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2024-2025 学年河南省信阳市固始县永和高中联考高一下学期期末
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 5.已知复数 = 2 ( 是虚数单位)，则 =( )
A. 2 B. 2 + C. 2 + D. 2
2.在平面直角坐标系 中，角 以 为始边，终边经过点 , 2 ， > 0，则 cos =( )
A. 5 B. 5 C. 2 55 5 5 D.
2 5
5
3.已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 7所成角的余弦值为8，且该圆锥的母线是底面半径的 2倍，若△
的面积为 5 15，则该圆锥的侧面积为( )
A. 40 B. 40 + 40 2 C. 40 2 D. 40 + 80 2
4.已知随机事件 和 相互独立，且 = 0.6, = 0.75，则 ∪ =( )
A. 0.9 B. 0.85 C. 0.8 D. 0.78
5.在 3中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 = 3， = 3 2，cos = 3 .则 的面积为( )．
A. 2 B. 2 2 C. 5 5 22 D. 2
6.在平行四边形 中，∠ = 2 3， = 1， = 2， 是以 为圆心， 3为半径的圆上一动点，且
=
+ ，则 + 的最大值为( )
A. 2 + 3 B. 7 + 3 C. 2 + 7 D. 2 + 217
7.若 ( )是定义在 ( ) ( )上的偶函数，对 1, 1 22 ∈ ( ∞,0]，当 1 ≠ 2时，都有 > 0，若关于 的不等1 2
式 > 在 上恒成立，则 的取值范围是( )
A. ∞,0 B. ∞,0 C. 0, + ∞ D. 0
8.给白炽灯加上一个不透光材料做的灯罩，可以降低或消除白炽灯对眼睛造成的眩
光，某一灯罩的防止眩光范围，可用遮光角 来衡量.遮光角是指灯罩边沿和发光体
3
边沿的连线与水平线所成的夹角，图中灯罩的遮光角 满足 tan = + .若图中 =
208, = 12，且 cos2 = 725，则 =( )
A. 21 B. 33 C. 42 D. 55
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图是某企业 2018 年至 2024 年的污水净化量(单位：吨)的折线图，则( )
A.这组数据的中位数等于平均数
B.这组数据的第 60 百分位数是 55
C.污水净化量逐年递增
D.去掉 2018 年的污水净化量数据后，新数据的标准差会变小
10.函数 = sin + > 0, > 0, < 2 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 在 2 ,

4 上单调递减
C. = 11 直线 12 为 的一条对称轴
D.若 + 为偶函数，则 = 2 + 12 , ∈
11.如图，在正方形 中，点 , 分别是线段 , 上的动点(不含端点)，且 // , 与 交于点 .
现将四边形 沿直线 折起，使平面 ⊥平面 ，则( )
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A. ⊥
B. 与 所成角为定值
C. ∠ 为定值
D. 存在点 、 ，使得直线 与平面 所成角为3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.甲、乙两名射手射击同一目标，且命中目标与否相互独立，已知甲、乙击中目标的概率分别为 0.8 和 0.7，
若他们各射击一次，则目标被击中的概率是 ．
13.向量 ， ， 在正方形网格中的位置如图所示，若 = + ( , ∈ )，则 = ．
14.已知 是边长为 2 的等边三角形，且其顶点都在球 的球面上．若球心 到平面 的距离为 2，
则球 的表面积为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 1, 3 ， 2, ， 4,2 3 ， // ， 为坐标原点．
(1)求向量 与 的夹角；
(2)求 的面积．
16.(本小题 15 分)
五一期间昆明蓝花楹盛开，吸引了很多游客，现随机采访了 100 名来欣赏蓝花楹的游客，并将这 100 人按
年龄分组：第 1 组 20,30 ，第 2 组 30,40 ，第 3 组 40,50 ，第 4 组 50,60 ，第 5 组 60,70 ，得到的频率
分布直方图如图所示：
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(1)求样本数据的第 50 百分位数；
(2)估计这 100 名游客的平均年龄(同一组中的数据用该组中的中点值代表)．
17.(本小题 15 分)
如图，在正三棱柱 1 1 1中，已知 = 2， 1 = 3， 是棱 的中点．
(1)求证： 1//平面 1；
(2)该正三棱柱被平面 1截去一个棱锥 1 ，求剩余部分的体积．
18.(本小题 17 分)
