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六年级暑假新课预习提升练第八单元检测卷《数学广角--数与形》（含解析）-2024-2025学年下学期小学数学人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．用小棒摆图形。
像这样继续摆下去，摆第7个图形需要（ ）根小棒。
A．42 B．30 C．27 D．24
2．下面是由完全相同的正方形按规律摆成的图形，第1个图中有1个正方形，第2个图中有3个正方形，第3个图中有6个正方形，第4个图中有10个正方形，……，按此规律，第8个图中有（ ）个正方形。

A．42 B．40 C．38 D．36
3．求1＋3＋5＋7＋9＋11＋13的和，可以用以下方法的是（ ）。
A．3 B．5 C．7 D．9
4．如图，观察下列正三角形的三个顶点所标的数字规律，那么2008这个数在第（ ）个三角形的（ ）顶点处。（ ）
A．669；上 B．669；左下 C．670；右下 D．670；上
5．小明从家到书店去买书，当他走了大约一半的路程时，想起忘了带钱，又回家取钱，然后又去书店买书然后回家，下面反映小明行程的图是（ ）。
A． B． C．
6．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”。
从上图中可以发现：
任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，例如4＝1＋3。把“正方形数”36写成两个相邻的“三角形数”之和，正确的是（ ）。
A．36＝10＋26 B．36＝12＋24 C．36＝15＋21 D．36＝16＋20
二、填空题
7．如下图所示，1张桌子可以坐6人，2张桌子可以坐10人……照这样，4张桌子可以坐( )人；( )张桌子可以坐30人。
8．用小棒按下图的方式搭图形。按这样搭下去，第8个图形需要( )根小棒，搭第n个图形需要( )根小棒。
9．如图的每个图形都是由△、□、〇中的两个组成的，观察各个图形，根据规律，画出表示“57”的图形是( )，表示“76”的图形的是( )。
10．如图，依靠墙角向上叠放一些正方体纸盒，能够看到一些露在外面的小正方形。观察并填写下表。
叠放的正方体个数 1 2 3 … ( ) n
看到的正方形个数 3 5 7 … 21 ( )
11．1＋3＋5＋7＋9＝ 2 35∶20＝ （求比值）
12．明明是个善于观察，乐于思考的好孩子，他通过数形结合（如图），发现了“求两个连续自然数平方差”的规律。
请你根据明明发现的规律，直接写出下面算式的结果：
( ) ( )
三、判断题
13．有一组数：1、2、5、10、17、26…根据这组数的排列规律，第8个数应是50。( )
14．。( )
15．用小棒按下图搭三角形，搭一个用3根小棒，搭两个用5根小棒，搭n个用3n根小棒。( )
16．一张方桌最多坐8人，2张这样的方桌拼在一起排放，可以坐16人。( )（对的画“√”；错的画“×”，并说明理由或改正）
17．下面图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成。
照这样画下去，第8个图形中白色小正方形的个数是43。( )
18．按图形的规律接着画，第6个正方形中画25个点。( )
……
四、计算题
19．直接写出得数。
28.5－0.85 2.4＋1.2÷4＝
9×70%＝ 1＋3＋5＋7＋9＋…＋21＝
20．计算。
五、作图题
21．找规律，画一画。
（1）
（2）
六、解答题
22．观察下图，想一想。
（1）依次排下去，第7幅图有多少个棋子？第15幅图呢？
（2）第n幅图有多少个棋子？
23．根据统计图回答问题。
（1）从（ ）月到（ ）月销售量增长最快，从（ ）月到（ ）月销售量下降最快。
（2）平均每月销售多少台？
24．下面图形中各有多少个三角形？有什么规律？
25．找规律画一画，算一算。
1 1＋3 1＋3＋5 1＋3＋5＋（ ） 1＋3＋5＋（ ）＋（ ）
1×1 2×2 3×3 （ ）×（ ） （ ）×（ ）
根据规律计算：
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15
26．各代表一个数字，下面每个图案都是由中的两个图形（可以是相同的）构成的。观察各图形与它下面的数之间的关系，请你写出最后面图形下面的“？”表示什么。
《六年级暑假新课预习提升练第八单元检测卷《数学广角--数与形》（含解析）-2024-2025学年下学期小学数学人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D D C D B C
1．D
