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第07讲 一元二次方程及其应用
考点展示·课标透视
中考考点 新课标要求
一元二次方程及其解法 理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程
一元二次方程根的判别式 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等
一元二次方程根与系数的关系 了解一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的实际应用 变化率问题 能根据现实情境理解方程的意义；能针对具体问题列出方程；能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性.
利润问题
循环问题
面积问题
其它问题
知识导航·学法指引
分类研究·深度理解
考点一 一元二次方程及解法
一、一元二次方程基础
一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式： ，它的特征：等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0.其中：是二次项，a是二次项系数，是一次项，b是一次项系数，c是常数项.
【易错/热考】如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件.
一元二次方程的根的定义：能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）.
判断一个数是不是一元二次方程的根：将此数代人这个一元二次方程的左、右两边，看是否相等，若相等，则是方程的根；若不相等，则不是方程的根.
二、一元二次方程的解法
基本思路：通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解.
1. 直接开平方法（基础）
例：形如（a≠0）的一元二次方程：
当＞0时，则x1=，x2= -，此时方程有两个不相等的实数根；
当＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根；
当＜0时，则方程无实数根.
2. 配方法（基础）
配方的实质：将方程化为的形式，当m≥0时，直接用直接开平方法求解.
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
1）移项：将常数项移到等号右边,含未知数的项移到等号左边；
2）二次项系数化为1：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以二次项系数；
3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式；
4）求解：若q≥0时，直接用直接开平方法求解.
3. 公式法
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)；
2）求出的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解；
3）如果, 将a、b、c的值代入求根公式：；
4）最后求出.
【补充说明】求根公式的使用条件：
4. 因式分解法
依据：如果两个一次因式的积为0，那么这两个因式中至少一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0.
步骤：
1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0；
2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；
3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
4）求解.
【易错易混】利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0.
【典例1】用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（　　）
A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1
【考点】解一元二次方程﹣配方法．.
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0，
x2﹣6x＝﹣8，
x2﹣6x+9＝﹣8+9，
（x﹣3）2＝1，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
【典例2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：
【答案】，
【分析】本题主要考查解一元二次方程，将方程移项后运用因式分解法解方程即可．
【详解】解：，
，
，
或，
∴，
【典例3】等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣10x+21＝0的两个根，则这个三角形的周长为（　　）
A．17或13 B．13或21 C．17 D．13
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质；一元二次方程的解．.
【专题】一元二次方程及应用；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】C
【分析】解方程求得x的值，再分两种情况结合三角形的三边关系求三角形的周长即可．
【解答】解：x2﹣10x+21＝0，
（x﹣3）（x﹣7）＝0，
解得x1＝3，x2＝7，
当等腰三角形的边长是3、3、7时，3+3＜7，不符合三角形的三边关系，应舍去；
当等腰三角形的边长是7、7、3时，这个三角形的周长是7+7+3＝17．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，三角形三边关系以及等腰三角形的性质，解题的关键是求出方程的两根，此题注意分类思想的运用．
考点二 根的判别式
根的判别式的定义：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即.
根的情况与判别式的关系：在实数范围内，一元二次方程的根的情况由其系数a，b，c，即确定.
1）方程有两个不相等的实根:；
2）方程有两个相等的实根：；
3）方程无实根.
【补充说明】由此可知，一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根．
【易错易混】
1）使用一元二次方程根的判别式时，应先将方程整理成一般形式，再确定a，b，c的方程；
2）当时，方程有两个相等的实数根，不能说方程只有一个实数根.
