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第06讲 分式方程及应用
考点展示·课标透视
中考考点 新课标要求
分式方程及其解法 能解可化为一元一次方程的分式方程
分式方程的实际应用
知识导航·学法指引
分类研究·深度理解
考点一 分式方程及其解法
一、分式方程
分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
分式方程的重要特征：①等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
二、分式方程的解法
解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程.
解分式方程的一般步骤：
1）找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；
2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；
【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根．
3）解这个整式方程，求出整式方程的解；
4）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
【注意事项】
1）去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.
2）分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
3）分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根．
4）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.
5）分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.
【典例1】（ 2025·北京）方程0的解为　x＝2　 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程两边乘最简公分母x（x﹣6）得，
2x+x﹣6＝0，
解得x＝2，
经检验x＝2是原方程的解，
故答案为：x＝2．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
【典例2】（ 2025·黑龙江龙东）已知关于x的分式方程3解为负数，则k的值为（　　）
A．k＜﹣4 B．k＞﹣4
C．k＜﹣4且k D．k＞﹣4且k
【分析】首先将分式方程转化为整式方程，求出解关于k的表达式，再结合解为负数及分母不为零的条件确定k的范围．
【解答】解：，
得，
得x+3k＝3x﹣12，
解得：，
根据题意，解，
即3k+12＜0，
解得：k＜﹣4，
∵分母x﹣4≠0，即x≠4，即，
解得：，
∴k＜﹣4，
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的解，解题的关键是正确运算．
【典例3】分式方程3的解是（　　）
A．x B．x＝﹣1 C．x D．x＝3
【考点】解分式方程．.
【专题】计算题；分式；运算能力．
【答案】D
【分析】解分式方程得结论．
【解答】解：3，
去分母，得1﹣3（x﹣2）＝﹣2，
整理，得﹣3x＝﹣9，
∴x＝3．
经检验，x＝3是原方程的解．
所以原方程的解为：x＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的解法是解决本题的关键．
考点二 分式方程的实际应用
用分式方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.
2）检验所求的解是否符合实际意义.
答：实际问题的答案.
【典例1】（2025·云南·中考真题）某化工厂采用机器人，机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运20千克，机器人搬运800千克所用时间与机器人搬运1000千克所用时间相等．求机器人，机器人每小时分别搬运多少千克化工原料．
【答案】机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小时搬运千克化工原料，根据机器人搬运800千克所用时间与机器人搬运1000千克所用时间相等建立方程求解即可．
【详解】解；设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小时搬运千克化工原料，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答；机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料．
【典例2】为进行某项数学综合与实践活动，小明到一个批发兼零售的商店购买所需工具．该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价付款．小明如果给学校九年级学生每人购买一个，只能按零售价付款，需用3600元；如果多购买60个，则可以按批发价付款，同样需用3600元，若按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同，求这个学校九年级学生有多少人？
【考点】分式方程的应用．.
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】设这个学校九年级学生有x人，利用单价＝总价÷数量，结合按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：设这个学校九年级学生有x人，
根据题意得：5060，
解得：x＝300，
经检验，x＝300是所列方程的解，且符合题意．
答：这个学校九年级学生有300人．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【典例3】（2025·内蒙古·中考真题）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个．
(1)求的值；
(2)现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个
【答案】(1)8
(2)至少需要6个这样的机器人
【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据“一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个”建立分式方程求解即可；
（2）设需要个这样的机器人同时工作1小时，由总采摘量不少于10000个建立一元一次不等式求解．
【详解】（1）解：由题意得，，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
∴的值为8；
（2）解：1小时，
设需要个这样的机器人，
由题意得：，
解得：，
∵为正整数，
∴最小值为6，
答：至少需要6个这样的机器人．
专项训练·深度理解
专项训练六：分式方程及应用
（时间：60分钟，总分100分）
一、选择题（本题共10题，每题3分，共30分）
1. （2023·上海·统考中考真题）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，则原方程可变形为，再化为整式方程即可得出答案.
【详解】解：设，则原方程可变形为，
即；
故选：D.
