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2024-2025 学年河南省郑州市实验中学高一下学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若一个多面体共有 12 条棱，则这个多面体可能是( )
A.六棱柱 B.五棱锥 C.四棱柱 D.三棱台
2.已知 (3,5)， (1, 2)， (2,1)，则 + =( )
A. (3,11) B. ( 3, 11) C. (9,9) D. ( 9, 9)
3 +i.已知 ∈ ，复数 = 1+2i在复平面内对应的点位于第一象限，则 的取值范围为( )
A. 2, 1 1 1 12 B. 9 , 9 C. 2 , 2 D. 2,2
4.在 中， = 6， = 5， = 8，则 为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
5.若复数 = + i( ∈ )是关于 的一元二次方程 2 + 4 + = 0( ∈ )的一个根，则 =( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6.如图，在△ 中， = 3 , = 2 , 是 的中点，则 =( )
A. 1 + 7 B. 1 + 1 C. 1 + 1 1 7 8 24 6 3 6 3 D. 8 + 24

7.如图，为了测量某塔楼的高度，将一无人机(视为质点)飞升至离地面高为 米的点 处时，测得塔尖 的俯
角为 ，无人机沿水平方向飞行 米后至点 处时，测得塔尖 的俯角为 ，则塔尖 距离地面( )
A. tan tan tan tan tan tan 米 B. tan tan 米
C. tan +tan (tan ×tan )tan tan 米 D. tan +tan 米
8.不透明的袋子中装有两个分别标有数字 1，2 的红球和四个分别标有数字 1，2，3，4 的黄球，这些球除
颜色和数字外完全相同，从袋子中随机取出两个球，则( )
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A.这两个球颜色相同的概率大于颜色不同的概率
B. 2至少有一个红球被取出的概率为5
C. 2这两个球上的数字相同的概率为15
D. 3这两个球上的数字之积为偶数的概率为5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列调查中，适合用抽样调查的是( )
A.调查某款新能源汽车电池的使用寿命 B.调查某班学生的身高
C.调查全国居民使用某款手机的情况 D.调查飞机零部件的质量情况
10 π.已知 1, 2是平面内的两个单位向量，且它们的夹角为3，若 = 1 + 3 2,
= 1 2, = 1 + 2，且 //
， ⊥ ，则( )
A. = 13 B. =
5 6
7 C. | | = 7 D.
= 133
11.如图，在正四棱锥 中， , 分别是 , 的中点，则下列结论正确的是( )
A. ∩ = 设 平面 ，则 =
1
3
B.三棱锥 与正四棱锥 的体积之比为 1: 4
C. 若 =
5
2 ，则正四棱锥 内切球与外接球的半径之比为 1: 6
D.正四棱锥 被平面 分成的上、下两部分的体积之比为 1: 5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.一组数据 25，23，26，19，17，21，20 的第 40 百分位数为 ．
13.如图， ′ ′ ′是用斜二测画法画出的水平放置的 的直观图，若
′ ′ = ′ ′ = 2, ∠ ′ ′ ′ = 75 ，则在 中， = ..
14.在 中， + = 6， = 4， 是 的中点， 是 的内心，则 = .
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 12 分)
为了提高学生的消防安全意识，某地计划从当地 4 万名中学生中随机选取 1000 人参加消防安全知识测试，
将他们的得分(满分：100 分)分组为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并按上述分
组方法得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求 的值；
(2)在参加了消防安全知识测试，且得分在[40,50)和[80,90)内的中学生中，按比例采用分层随机抽样的方法
抽取 50 人，求抽取的得分在[40,50)内的学生人数；
(3)若规定得分不低于 70 分的学生的评级为优秀，以参加了消防安全知识测试的中学生为代表，估计当地
中学生评级为优秀的人数．
16.(本小题 12 分)
如图，在四棱锥 中， 是等边三角形，四边形 是正方形， = 2 ．
(1)证明：平面 ⊥平面 ；
(2)求平面 与平面 所成角的正弦值．
17.(本小题 12 分)
如图，现有三个质地均匀的骰子，其中正方体骰子六个面分别标以数字 1 到 6、正四面体骰子四个面分别
标以数字 1 到 4，正八面体骰子八个面分别标以数字 1 到 8.现进行抛骰子游戏，规定：第一次抛掷正方体
骰子，记骰子朝上的面上的数字为 ，若 为奇数，则第二次抛掷正四面体骰子，若 为偶数，则第二次抛
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掷正八面体骰子记第二次抛掷的骰子与地面接触的面上的数字为 .设事件 : ≤ 2，事件 : = 2，事件
: = 6．
(1)求事件 发生的概率；
(2)判断事件 ， 是否相互独立，并说明理由．
18.(本小题 12 分)