【典例1】（2025·安徽）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（　　）
A．x2+1＝0 B．x2﹣2x+1＝0 C．x2+x+1＝0 D．x2+x﹣1＝0
【解答】解：A、由根的判别式可知：Δ＝02﹣4×1×0＝0，
∴方程有两个相等的实数根，不符合题意；
B、由根的判别式可知：Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
∴方程有两个相等的实数根，不符合题意；
C、由根的判别式可知：Δ＝12﹣4×1×1＜0，
∴方程有无实数根，不符合题意；
D、由根的判别式可知：Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，符合题意；
故选：D．
【典例2】（ 2025·北京）若关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4
【分析】先计算根的判别式，再根据方程解的情况得关于a的方程，求解即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0且a≠0．
∴22﹣4a＝0且a≠0．
∴a＝1．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式和方程解的关系是解决本题的关键．
【典例3】（ 2025·广西）已知x1，x2是方程x2﹣20x﹣25＝0的两个实数根，则x1+x2＝（　　）
A．﹣25 B．﹣20 C．20 D．25
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x220．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
考点三 一元二次方程根与系数的关系
若一元二次方程的两个根是，则与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝，＝
【补充说明】
1）一元二次方程根与系数关系的使用条件：.
2）当一元二次方程的二次项系数为1时，如，其两根关系为+＝， ＝.
3）以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是.
4）运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值.
【典例1】（2025·湖北）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是（　　）
A．x1+x2＝﹣4 B．x1+x2＝3 C．x1x2＝4 D．x1x2＝3
【解答】解：根据一元二次方程根与系数的关系，x2﹣4x+3＝0，
a＝1，b＝﹣4，c＝3，
∴x1+x24，x1 x23，
故选：D．
【典例2】对于实数a，b定义运算“ ”为a b＝b2﹣ab，例如：3 2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3） x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【考点】根的判别式；实数的运算．.
【专题】实数；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据运算“ ”的定义将方程（k﹣3） x＝k﹣1转化为一般式，由根的判别式Δ＝（k﹣1）2+4＞0，即可得出该方程有两个不相等的实数根．
【解答】解：∵（k﹣3） x＝k﹣1，
∴x2﹣（k﹣3）x＝k﹣1，
∴x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0，
∴Δ＝[﹣（k﹣3）]2﹣4×1×（﹣k+1）＝（k﹣1）2+4＞0，
∴关于x的方程（k﹣3） x＝k﹣1有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式和实数的运算，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解决问题的关键．
【典例3】（2025·江苏苏州·中考真题）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则 ．
【答案】
【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，结合，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
考点四 一元二次方程的实际应用
用一元二次方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
答：实际问题的答案.
一元二次方程的常见问题及数量关系：
常见问题 数量关系
变化率问题
利润问题 利润=售价-进价；利润率=利润/进价×100%总利润=总售价-总成本=单个利润×总销售量.
循环问题 单循环（如握手问题）：n（n－1） （其中n为人数）双循环（如写信问题）：n（n－1） （其中n为人数）
面积问题
(a 2x)(b 2x)（x为空白部分的宽） (a x)(b x)（x为阴影部分的宽）
【典例1】（ 2025·黑龙江龙东）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（　　）
A．8000（1+2x）＝1200
B．8000（1+x）2＝12000
C．8000+8000（1+x）+8000（1+x）2＝12000
D．8000×2（1+x）＝12000
【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程．
【解答】解：由题意可得，
8000（1+x）2＝12000，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
【典例2】（2025·山东威海·中考真题）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为，根据题意可知种植园的面积等于一个长为，宽为的矩形面积，据此建立方程求解即可．
【详解】解：设小路的宽度为，
由题意得，，
整理得，
解得或（舍去），
答：小路的宽度为．
【典例3】（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件．
(1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件；
(2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元；
(3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)3元
(3)售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键；
（1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案；
（2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解；
（3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件；
故答案为：；
（2）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，
根据题意可得：，
整理可得：，
解得：，
由于要让利于游客，舍去，
∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元.
（3）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，
则
，
∵，
∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元，
答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元．
专项训练·深度理解
专项训练七：一元二次方程及其应用
（时间：60分钟，总分100分）
一、选择题（本题共10题，每题3分，共30分）
1. 若方程(m-1)-(m+1)x-2=0是一元二次方程,则m的值为　(　　)
A.0　　 　B.±1　 　　C.1　　 　D.-1
【解题指南】一元二次方程满足的两个条件
(1)未知数的最高次数是2.
(2)二次项系数不为0.