2. （2025·湖南·中考真题）将分式方程去分母后得到的整式方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
将分式方程两边同时乘以最简公分母，消去分母，转化为整式方程．
【详解】解：．
方程两边同时乘以，得：．
故选：A．
3. 方程的解是（　　）
A．x＝﹣3 B．x＝﹣9 C．x＝3 D．x＝9
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
2x＝3（x﹣3），
解得：x＝9，
检验：当x＝9时，x（x﹣3）≠0，
∴x＝9是原方程的根，
故选：D．
【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
4. （2025·广东深圳·中考真题）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵树比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，设原计划人数为人，则实际人数为人，原计划平均每人种树棵，实际平均每人种树棵，根据题意，实际平均每人种树比原计划少3棵，由此建立方程．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：A．
5. 已知x＝1是方程的解，那么实数m的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
【考点】分式方程的解．.
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】将x＝1代入原方程即可求出m的值．
【解答】解：将x＝1代入方程，得：3，
解得：m＝2．
故选：B．
【点评】本题考查分式方程的解，解题的关键是将x＝1代入原方程中得到关于m的方程．
6. 分式方程1的解为正数，则m的取值范围（　　）
A．m＞﹣3 B．m＞﹣3且m≠﹣2
C．m＜3 D．m＜3且m≠﹣2
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．.
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围即可．
【解答】解：去分母得：2＝x﹣1﹣m，
解得：x＝m+3，
由方程的解为正数，得到m+3＞0，且m+3≠1，
则m的范围为m＞﹣3且m≠﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了根据分式方程的解，求参数的取值范围，找出x的取值范围是本题的关键．
7. 解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（　　）
A．1+3＝3x（1﹣x） B．1+3（x﹣1）＝﹣3x
C．x﹣1+3＝﹣3x D．1+3（x﹣1）＝3x
【考点】解分式方程；解一元一次方程．.
【专题】分式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据分式方程的解法，两侧同乘（x﹣1）化简分式方程即可．
【解答】解：分式方程的两侧同乘（x﹣1）得：1﹣3（x﹣1）＝﹣3x．
故选：B．
【点评】本题考查了解分式方程时去分母，找到分式方程的公分母是解题的关键．
8. （2025·黑龙江·中考真题）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程，首先将分式方程转化为整式方程，求出解关于的表达式，再结合解为负数及分母不为零的条件确定的范围．
【详解】解：，
得，
得，
解得：，
根据题意，解，
即，
解得：，
分母，
即，
即，
解得：，
，
故选：A．
9. 若关于x的分式方程1的解为非负数，则m的取值范围是（　　）
A．m≤1且m≠﹣1 B．m≥﹣1且m≠1 C．m＜1且m≠﹣1 D．m＞﹣1且m≠1
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．.
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】解含参的分式方程，然后结合已知条件及分式有意义的条件列得不等式并计算即可．
【解答】解：1，
两边同乘（x﹣1），去分母得：x+x﹣1＝﹣m，
移项，合并同类项得：2x＝1﹣m，
系数化为1得：x，
∵原分式方程的解为非负数，
∴0，且1
解得：m≤1且m≠﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查根据含参分式方程解的情况确定参数的取值范围，结合已知条件解含参分式方程求得x是解题的关键．
10. （2025·四川遂宁·中考真题）若关于的分式方程无解，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．0或2 D．或3
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程无解问题，掌握求解的方法是解题的关键；
将分式方程转化为整式方程，分析无解的两种情况：整式方程无解或解为增根（使分母为零），分别求解即可．
【详解】解：原方程两边同乘，得：
化简得：，
即；
当整式方程无解时：即当且时，即，此时方程无解；
当解为增根时：即当解时，
解得，此时使原方程分母为零，无意义；
综上，的值为或；
故选：D．
二、填空题（本题共6题，每题3分，共18分）
11. （2025·甘肃平凉·中考真题）方程的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查解分式方程，去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可．
【详解】解：，
去分母，得：，
解得：；
检验，当时，，
∴是原方程的解；
故答案为：．
12. （2023·浙江绍兴·统考中考真题）方程的解是________．
【答案】
【分析】先去分母，左右两边同时乘以，再根据解一元一次方程的方法和步骤进行解答，最后进行检验即可．
【详解】解：去分母，得：，
化系数为1，得：．
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，正确找出最简公分母，注意解分式方程要进行检验．
13. （ 2025·甘肃）方程的解是x＝　﹣1　 ．
【解答】解：两边同时乘以（x﹣1），得2x＝x﹣1，解得x＝﹣1．
经检验：x＝﹣1是原方程的解．
故答案为：﹣1．
14. 方程的解是：x＝　﹣1　．
【考点】解分式方程．.