= 公共定义：两个多面体 1， 2的重合度 + ，其中 公共是多面体 1， 2的重合部分的体积， 1， 21 2 公共
分别是多面体 1， 2的体积.如图，在三棱柱 1 1 1中， ， 分别是棱 1， 1上的点(不包含端
点)，且 = ，延长 ， ，分别交 1 1， 1 1的延长线于点 ， ．
(1)已知 = 12 1,且三棱柱 1 1 1的体积为 18．
①求三棱柱 1 1 1与三棱锥 1 重合部分的体积；
②求三棱柱 1 1 1与三棱锥 1 的重合度 ．
(2)若三棱柱 1 1 1与三棱锥 1 的重合度 =
1 , 3 求 的值．1
19.(本小题 12 分)
已知锐角三角形 的内角 , , 的对边分别为 , , ，且 2 + 2 + 2 = 4 ．
(1)若 = 5, cos = 13，求 的面积；
(2)求 的取值范围；
(3) 1 1 1求tan + tan + tan 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.20
13.2 7
14.3
15.解：(1)由图得 10 × (0.01 + 2 × 0.02 + 0.03 + 0.005 + ) = 1，解得 = 0.015．
(2)参加了消防安全知识测试的中学生中，得分在[40,50)内的频率为 10 × 0.01 = 0.1，
则学生人数为 1000 × 0.1 = 100，
得分在[80,90)内的频率为 10 = 0.15，则学生人数为 1000 × 0.15 = 150，
100
故抽取的得分在[40,50)内的学生人数为100+150 × 50 = 20 人.
(3)参加了消防安全知识测试的中学生中，得分不低于 70 分的频率为 10 × (0.02 + + 0.005) = 0.4，
以参加了消防安全知识测试的中学生为代表，估计当地中学生评级为优秀的人数为 0.4 × 40000 = 16000
人.
16.解：(1)设 = 2 = 2 ，则 = 1，即底面正方形边长是 1，等边三角形 的边长是 1，
由 = 2, = = 1，即 2 = 2 + 2，则 ⊥ ，显然 ⊥ ，
又 ∩ = , , 平面 ，则 ⊥平面 ，
又 平面 ，则平面 ⊥平面 ．
(2)
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作 ⊥ 垂足为 ，作 ⊥ ，垂足为 ，连接 ，
平面 ⊥平面 ， ⊥ ， 平面 ，平面 ∩平面 = ，
于是 ⊥平面 ，由 平面 ，则 ⊥ ，
又 ∩ = ， , 平面 ，则 ⊥平面 ，
又 平面 ，则 ⊥ ，又 ⊥ ，
则∠ 为平面 与平面 所成角，
= 3由 2 , = 1, =
2 + 2 = 72 ，
sin∠ = = 21则 7
17.解：(1)设第一次抛掷正方体骰子，记骰子朝上的面上的数字为 ， 为奇数为事件 ，
1 1 1 1 3
( ) = ( ) × ( | ) + × | = 2 × 4+ 2 × 8 = 16
(2)事件 ， 不是相互独立；
( ) = 1 1 1 1 3 2 12 × 4 + 2 × 8 = 16 , ( ) = 6 = 3，
( ) = 12 ×
1 1
4 + 2 ×
1 = 38 16，
因为 ( ) ≠ ( ) ( )，所以事件 ， 不是相互独立；
18.解：(1)设 1 1 1的面积为 ，三棱柱 1 1 1的高为 ，则三棱柱 1 1 1的体积 1 = ．
①作 // ，交 1于点 ，连接 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ，
因为 // ，且 = ，所以 // ，
又 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ，
又 ∩ = ，所以平面 //平面 ，
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= 1因为 2 1，所以 为棱 1的中点，
1 1
则三棱柱 1 1 1的体积 1 1 1 = 2 1 = 9，三棱锥 的体积 = 6 1 = 3．
故三棱柱 1 1 1与三棱锥 1 重合部分的体积 公共 = 1 1 1 + = 9 + 3 = 12．
②因为 // 1 1，所以 // 1 ，所以 ∽△ 1，
= = = 1 1所以 2，所以
1 1
= ．1 1 1 1 2
因为 // 1 1， 1 1 平面 1 ， 平面 1 ，所以 //平面 1 ．
因为平面 ∩平面 1 = ，且 平面 ，
所以 // ，所以 1 1// ，
则 1 1 1 ∽△ 1 ，故 1 = 4 1 1 1 = 4 ，
1 4
从而三棱锥 1 的体积 2 = 3 1 = 3 = 24，