【解析】选D.由题意得:
m2+1=2且m-1≠0,
由m2+1=2,得m=±1,
当m=1时,m-1=0,不合题意,
当m=-1时,m-1≠0,故m=-1.
故选D.
2. （ 2025·河南）一元二次方程x2﹣2x＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【解答】解：由条件可得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
3. （ 2025·甘肃）关于x的一元二次方程3x2﹣6x+m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜3 B．m≤3 C．m＞3 D．m≥3
【解答】解：∵一元二次方程3x2﹣6x+m＝0有两个实数根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4×3m≥0，
∴m≤3．
故选：B．
4. （ 2025·河北）若一元二次方程x（x+2）﹣3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点（m，n）在平面直角坐标系中位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：由方程x（x+2）﹣3＝0，
得到x2+2x﹣3＝0．
两根之和：，
两根之积：3．
∴m，n都为负数，
∴点（m，n）在第三象限．
故选：C．
5. （ 2025·福建）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（　　）
A．5x2＝6 B．5（1+x2）＝6 C．x（5﹣x）＝6 D．5（1+x）2＝6
【解答】解：由题意可得，x（5﹣x）＝6，
故选：C．
6. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k且k≠1 B．k C．k且k≠1 D．k
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．.
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】由二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：k且k≠1，
∴k的取值范围是k且k≠1．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
7. （2025·江苏扬州·中考真题）关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断根的情况
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
通过计算一元二次方程的判别式，即可判断方程根的情况．
【详解】解：，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
8. 如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是（　　）
A．5m B．70m C．5m或70m D．10m
【考点】一元二次方程的应用．.
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】设小路的宽是x m，则余下的部分可合成长为（100﹣2x）m，宽为（50﹣2x）m的矩形，根据花圃的面积是3600m2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设小路的宽是x m，则余下的部分可合成长为（100﹣2x）m，宽为（50﹣2x）m的矩形，
根据题意得：（100﹣2x）（50﹣2x）＝3600，
整理得：x2﹣75x+350＝0，
解得：x1＝5，x2＝70（不符合题意，舍去），
∴小路的宽是5m．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9. （2025·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴二次项系数，即．
令，即，
解得．
∴且
故选：C．
10. 请阅读下列叙述后，回答下列题．
体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（一）为成年人利用身高（公尺）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，因此结果仅供参考．
女性理想体重 男性理想体重
算法① 身高×身高×22 身高×身高×22
算法② （100×身高﹣70）×0.6 （100×身高﹣80）×0.7
算法③ （100×身高﹣158）×0.5+52 （100×身高﹣170）×0.6+62
以下为甲、乙两个关于成年女性理想体重的叙述：
（甲）有的女性使用算法①与算法②算出的理想体重会相同
（乙）有的女性使用算法②与算法③算出的理想体重会相同
对于甲、乙两个叙述，下列判断何者正确？（　　）
A．甲、乙皆正确 B．甲、乙皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
【分析】假设甲叙述正确，设女性的身高为x公尺，根据使用算法①与算法②算出的理想体重会相同，可列出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣24＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即甲叙述错误；假设乙叙述正确，设女性的身高为y公尺，使用算法②与算法③算出的理想体重会相同，可列出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值，进而可得出假设成立，即乙叙述正确．
【解答】解：假设甲叙述正确，设女性的身高为x公尺，
根据题意得：22x2＝（100x﹣70）×0.6，
整理得：11x2﹣30x+21＝0，
∵Δ＝（﹣30）2﹣4×11×21＝﹣24＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即甲叙述错误；
假设乙叙述正确，设女性的身高为y公尺，
根据题意得：（100y﹣70）×0.6＝（100y﹣158）×0.5+52，
解得：y＝1.5，
∴当女性的身高为1.5公尺时，使用算法②与算法③算出的理想体重会相同，
∴假设成立，即乙叙述正确．
故选：D．
二、填空题（本题共6题，每题3分，共18分）
11. 若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2023﹣6a+2b的值为 　2019　．
【考点】一元二次方程的解．.