【分析】观察图形可知，以最左边的第1个图形为基础，每增加3根小棒就增加1个正方形，如摆第1个图形的小棒数量是（3＋3）根，摆第2个图形的小棒数量是（3＋3×2）根，摆第3个图形的小棒数量是（3＋3×3）根， 由此可知，摆第7个图形需要的小棒数量是（3＋3×7）根，计算出结果即可。
【详解】根据分析得，
3＋3×7
＝3＋21
＝24（根）
即摆第7个图形需要24根小棒。
故答案为：D
【点睛】本题考查数形结合问题，观察图形，发现图形的个数与小棒根数的关系是解题的关键。
2．D
【分析】观察可得规律，第1个图中有1个正方形，第2个图中有1＋2＝3个正方形，第3个图中有1＋2＋3＝6个正方形，第4个图中有1＋2＋3＋4＝10个正方形，按此规律，第8个图中有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8个正方形，据此解答。
【详解】1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36（个）
按此规律，第8个图中有36个正方形。
故答案为：D
【点睛】仔细观察，比较总结出规律是解决本题的关键。
3．C
【分析】从算式中可以发现1＋3＋5＋7＋9＋11＋13，通过首尾配对，可转换化3个14与1个7的和。因为14是7的2倍，所以1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝7×7，据此解答。
【详解】由分析可得：1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝7×7
7×7＝72
故答案为：C
【点睛】本题主要考查算式的规律，解题的关键是根据已知算式找出解决问题的规律。
4．D
【分析】由图可知，每个正三角形按上、左下、右下的顺序，三个顶点处是三个连续的自然数，把三个连续自然数看作一个周期，用2008除以3得到三角形的个数，如果商是整数且没有余数，那么商是三角形的个数，第2008个数在三角形的右下顶点处；如果商是整数并且有余数，那么（商＋1）是三角形的个数，余数是几，就按照上、左下、右下的顺序数出对应的顶点，据此解答。
【详解】2008÷3＝669……1
669＋1＝670（个）
所以，2008是第670个三角形的上顶点处。
故答案为：D
【点睛】本题主要考查利用数形结合的思想解决问题，根据图形找出数字变化的规律是解答题目的关键。
5．B
【分析】横轴表示时间，纵轴表示离家的距离。第一次从家出发，随着时间的延长，离家的距离越来越远。到路程的一半时，开始返回家，随着时间的延长，离家的距离越来越近。第二次从家出发，随着时间的延长，离家的距离越来越远，直到到达书店停止。买书的这段时间，离家的距离没有变化。买好书后返回家，随着时间的延长，离家的距离越来越近，直到到家为止。
【详解】A．买书的时间离家的距离没有发生变化，这一情境没有体现出来。所以A选项错误。
B．能反映小明行程，所以B选项正确。
C．不符合走了大约一半的路程后回家取钱，所以C选项错误。
故答案为：B
【点睛】此题考查了看图找关系，画图能够直观地表示出信息，图中也蕴藏一些有趣的关系。
6．C
【分析】观察图形和等式，发现正方形数是1、4、9、16、25、36、49…；都是平方数；
三角形数是1、3、6、10、15、21、28…；相邻两个数的差依次增加1；
从“三角形数”中找出哪两个相邻的数相加，和是“正方形数”36即可。
【详解】图1：正方形数是4，4＝1＋3
图2：正方形数是9，9＝3＋6
图3：正方形数是16，16＝6＋10
图4：正方形数是25，25＝10＋15
图5：正方形数是36，36＝15＋21
故答案为：C
【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
7． 18 7
【分析】第一张桌子坐下6人，第二张桌子比第一张桌子多坐下4人，第三张桌子比第一张桌子多坐下2个4人，因此第四张桌子应该比第一张桌子多坐下3个4人，可以发现桌子的张数减去1，就是比第一张桌子的人数多几个4人，所以当桌子数是4的时候能够坐下（6＋4×3），当坐下30人的时候，用（30－6）÷4就是比第一张桌子多几张桌子，再加1就是桌子数。
【详解】6＋4×3
＝6＋12
＝18（人）
（30－6）÷4＋1
＝24÷4＋1
＝6＋1
＝7（张）
所以4张桌子可以坐18人，7张桌子可以坐30人。
【点睛】重点是能够发现后面的人数增加的规律。
8． 41 5n＋1
【分析】由图可知，第一个图形有6根小棒，第二个图形有11根小棒，第三个图形有16根小棒，由此可知，相邻两个图形之间小棒的个数的差为5，则搭第n个图形需要小棒的根数为：6＋5（n－1）＝（5n＋1）根。
【详解】第8个图形需要小棒的根数为：
5n＋1
＝5×8＋1
＝40＋1
＝41（根）
则第8个图形需要41根小棒，搭第n个图形需要（5n＋1）根小棒。