公共 12 2
故三棱柱 1 1 1与三棱锥 1 的重合度 = 1+
= 18+24 12 = 5．2 公共
(2) 设 = (0 < < 1)，则 = 1，从而 1 = (1 ) 1，1
故三棱柱 1 1 1的体积 1 1 1 = (1 ) 1，
三棱锥 的体积 = 3 1，
3 2
故三棱柱 1 1 1与三棱锥 1 重合部分的体积 公共 = 1 1 1 + = 3 1．
因为 // 1 1，所以 // 1 ，所以 ∽△ 1，

所以 =
1 1
1
= = ，所以1 1
= ．
1
因为 // 1 1， 1 1 平面 1 ， 平面 1 ，所以 //平面 1 ．
因为平面 ∩平面 1 = ，且 平面 ，
所以 // ，所以 1 1// ，
则 1 1 1 ∽△ 1 ，故
1 1
1 = 2 1 1 1 = 2 ，
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1 1
从而三棱锥 1 的体积 2 = 3 1 = 3 2 1，
3 2
= 3 1 = 3
2 2 3
故三棱柱 1 1 1与三棱锥 1 的重合度 + 1 3 2 1 1 1 2
3+1 ．
3 2 3
1 3 2 2 3 1
因为 = 3，所以
3 2
2 3+1 = 3，所以 8 9 + 1 = 0，
所以( 1) 8 2 1 = 0 = 1 = 1 33 1+ 33，解得 或 16 或 = 16 ．
因为 0 < < 1 1+ 33，所以 = 16 ．
2 2 2
19.解：(1) cos = + = 1，则 2 + 22 3
2 = 2 3 ，
结合 2 + 2 + 2 = 4 2 2 = 10，故 3 = 15，
又 cos = 13， ∈ 0, π ，故 sin = 1 cos
2 = 2 23 ，
1
故面积为2 sin =
1 2 2
2 × 15 × 3 = 5 2；
2 + 2 > 2 2 + 2 > 4 2 2
(2)由于 是锐角三角形，故 2 + 2 > 2，结合 4 2 2 + 2 > 2
1
2 <

< 2

且 ≠ 1，
2 + 2 > 2 2 + 4 2 2 > 2
2 2 2 2 2 2 2
cos = + = + 4 2 2 = + 2，
= + 1 1由于对勾函数 在 2 , 1 单调递减，在(1,2)单调递增，
= 2 或 = 1 1 52 , + = 2 ,
= + 1 ≥ 2，当且仅当 = 1 时取等号，
1
故当 ∈ 2 , 1 ∪ (1,2)时， = +
1
∈ 2,
5
2 ，
故 2 < +
5
< 2，因此 cos = +

2 ∈ 0,
1
2 ，
由于 ∈ 0, π π π，故3 < < 2
2+ 2 2 2 2 2
(3) cos 由于sin =
2 +
2 = 4 ，其中 为三角形的面积，

cos 2+ 2=
2
, cos
2+ 2 2
同理可得sin 4 sin = 4 ，
1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
因此tan + tan +
1 cos
tan = sin +
cos + cos = + + + + + + sin sin 4 4 + 4 = 4 ，
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2 2 2
由于 2 + 2 + 2 = 4 1，故tan +
1 + 1 = + + 4 4 2tan tan 4 = 4 = 2 sin = sin ，
π π 3
由于3 < < 2，所以 2 < sin < 1，
1 + 1 1 2 4 3故tan tan + tan = sin ∈ 2, 3
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