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
3（x﹣1）＝2（x﹣2），解得：x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，（x﹣1）（x﹣2）≠0，
∴x＝﹣1是原方程的根，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
15. （2025·四川凉山·中考真题）若关于x的分式方程无解，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程无解时，方程有增根的情况是解答本题的关键．
根据题意，解分式方程，得到，由题意得到原方程无解，故是原方程的增根，由，得到，由此得到答案．
【详解】解：，
去分母：方程两边同时乘以，得：
，
，
，
，
原方程无解，
是原方程的增根，
由，，
，
，
故答案为：．
16. 若关于x的不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程2的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 　16　．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．.
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】16．
【分析】先通过解一元一次不等式组和分式方程确定所有满足条件的整数a的值，再进行计算求解．
【解答】解：，
解不等式①，得x＜4，
解不等式②，得x，
∴该不等式组的解集为x＜4，
∵该不等式组至少有2个整数解，
∴2，
解得a≤8；
解分式方程2得，
y，
由题意得，当a＝8时，y3；
当a＝6时，y2；
当a＝4时，y1（不合题意，舍去）；
当a＝2时，y0，
∴所有满足条件的整数a的值为8、6和2，
∵8+6+2＝16，
∴所有满足条件的整数a的值之和为16，
故答案为：16．
【点评】此题考查了含有字母参数的一元一次不等式组和分式方程问题的解决能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行计算求解．
三、解答题（本题共7题，共52分）
17. （6分）（1）解方程：1．
【考点】解分式方程．.
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】x＝﹣3．
【分析】方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得出2+x（x+1）＝（x+1）（x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），
得2+x（x+1）＝（x+1）（x﹣1），
解得x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，（x+1）（x﹣1）≠0，
所以分式方程的解是x＝﹣3．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
（2）（2025·上海·中考真题）解方程：．
【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案．
【详解】解：
方差两边同时乘以得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
∴，
∴或，
解得或，
检验，当时，，此时是原方程的增根，
当时，，此时是原方程的解，
∴原方程的解为．
18. （6分）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人．甲组每天加工3000件农产品，乙组每天加工2700件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、乙两组各有多少名工人？
【考点】分式方程的应用．.
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】甲组有20名工人，乙组有15名工人．
【分析】设甲组有x名工人，则乙组有（35﹣x）名工人，根据乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即甲组的人数），再将其代入（35﹣x）中，即可求出乙组的人数．
【解答】解：设甲组有x名工人，则乙组有（35﹣x）名工人，
根据题意得：1.2，
解答：x＝20，
经检验，x＝20是所列方程的解，且符合题意，
∴35﹣x＝35﹣20＝15．
答：甲组有20名工人，乙组有15名工人．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
19. （6分）（2025·四川自贡·中考真题）去年暑假，小张与小李同学主动帮刘大爷掰玉米，他们各掰了36筐和30筐，两人劳动时间相同，小张平均每小时比小李多掰2筐，请问小李平均每小时掰玉米多少筐？
【答案】10筐
【分析】本题考查的是分式方程的应用，设小李平均每小时掰玉米筐，则小张平均每小时掰玉米筐．根据题意，两人劳动时间相同，所以掰的玉米筐数之比等于他们的速度之比，可得：，再解方程即可.
【详解】解：设小李平均每小时掰玉米筐，则小张平均每小时掰玉米筐．
方程两边同乘得：，
展开并化简：，
移项：，
解得：，
经检验：是原方程的根且符合题意；
所以，小李平均每小时掰玉米10筐．
20. （8分）（2025·四川广安·中考真题）某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元．
(1)求A，B两种帐篷的单价各多少元？
(2)若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？
【答案】(1)A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元
(2)当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14000元
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键．
（1）设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为元，根据用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等建立方程求解即可；
（2）设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷顶，总费用为W元，根据购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的列出不等式求出m的取值范围，再列出W关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为元．
由题意得：，
解得：
经检验：符合题意，
，
答：A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元．
（2）解：设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷顶，总费用为W元．
由题意得：，
解得：．
又两种型号的帐篷均需购买，
．
，
，
随m的增大而减小
当时，W取最小值，，
此时，
答：当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14000元．
21. （8分）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．
（1）为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？
（2）经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？
【考点】分式方程的应用；二元一次方程组的应用．.