【点睛】本题是一道关于图形变化规律型的，关键在于通过题中图形的变化情况，通过归纳与总结找出普遍规律求解即可。
9． △○ ○□
【分析】通过观察可知：三角表示5，圆表示7，正方形表示6，按照数字所在的数位排列即可。
【详解】△代表5，○代表7，□代表6，表示57的图形是△○，表示76的图形是○□。
【点睛】本题考查了数形结合的意识，及用符号表示数的意识。
10． 10 2n＋1
【分析】1个正方体，看到3个正方形，可以写成：2×1＋1；
2个正方体，看到5个正方形，可以写成：2×2＋1；
3个正方体，看到7个正方形，可以写成：2×3＋1；
……
n个正方体，看到2×n＋1个正方形，据此解答。
【详解】根据分析可知：
（21－1）÷2
＝20÷2
＝10（个）
2×n＋1
＝2n＋1（个）
叠放的正方体个数 1 2 3 … 10 n
看到的正方形个数 3 5 7 … 21 2n＋1
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
11． 5 1.75
【分析】观察各等式得到从1开始的连续的奇数的和等于奇数的个数的平方，则1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n2，所以1＋3＋5＋7＋9＝5 ；根据分数与除法的关系，比的前项除以后项即可解答。
【详解】1＋3＋5＋7＋9＝25＝52
35∶20
＝35÷20
＝1.75
【点睛】本题考查了通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况；求比值的方法是比的前项除以后项。
12． 11 4047
【分析】由图可知：每个图形阴影部分的面积＝大正方形面积－空白部分正方形面积。假设大正方形边长为a（a为整数），空白正方形边长则为（a－1），阴影部分面积S＝a2－（a－1）2，即两个相邻自然数的平方差；
由算式可知：两个相邻自然数的平方差其结果为两个相邻自然数的和，据此解答。
【详解】结合图和算式：
……
综上可知：a2－（a－1）2＝a＋（a－1）。
所以，6＋5＝11；
2024＋2023＝4047。
【点睛】解答此题的关键是要将图形与算式相结合，算式含有两个数的平方，所以利用图形中面积关系来找到图形与算式的联系，平方差的计算结合根据多个算式的规律来总结。
13．√
【分析】这组数据每相邻的两个数之间的差分别是1、3、5、7、9、11、13……，根据这个规律可以知道第七个数字和第八个数字分别是多少。
【详解】第七个数字：
第八个数字：
故答案为：√
14．×
【分析】分别计算等号左边式子的结果和等号右边式子的结果，再判断大小是否相等。
【详解】
＝3＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9
＝6＋4＋5＋6＋7＋8＋9
＝10＋5＋6＋7＋8＋9
＝15＋6＋7＋8＋9
＝21＋7＋8＋9
＝28＋8＋9
＝36＋9
＝45
＝9×9＝81
因此，
故答案为：×
15．×
【分析】根据题图可知，每增加1个三角形小棒就增加2根，当搭n个三角形时，需要的小棒个数为3＋2（n－1）＝（2n＋1）根，据此解答即可。
【详解】用小棒搭三角形，搭一个用3根小棒，搭两个用5根小棒，搭n个用（2n＋1）根小棒，原题说法错误；
故答案为：×
【点睛】明确每增加1个三角形就增加2根小棒是解答本题的关键，进而总结出规律。
16． × 一张方桌最多坐8人，2张这样的方桌拼在一起排放，可以坐12人
【分析】根据并排方桌的特点，当两张桌子拼在一起，则方桌各有一条边不能坐人，据此用一张方桌最多坐的人数乘2，再减去并在一起时的两边坐的人数即可判断。
【详解】8÷4＝2（人）
8×2－2×2
＝16－4
＝12（人）
所以一张方桌最多坐8人，2张这样的方桌拼在一起排放，可以坐12人。所以原题说法错误。
故答案为：×
改正：错在两张方桌并在一起，没有考虑两边不能坐人，一张方桌最多坐8人，2张这样的方桌拼在一起排放，可以坐12人。
17．√
【分析】根据题意，黑色正方形的数量＝图形序号数，第n个图形就有n个黑色正方形；白色正方形数量与序号数n（黑色数量）的数量关系是：白色数量＝5n＋3，据此解答。
【详解】当n＝8是，5×8＋3＝43；
照这样画下去，第8个图形中白色小正方形的个数是43，故说法正确。
【点睛】此题考查了数与形的知识，关键能够根据已知图形数量找出数量关系。
18．×
【分析】第1个图形有1个点，第2个图形有（1＋4）个点，第3个图形有（1＋4×2）个点，第4个图形有（1＋4×3）个点……以此类推，每次增加4个点，那么第n个图形有[1＋4×（n－1）]个点，最后求出n＝6时含有字母式子的值，据此解答。
【详解】第n个图形需要点的个数为：1＋4×（n－1）
＝1＋4n－4