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】把x＝3代入方程求出3a﹣b的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：把x＝3代入方程得：9a﹣3b＝6，即3a﹣b＝2，
则原式＝2023﹣2（3a﹣b）＝2023﹣4＝2019．
故答案为：2019．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
12. 已知m是方程x2+4x﹣1＝0的一个根，则（m+5）（m﹣1）的值为 　﹣4　．
【分析】把x＝m代入方程x2+4x﹣1＝0，求出m2+4m的值，然后利用多项式乘多项式法则计算（m+5）（m﹣1），最后把m2+4m的值代入进行计算即可．
【解答】解：把x＝m代入m2+4m﹣1＝0，
m2+4m＝1，
∴（m+5）（m﹣1）
＝m2﹣m+5m﹣5
＝m2+4m﹣5
＝1﹣5
＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值．
13. 若关于x的一元二次方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝　1　．
【考点】根的判别式．.
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】1．
【分析】根据一元二次方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根可知Δ＝0，即4﹣4c＝0，即可解得答案．
【解答】解：∵一元二次方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即4﹣4c＝0，
解得c＝1
故答案为：1．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则Δ＝0．
14. 随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是 　10%　．
【考点】一元二次方程的应用．.
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】10%．
【分析】设该公司这两年缴税的年平均增长率是x，利用该公司2023年缴税金额＝该公司2021年缴税金额×（1+该公司这两年缴税的年平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是x，
根据题意得：40（1+x）2＝48.4，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去），
∴该公司这两年缴税的年平均增长率是10%．
故答案为：10%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15. 已知关于x的方程x2-(a+b)x+ab-1=0,x1,x2是此方程的两个实数根,现给出三个结论:①x1≠x2;②x1x2【解题指南】本题的解答思路
(1)利用方程的判别式判定①是否正确.
(2)根据两根之积判定②是否正确.
(3)利用根与系数的关系可以求出+的值,然后判定③是否正确.
【解析】∵方程x2-(a+b)x+ab-1=0中,
Δ=(a+b)2-4(ab-1)=(a-b)2+4>0,
∴x1≠x2,故①正确;
∵x1x2=ab-1∵x1+x2=a+b,
即(x1+x2)2=(a+b)2,
∴+=(x1+x2)2-2x1x2=(a+b)2-2ab+2=a2+b2+2>a2+b2,
即+>a2+b2,故③错误;
综上所述,正确的结论序号是①②.
答案:①②
16. 已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2＝0有两个不相等的实数根x1、x2，且x1+x2+x1 x2＝2，则实数m＝　3　．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，由根与系数的关系，可得出x1+x2＝﹣2m，x1 x2＝m2﹣m+2，结合x1+x2+x1 x2＝2，可得出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2m）2﹣4×1×（m2﹣m+2）＞0，
∴m＞2．
∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣2m，x1 x2＝m2﹣m+2，
∵x1+x2+x1 x2＝2，
∴﹣2m+m2﹣m+2＝2，
解得：m1＝0（不符合题意，舍去），m2＝3，
∴实数m的值为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，由根与系数的关系结合x1+x2+x1 x2＝2，找出关于m的一元二次方程是解题的关键．
三、解答题（本题共7题，共52分）
17. （6分）(1)解方程:x2+3x-2=0.
(2)已知m是方程x2-x-2=0的一个实数根,求代数式(m2-m)的值.　
【解析】(1)∵a=1,b=3,c=-2,
∴Δ=32-4×1×(-2)=17,
∴x=,
∴x1=,x2=.
(2)解方程x2-x-2=0得:x1=-1,x2=2,
∴m=-1或m=2.
当m=-1时,(m2-m)=4;
当m=2时,(m2-m)=4.
【一题多解】本题中的第(2)小题也可以按下面方法求解:
∵m是方程x2-x-2=0的一个实数根,
∴m2-m-2=0,
∴m2-m=2,m2=m+2.
∴原式=2=2
=2=2×2=4.
18. （6分）已知关于x的方程(x-3)(x-2)-p2=0.
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根.