已知函数 = 2sin cos + cos2 ( ∈ )．
(1)当 取什么值时，函数 取得最大值，并求其最大值;
(2) + 2若 为锐角，且 2 8 = 3 ，求 tan 的值．
19.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是菱形，∠ = 120 ， = 2， ∩ = ， ⊥底面 ，
= 2，点 在棱 上．
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)若 //平面 ，求 ；
(3)当 取得最小值时，求二面角 的余弦值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0.94
13. 4
14.40 3
15.【详解】(1)由题意 = 3, 3 , = 6,2 3 ，因为 // ，
所以 6 3 = 3 2 3 ，解得 = 0，
所以 = 1, 3 , = 2,0 ，
所以向量 与
2 1的夹角的余弦值为 cos , = = 2×2 = 2，
故向量 与 2 的夹角为 3；
(2) = = 2 2 因为 ， 与 的夹角为 3，
所以 1的面积为 sin , 12 = 2 × 2 × 2 ×
3
2 = 3．
16.【详解】(1)由频率分布直方图可知，
样本中数据落在 50,60 的频率为 1 0.01 × 2 + 0.02 × 2 × 10 = 0.4，
设第 50 百分位数为 ，易得 位于 50 和 60 之间，
则有：0.01 × 10 + 0.01 × 10 + 0.02 × 10 + 0.04 × 50 = 0.5，解得 = 52.5．
(2)设 100 名游客的平均年龄为 ，由图可知，
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= 0.1 × 25 + 0.1 × 35 + 0.2 × 45 + 0.4 × 55 + 0.2 × 65 = 50，
故这 100 名游客的平均年龄约为 50 岁．
17.【详解】(1)证明：连接 1 ，交 1于点 ，则 为 1 中点，连接 ，如图所示，
在 1 中，因为 , 分别为 , 1 的中点，所以 // 1，
又因为 面 1，且 1 面 1，所以 1//平面 1；
(2)解：在正三棱柱 1 1 1中，因为 = 2，且 1 = 3，
3
可得正三棱柱的体积为 2 1 1 1 = 1 = 4 × 2 × 3 = 3 3，
1 1 1 3
又由三棱锥 1 的体积为 1 = 3 1 = 3 × 2 1 = 2 ，
5 3
所以剩余部分的体积为 = 1 1 1 1 = 2 ．
18.【详解】(1) ( ) = 2 cos + 2 = 2 + 2 ，
= 2 22 sin2 +
2
2 cos2 ，
= 2sin 2 + 4 ．
∴ 2 + = 2 + 当 4 2，即 = +

8 ( ∈ )时，函数 ( )取得最大值，其值为 2．
(2) ∵ + 2 8 =
2
3 ，∴ 2sin +
2
2 = 3 ．
∴ cos = 13．
∵ 为锐角，
∴ sin = 1 2 = 2 23 ．
∴ tan = sin cos = 2 2．
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19.【详解】(1)因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ．
因为四边形 为菱形，所以 ⊥ ．
又因为 ∩ = ， 平面 ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 ⊥平面 ．
(2)连接 ，如图所示：
因为 //平面 ， 平面 ，平面 ∩平面 = ，
所以 // ．
因为 是 中点，所以 是 中点．
因为 ⊥平面 ， = 2，
所以 到平面 1的距离 = 2 = 1．
因为在菱形 中，∠ = 120 ， = 2，
1 1 3所以 = 2 × × × sin 180 120 = 2 × 2 × 2 × 2 = 3，
所以 1 1 = = 3 × △ × = 3 × 3 × 1 =
3
3 ．
(3)由(1)知： ⊥平面 ，
因为 平面 ， 平面 ， 平面 ，
得 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，
故∠ 即为二面角 的平面角．
当 取得最小值时，有 ⊥ ，
又因为 ∩ = ，所以 ⊥平面 ，
又因为 平面 ，所以 ⊥ ．
又因为在菱形 中，∠ = 120 ， = 2，
所以 = 2 + 2 2 cos120 = 2 3， = 3，
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又因为 = 2，
2
所以 = 2 + 2 = 22 + 3 = 7，
1 1
又因为在 中， = 2 × × = 2 × × ，
所以 = 2 217 ．
则在 中，cos∠ = = 21 7 ，
所以二面角 21的余弦值为 7 ．
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