【专题】一次方程（组）及应用；分式方程及应用；应用意识．
【答案】（1）该企业有10条甲类生产线，20条乙类生产线；
（2）还需投入1330万元资金更新生产线的设备．
【分析】（1）设该企业有x条甲类生产线，y条乙类生产线，根据“更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买更新1条乙类生产线的设备需投入m万元，则购买更新1条甲类生产线的设备需投入（m+5）万元，利用数量＝总价÷单价，结合用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，可得出m的值，再将其代入10（m+5）+20m﹣70中，即可求出结论．
【解答】解：（1）设该企业有x条甲类生产线，y条乙类生产线，
根据题意得；，
解得：．
答：该企业有10条甲类生产线，20条乙类生产线；
（2）设购买更新1条乙类生产线的设备需投入m万元，则购买更新1条甲类生产线的设备需投入（m+5）万元，
根据题意得：，
解得：m＝45，
经检验，m＝45是所列方程的解，且符合题意，
∴10（m+5）+20m﹣70＝10×（45+5）+20×45﹣70＝1330．
答：还需投入1330万元资金更新生产线的设备．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．
22. （8分）（2022达州）某商场进货员预测一种应季T恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种T恤衫，面市后果然供不应求．商场又用8800元购进了第二批这种T恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元．
（1）该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是多少元？
（2）如果两批T恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件T恤衫按七折优惠售出，要使两批T恤衫全部售完后利润率不低于80%（不考虑其他因素），那么每件T恤衫的标价至少是多少元？
【答案】（1）该商场购进第一批每件的进价为40元，第二批T恤衫每件的进价为44元
（2）每件T恤衫的标价至少是80元
【解析】
【分析】（1）设该商场购进第一批每件的进价为元，第二批T恤衫每件的进价为元，根据“所购数量是第一批购进量的2倍”列分式方程求解检验即可；
（2）设每件T恤衫的标价是元，根据“两批T恤衫全部售完后利润率不低于80%”列不等式，求解即可．
【小问1详解】
设该商场购进第一批每件的进价为元，第二批T恤衫每件的进价为元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
，
所以，该商场购进第一批每件的进价为40元，第二批T恤衫每件的进价为44元；
【小问2详解】
两批T恤衫的数量为（件），
设每件T恤衫的标价是元，由题意得：
，
解得
所以，每件T恤衫的标价至少是80元．
【点睛】本题考查了列分式方程解决实际问题，列不等式解决实际问题，准确理解题意，找准数量关系是解题的关键．
23. （10分）某粮食种植基地为了提高小麦收割的效率，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1台甲种农机具比1台乙种农机具便宜1万元，用24万元购买甲种农机具的数量和用30万元购买乙种农机具的数量相同．
（1）求购买1台甲种农机具和1台乙种农机具各需多少万元？
（2）该粮食种植基地计划购买甲、乙两种农机具共12台，且购买的总费用不超过57.5万元，求至少需要购买多少台甲种农机具？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．.
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）购买1件甲台农机具需4万元，购买1件乙台农机具需5万元；
（2）至少需要购买3台甲种农机具．
【分析】（1）设购买1台甲种农机具需x万元，则购买1台乙种农机具需（x+1）万元，根据用24万元购买甲种农机具的数量和用30万元购买乙种农机具的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设需要购买a台甲种农机具，则需要购买（12﹣a）台甲种农机具，根据购买的总费用不超过57.5万元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设购买1台甲种农机具需x万元，则购买1台乙种农机具需（x+1）万元，
根据题意得：，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是所列方程的解，且符合题意，
∴x+1＝5，
答：购买1件甲台农机具需4万元，购买1件乙台农机具需5万元；
（2）设需要购买a台甲种农机具，则需要购买（12﹣a）台甲种农机具，
由题意得：4a+5（12﹣a）≤57.5，
解得：a≥2.5，
∵a为正整数，
∴a的最小值为3，
答：至少需要购买3台甲种农机具．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
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第06讲 分式方程及应用
考点展示·课标透视
中考考点 新课标要求
分式方程及其解法 能解可化为一元一次方程的分式方程
分式方程的实际应用
知识导航·学法指引
分类研究·深度理解
考点一 分式方程及其解法
一、分式方程
分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
分式方程的重要特征：①等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
二、分式方程的解法
解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程.
解分式方程的一般步骤：
1）找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；
2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；
【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根．
3）解这个整式方程，求出整式方程的解；
4）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
【注意事项】
1）去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.
2）分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
3）分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根．
4）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.
5）分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.