(2)当p=2时,求该方程的根.
【解析】(1)方程可变形为x2-5x+6-p2=0,
Δ=(-5)2-4×1×(6-p2)=1+4p2,
∵4p2≥0,∴Δ>0,
∴这个方程总有两个不相等的实数根.
(2)当p=2时,方程变形为x2-5x+2=0,
Δ=25-4×2=17,∴x=,
∴x1=,x2=.
19. （6分）
已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1x2＝9，求m的值．
【分析】（1）先确定a、b、c，再计算根的判别式，利用根的判别式得结论；
（2）先利用根与系数的关系求出两根的和与积，再代入已知中得关于m的方程，求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0，
这里a＝1，b＝﹣（m+2），c＝m﹣1，
Δ＝b2﹣4ac
＝[﹣（m+2）]2﹣4×1×（m﹣1）
＝m2+4m+4﹣4m+4
＝m2+8．
∵m2≥0，
∴△＞0．
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，
则x1+x2＝m+2，x1x2＝m﹣1．
∵x1x2＝9，即（x1+x2）2﹣3x1x2＝9，
∴（m+2）2﹣3（m﹣1）＝9．
整理，得m2+m﹣2＝0．
∴（m+2）（m﹣1）＝0．
解得m1＝﹣2，m2＝1．
∴m的值为﹣2或1．
【点评】本题考查了一元二次方程，掌握根的判别式、根与系数的关系及完全平方公式的变形等知识点是解决本题的关键．
20. （8分）
已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k＝1时，用配方法解方程．
【分析】（1）结合已知条件，根据一元二次方程的定义及根的判别式即可求得k的取值范围；
（2）将k＝1代入方程，利用配方法解方程即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2k+4）2﹣4k（k﹣6）＞0，且k≠0，
解得：k且k≠0；
（2）当k＝1时，
原方程为x2﹣（2×1+4）x+1﹣6＝0，
即x2﹣6x﹣5＝0，
移项得：x2﹣6x＝5，
配方得：x2﹣6x+9＝5+9，
即（x﹣3）2＝14，
直接开平方得：x﹣3＝±
解得：x1＝3，x2＝3．
【点评】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式及配方法解一元二次方程，（1）中需特别注意二次项的系数不为0．
21. （8分）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，月份游客人数为2.5万人．
（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人，列出方程可求解；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，由增长率不会超过前两个月的月平均增长率，列出不等式，即可求解．
【解答】解：（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，
由题意可得：1.6（1+x）2＝2.5，
解得：x＝25%，x（不合题意舍去），
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，
由题意可得：2.125+10a≤2.5（1+25%），
解得：a≤0.1，
答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
22. （8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．
（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根为a，b，若（2a+b）（a+2b）＝20，求m的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．.
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）要证明方程都有两个不相等的实数根，即证明Δ＝b2﹣4ac＞0即可；
（2）利用根与系数的关系得a+b＝2m+1，ab＝m2+m，再将（2a+b）（a+2b）＝20变形可得2（a+b）2+ab＝20，将a+b，ab的代入可得关于m的一元二次方程，求解即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m）
＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m
＝1＞0，
∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：∵该方程的两个实数根为a，b，
∴a+b2m+1，abm2+m，
∵（2a+b）（a+2b）
＝2a2+4ab+ab+2b2
＝2（a2+2ab+b2）+ab
＝2（a+b）2+ab，
∴2（a+b）2+ab＝20，
∴2（2m+1）2+m2+m＝20，
整理得：m2+m﹣2＝0，
解得：m1＝﹣2，m2＝1，
∴m的值为﹣2或1．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式的应用、根与系数的关系的关系，熟练掌握根的判别式与根与系数的关系是解题关键．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，，．
23. （10分）
随着铁路运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍。
（1）求甲、乙队单独完成这项工程各需几个月？
（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元，在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程。在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）
【分析】：方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。若乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需x+5个月，等量关系为：“两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍”。
不等式的应用解题关键是找出不等量关系，列出不等式求解。若设甲队的施工时间为y个月，则乙队的施工时间为个月，不等量关系为：“工程款不超过1500万元”。
【解答】解：（1） 设乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需x+5个月，
根据题意，得，即，
解得（不合题意，舍去）。
∴。
答：甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月。
（2）设甲队的施工时间为y个月，则乙队的施工时间为个月，
根据题意，得，
解得。
答：甲队最多施工12个月才能使工程款不超过1500万元。
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第07讲 一元二次方程及其应用
考点展示·课标透视
中考考点 新课标要求
一元二次方程及其解法 理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程
一元二次方程根的判别式 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等
一元二次方程根与系数的关系 了解一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的实际应用 变化率问题 能根据现实情境理解方程的意义；能针对具体问题列出方程；能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性.
