2﹣（）2．
19. （6分）若x，y为实数，且y＝++．求﹣的值．
20. （8分）阅读下列解题过程：
＝＝＝＝.
请回答下列问题：
(1)观察上面的解题过程，化简：
①；②；
(2)利用上面提供的解法，请计算：(＋＋＋…＋)·(＋)．
21. （8分）小明在解决问题：已知，a＝，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：
∵a＝．
∴a﹣2＝﹣．
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1．
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：＝　 　；
（2）计算：+++…+；
（3）若a＝，求2a2﹣8a+1的值．
22. （8分）阅读下面材料：
将边长分别为a，a，a+2，a+3的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4．
则S2﹣S1＝（a）2﹣a2
＝[（a）+a] [（a）﹣a]
＝（2a）
＝b+2a
例如：当a＝1，b＝3时，S2﹣S1＝3+2
根据以上材料解答下列问题：
（1）当a＝1，b＝3时，S3﹣S2＝　 ，S4﹣S3＝　 　；
（2）当a＝1，b＝3时，把边长为a+n的正方形面积记作Sn+1，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出Sn+1﹣Sn等于多少吗？并证明你的猜想；
（3）当a＝1，b＝3时，令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，tn＝Sn+1﹣Sn，且T＝t1+t2+t3+…+t50，求T的值．
23. （10分）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．
∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=　 　，b=　 　；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　 +　 =（　+　）2
（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？
分析：（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；
（2）首先确定好m、n的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出a、b的值；
（3）根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值．
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