＝4n－4＋1
＝4n－（4－1）
＝（4n－3）个
当n＝6时。
4n－3
＝4×6－3
＝24－3
＝21（个）
所以，第6个正方形中画21个点。
故答案为：×
【点睛】本题主要考查数形结合思想的应用，找出图形和点的个数的变化规律是解答题目的关键。
19．27.65；0.5；2.7；；
0.25；6.3；；121；
【详解】略。
20．
【分析】观察每个分数，其分子都是1，分母是两个相邻自然数相乘的形式；先把每个分数写成两个分数相减的形式，即（，）；中间的分数可以相互抵消，据此解答。
【详解】
21．（1）；
（2）
【分析】（1）观察图形可知，从左到右的图形逆时针旋转90度得到下一个图形，且第几个图形则最多的一排就有几个三角形；
（2）观察图形可知，4个黑色的正方形每次向右平移1格，若黑色正方形在第四个格中，向右平移1格后就回到第1个格中。
【详解】由分析可知：
（1）
（2）
【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
22．（1）49个；225个（2）（n2）个
【分析】观察棋子的数目与图的序数之间的关系，发现：第1幅图：1＝12个棋子；第2幅图：1＋3＝4＝22个棋子；第3幅图：1＋3＋5＝9＝32个棋子；第4幅图：1＋3＋5＋7＝16＝42个棋子，……，据此总结出一般规律，解答即可。
【详解】第1幅图：1＝12个棋子
第2幅图：1＋3＝4＝22个棋子
第3幅图：1＋3＋5＝9＝32个棋子
第4幅图：1＋3＋5＋7＝16＝42个棋子
……
所以第7幅图有72＝49个棋子
第15幅图有152＝225个棋子
第n幅图：（n2）个棋子
【点睛】本题考查数与形，解答本题的关键是找到棋子的数目与图的序数之间的关系。
23．（1）11；12；8；9
（2）110台
【分析】（1）根据折线统计图的升降幅度可知，11－12月上升的幅度最大即代表销售量增长最快，8－9月下降的幅度最大即代表销售量下降最快。
（2）将6个月的销售额相加再除以6即可求出平均每月销售的台数。
【详解】（1）从11月到12月销售量增长最快，从8月到9月销售量下降最快。
（2）（120＋130＋100＋90＋100＋120）÷6
＝（250＋100＋90＋100＋120）÷6
＝（350＋90＋100＋120）÷6
＝（440＋100＋120）÷6
＝（540＋120）÷6
＝660÷6
＝110（台）
答：平均每月销售110台。
24．1个；3个；6个；10个；规律：第n个图形就有（1＋2＋……＋n）个三角形（规律答案不唯一）
【分析】观察发现图①有1个三角形，图②有（1＋2）个三角形，图③有（1＋2＋3）个三角形，图④有（1＋2＋3＋4）个三角形，那么图n有（1＋2＋3＋4＋……＋n）个三角形；据此解答。
【详解】图①：1个
图②：1＋2＝3（个）
图③：1＋2＋3＝6（个）
图④：1＋2＋3＋4＝10（个）
图n：1＋2＋3＋4＋……＋n（个）
答：图①有1个三角形，图②有3个三角形，图③有6个三角形，图④有10个三角形，规律是第n个图形就有（1＋2＋……＋n）个三角形。（规律答案不唯一）
25．7，4，4；，7，9，5，5
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＝8×8＝64
【分析】看图并结合算式，第一个图有（1×1）个小圆，第二个图有（2×2）个小圆，第三个图有（3×3）个小圆。对应的加法算式是连续奇数的和，几乘几对应的算式就有几个连续奇数相加。“1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15”是8个连续奇数相加，那么它的和与“8×8”相等。
【详解】
1 1＋3 1＋3＋5 1＋3＋5＋7 1＋3＋5＋7＋9
1×1 2×2 3×3 4×4 5×5
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15
＝8×8
＝64
26．31
【分析】
由可知三角形表示2，圆表示3，正方形表示1。又由这些图案下面的数字可以发现图案里面的图形表示前面的数字，图案外面的图形表示后面的数字。根据发现的关系可知图案中，里面是圆，表示前面的数字是3，外面是正方形表示后面的数字是1；据此解答。
【详解】
通过分析可知，三角形表示2，圆表示3，正方形表示1， 图案里面的图形表示前面的数字，图案外面的图形表示后面的数字，所以表示31。
【点睛】解决此类问题可以先从组合图案中找到与图形相对应的数字，再根据图案的组合规律推算出对应的数字的排列顺序。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）

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