利润问题
循环问题
面积问题
其它问题
知识导航·学法指引
分类研究·深度理解
考点一 一元二次方程及解法
一、一元二次方程基础
一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式： ，它的特征：等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0.其中：是二次项，a是二次项系数，是一次项，b是一次项系数，c是常数项.
【易错/热考】如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件.
一元二次方程的根的定义：能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）.
判断一个数是不是一元二次方程的根：将此数代人这个一元二次方程的左、右两边，看是否相等，若相等，则是方程的根；若不相等，则不是方程的根.
二、一元二次方程的解法
基本思路：通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解.
1. 直接开平方法（基础）
例：形如（a≠0）的一元二次方程：
当＞0时，则x1=，x2= -，此时方程有两个不相等的实数根；
当＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根；
当＜0时，则方程无实数根.
2. 配方法（基础）
配方的实质：将方程化为的形式，当m≥0时，直接用直接开平方法求解.
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
1）移项：将常数项移到等号右边,含未知数的项移到等号左边；
2）二次项系数化为1：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以二次项系数；
3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式；
4）求解：若q≥0时，直接用直接开平方法求解.
3. 公式法
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)；
2）求出的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解；
3）如果, 将a、b、c的值代入求根公式：；
4）最后求出.
【补充说明】求根公式的使用条件：
4. 因式分解法
依据：如果两个一次因式的积为0，那么这两个因式中至少一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0.
步骤：
1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0；
2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；
3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
4）求解.
【易错易混】利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0.
【典例1】用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（　　）
A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1
【典例2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：
【典例3】等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣10x+21＝0的两个根，则这个三角形的周长为（　　）
A．17或13 B．13或21 C．17 D．13
考点二 根的判别式
根的判别式的定义：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即.
根的情况与判别式的关系：在实数范围内，一元二次方程的根的情况由其系数a，b，c，即确定.
1）方程有两个不相等的实根:；
2）方程有两个相等的实根：；
3）方程无实根.
【补充说明】由此可知，一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根．
【易错易混】
1）使用一元二次方程根的判别式时，应先将方程整理成一般形式，再确定a，b，c的方程；
2）当时，方程有两个相等的实数根，不能说方程只有一个实数根.
【典例1】（2025·安徽）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（　　）
A．x2+1＝0 B．x2﹣2x+1＝0 C．x2+x+1＝0 D．x2+x﹣1＝0
【典例2】（ 2025·北京）若关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4
【典例3】（ 2025·广西）已知x1，x2是方程x2﹣20x﹣25＝0的两个实数根，则x1+x2＝（　　）
A．﹣25 B．﹣20 C．20 D．25
考点三 一元二次方程根与系数的关系
若一元二次方程的两个根是，则与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝，＝
【补充说明】
1）一元二次方程根与系数关系的使用条件：.
2）当一元二次方程的二次项系数为1时，如，其两根关系为+＝， ＝.
3）以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是.
4）运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值.
【典例1】（2025·湖北）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是（　　）
A．x1+x2＝﹣4 B．x1+x2＝3 C．x1x2＝4 D．x1x2＝3
【典例2】对于实数a，b定义运算“ ”为a b＝b2﹣ab，例如：3 2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3） x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【典例3】（2025·江苏苏州·中考真题）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则 ．
考点四 一元二次方程的实际应用
用一元二次方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
答：实际问题的答案.