【典例1】（ 2025·北京）方程0的解为　 ．
【典例2】（ 2025·黑龙江龙东）已知关于x的分式方程3解为负数，则k的值为（　　）
A．k＜﹣4 B．k＞﹣4
C．k＜﹣4且k D．k＞﹣4且k
【典例3】分式方程3的解是（　　）
A．x B．x＝﹣1 C．x D．x＝3
考点二 分式方程的实际应用
用分式方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.
2）检验所求的解是否符合实际意义.
答：实际问题的答案.
【典例1】（2025·云南·中考真题）某化工厂采用机器人，机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运20千克，机器人搬运800千克所用时间与机器人搬运1000千克所用时间相等．求机器人，机器人每小时分别搬运多少千克化工原料．
【典例2】为进行某项数学综合与实践活动，小明到一个批发兼零售的商店购买所需工具．该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价付款．小明如果给学校九年级学生每人购买一个，只能按零售价付款，需用3600元；如果多购买60个，则可以按批发价付款，同样需用3600元，若按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同，求这个学校九年级学生有多少人？
【典例3】（2025·内蒙古·中考真题）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个．
(1)求的值；
(2)现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个
专项训练·深度理解
专项训练六：分式方程及应用
（时间：60分钟，总分100分）
一、选择题（本题共10题，每题3分，共30分）
1. （2023·上海·统考中考真题）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（ ）
A． B． C． D．
2. （2025·湖南·中考真题）将分式方程去分母后得到的整式方程为（ ）
A． B． C． D．
3. 方程的解是（　　）
A．x＝﹣3 B．x＝﹣9 C．x＝3 D．x＝9
4. （2025·广东深圳·中考真题）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵树比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
5. 已知x＝1是方程的解，那么实数m的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
6. 分式方程1的解为正数，则m的取值范围（　　）
A．m＞﹣3 B．m＞﹣3且m≠﹣2
C．m＜3 D．m＜3且m≠﹣2
7. 解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（　　）
A．1+3＝3x（1﹣x） B．1+3（x﹣1）＝﹣3x
C．x﹣1+3＝﹣3x D．1+3（x﹣1）＝3x
8. （2025·黑龙江·中考真题）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（ ）
A． B． C．且 D．且
9. 若关于x的分式方程1的解为非负数，则m的取值范围是（　　）
A．m≤1且m≠﹣1 B．m≥﹣1且m≠1 C．m＜1且m≠﹣1 D．m＞﹣1且m≠1
10. （2025·四川遂宁·中考真题）若关于的分式方程无解，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．0或2 D．或3
二、填空题（本题共6题，每题3分，共18分）
11. （2025·甘肃平凉·中考真题）方程的解是 ．
12. （2023·浙江绍兴·统考中考真题）方程的解是________．
13. （ 2025·甘肃）方程的解是x＝　 ．
14. 方程的解是：x＝　 ．
15. （2025·四川凉山·中考真题）若关于x的分式方程无解，则 ．
16. 若关于x的不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程2的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 　 　．
三、解答题（本题共7题，共52分）
17. （6分）（1）解方程：1．
（2）（2025·上海·中考真题）解方程：．
18. （6分）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人．甲组每天加工3000件农产品，乙组每天加工2700件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、乙两组各有多少名工人？
19. （6分）（2025·四川自贡·中考真题）去年暑假，小张与小李同学主动帮刘大爷掰玉米，他们各掰了36筐和30筐，两人劳动时间相同，小张平均每小时比小李多掰2筐，请问小李平均每小时掰玉米多少筐？
20. （8分）（2025·四川广安·中考真题）某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元．
(1)求A，B两种帐篷的单价各多少元？
(2)若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？
21. （8分）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．
（1）为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？
（2）经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？
22. （8分）（2022达州）某商场进货员预测一种应季T恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种T恤衫，面市后果然供不应求．商场又用8800元购进了第二批这种T恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元．
（1）该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是多少元？
（2）如果两批T恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件T恤衫按七折优惠售出，要使两批T恤衫全部售完后利润率不低于80%（不考虑其他因素），那么每件T恤衫的标价至少是多少元？
23. （10分）某粮食种植基地为了提高小麦收割的效率，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1台甲种农机具比1台乙种农机具便宜1万元，用24万元购买甲种农机具的数量和用30万元购买乙种农机具的数量相同．
（1）求购买1台甲种农机具和1台乙种农机具各需多少万元？
（2）该粮食种植基地计划购买甲、乙两种农机具共12台，且购买的总费用不超过57.5万元，求至少需要购买多少台甲种农机具？
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