一元二次方程的常见问题及数量关系：
常见问题 数量关系
变化率问题
利润问题 利润=售价-进价；利润率=利润/进价×100%总利润=总售价-总成本=单个利润×总销售量.
循环问题 单循环（如握手问题）：n（n－1） （其中n为人数）双循环（如写信问题）：n（n－1） （其中n为人数）
面积问题
(a 2x)(b 2x)（x为空白部分的宽） (a x)(b x)（x为阴影部分的宽）
【典例1】（ 2025·黑龙江龙东）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（　　）
A．8000（1+2x）＝1200
B．8000（1+x）2＝12000
C．8000+8000（1+x）+8000（1+x）2＝12000
D．8000×2（1+x）＝12000
【典例2】（2025·山东威海·中考真题）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度．
【典例3】（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件．
(1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件；
(2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元；
(3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
专项训练·深度理解
专项训练七：一元二次方程及其应用
（时间：60分钟，总分100分）
一、选择题（本题共10题，每题3分，共30分）
1. 若方程(m-1)-(m+1)x-2=0是一元二次方程,则m的值为　(　　)
A.0　　 　B.±1　 　　C.1　　 　D.-1
2. （ 2025·河南）一元二次方程x2﹣2x＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
3. （ 2025·甘肃）关于x的一元二次方程3x2﹣6x+m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜3 B．m≤3 C．m＞3 D．m≥3
4. （ 2025·河北）若一元二次方程x（x+2）﹣3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点（m，n）在平面直角坐标系中位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5. （ 2025·福建）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（　　）
A．5x2＝6 B．5（1+x2）＝6 C．x（5﹣x）＝6 D．5（1+x）2＝6
6. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k且k≠1 B．k C．k且k≠1 D．k
7. （2025·江苏扬州·中考真题）关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断根的情况
8. 如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是（　　）
A．5m B．70m C．5m或70m D．10m
9. （2025·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
10. 请阅读下列叙述后，回答下列题．
体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（一）为成年人利用身高（公尺）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，因此结果仅供参考．
女性理想体重 男性理想体重
算法① 身高×身高×22 身高×身高×22
算法② （100×身高﹣70）×0.6 （100×身高﹣80）×0.7
算法③ （100×身高﹣158）×0.5+52 （100×身高﹣170）×0.6+62
以下为甲、乙两个关于成年女性理想体重的叙述：
（甲）有的女性使用算法①与算法②算出的理想体重会相同
（乙）有的女性使用算法②与算法③算出的理想体重会相同
对于甲、乙两个叙述，下列判断何者正确？（　　）
A．甲、乙皆正确 B．甲、乙皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
二、填空题（本题共6题，每题3分，共18分）
11. 若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2023﹣6a+2b的值为 　 　．
12. 已知m是方程x2+4x﹣1＝0的一个根，则（m+5）（m﹣1）的值为 　 　．
13. 若关于x的一元二次方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝　 ．
14. 随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是 　 ．
15. 已知关于x的方程x2-(a+b)x+ab-1=0,x1,x2是此方程的两个实数根,现给出三个结论:①x1≠x2;②x1x216. 已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2＝0有两个不相等的实数根x1、x2，且x1+x2+x1 x2＝2，则实数m＝　 　．
三、解答题（本题共7题，共52分）
17. （6分）(1)解方程:x2+3x-2=0.
(2)已知m是方程x2-x-2=0的一个实数根,求代数式(m2-m)的值.　
18. （6分）已知关于x的方程(x-3)(x-2)-p2=0.
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根.
(2)当p=2时,求该方程的根.
19. （6分）
已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1x2＝9，求m的值．
20. （8分）
已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k＝1时，用配方法解方程．
21. （8分）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，月份游客人数为2.5万人．
（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
22. （8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．
（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根为a，b，若（2a+b）（a+2b）＝20，求m的值．
23. （10分）
随着铁路运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍。
（1）求甲、乙队单独完成这项工程各需几个月？
（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元，在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程。在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）
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