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2024-2025学年河南省郑州市实验中学高一下学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若一个多面体共有条棱，则这个多面体可能是( )
A. 六棱柱 B. 五棱锥 C. 四棱柱 D. 三棱台
2.已知，，，则( )
A. B. C. D.
3.已知，复数在复平面内对应的点位于第一象限，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.在中，，，，则为( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
5.若复数是关于的一元二次方程的一个根，则( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，是的中点，则( )
A. B. C. D.
7.如图，为了测量某塔楼的高度，将一无人机视为质点飞升至离地面高为米的点处时，测得塔尖的俯角为，无人机沿水平方向飞行米后至点处时，测得塔尖的俯角为，则塔尖距离地面( )
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
8.不透明的袋子中装有两个分别标有数字，的红球和四个分别标有数字，，，的黄球，这些球除颜色和数字外完全相同，从袋子中随机取出两个球，则( )
A. 这两个球颜色相同的概率大于颜色不同的概率
B. 至少有一个红球被取出的概率为
C. 这两个球上的数字相同的概率为
D. 这两个球上的数字之积为偶数的概率为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列调查中，适合用抽样调查的是( )
A. 调查某款新能源汽车电池的使用寿命 B. 调查某班学生的身高
C. 调查全国居民使用某款手机的情况 D. 调查飞机零部件的质量情况
10.已知是平面内的两个单位向量，且它们的夹角为，若，且，，则( )
A. B. C. D.
11.如图，在正四棱锥中，分别是的中点，则下列结论正确的是( )
A. 设平面，则
B. 三棱锥与正四棱锥的体积之比为
C. 若，则正四棱锥内切球与外接球的半径之比为
D. 正四棱锥被平面分成的上、下两部分的体积之比为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一组数据，，，，，，的第百分位数为 ．
13.如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，若，则在中， ..
14.在中，，，是的中点，是的内心，则 .
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了提高学生的消防安全意识，某地计划从当地万名中学生中随机选取人参加消防安全知识测试，将他们的得分满分：分分组为，，，，，，并按上述分组方法得到如图所示的频率分布直方图．

求的值；
在参加了消防安全知识测试，且得分在和内的中学生中，按比例采用分层随机抽样的方法抽取人，求抽取的得分在内的学生人数；
若规定得分不低于分的学生的评级为优秀，以参加了消防安全知识测试的中学生为代表，估计当地中学生评级为优秀的人数．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是正方形，．
证明：平面平面；
求平面与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
如图，现有三个质地均匀的骰子，其中正方体骰子六个面分别标以数字到、正四面体骰子四个面分别标以数字到，正八面体骰子八个面分别标以数字到现进行抛骰子游戏，规定：第一次抛掷正方体骰子，记骰子朝上的面上的数字为，若 为奇数，则第二次抛掷正四面体骰子，若为偶数，则第二次抛掷正八面体骰子记第二次抛掷的骰子与地面接触的面上的数字为设事件，事件，事件．
求事件发生的概率；
判断事件，是否相互独立，并说明理由．
18.本小题分
定义：两个多面体，的重合度，其中是多面体，的重合部分的体积，，分别是多面体，的体积如图，在三棱柱中，，分别是棱，上的点不包含端点，且，延长，，分别交，的延长线于点，．
已知且三棱柱的体积为．
求三棱柱与三棱锥重合部分的体积；
求三棱柱与三棱锥的重合度．
若三棱柱与三棱锥的重合度求的值．
19.本小题分
已知锐角三角形的内角的对边分别为，且．
若，求的面积；
求的取值范围；
求的取值范围．
参考答案
1.
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14.
15.解：由图得，解得．
参加了消防安全知识测试的中学生中，得分在内的频率为，
则学生人数为，
得分在内的频率为，则学生人数为，
故抽取的得分在内的学生人数为人
参加了消防安全知识测试的中学生中，得分不低于分的频率为，
以参加了消防安全知识测试的中学生为代表，估计当地中学生评级为优秀的人数为人

16.解：设，则，即底面正方形边长是，等边三角形的边长是，
由，即，则，显然，
又平面，则平面，
又平面，则平面平面．
作垂足为，作，垂足为，连接，
平面平面，，平面，平面平面，
于是平面，由平面，则，
又，平面，则平面，
又平面，则，又，
则为平面与平面所成角，
由，
则

17.解：设第一次抛掷正方体骰子，记骰子朝上的面上的数字为，为奇数为事件，
事件，不是相互独立；
，
，
因为，所以事件，不是相互独立；

18.解：设的面积为，三棱柱的高为，则三棱柱的体积．
作，交于点，连接，
因为平面，平面，所以平面，
因为，且，所以，
又平面，平面，所以平面，
又，所以平面平面，
因为，所以为棱的中点，
则三棱柱的体积，三棱锥的体积．
故三棱柱与三棱锥重合部分的体积．
因为，所以，所以，
所以，所以．
因为，平面，平面，所以平面．
因为平面平面，且平面，
所以，所以，
则，故，
从而三棱锥的体积，
故三棱柱与三棱锥的重合度．
设，则，从而，
故三棱柱的体积，
三棱锥的体积，
故三棱柱与三棱锥重合部分的体积．
因为，所以，所以，
所以，所以．
因为，平面，平面，所以平面．
因为平面平面，且平面，
所以，所以，
则，故，
从而三棱锥的体积，
故三棱柱与三棱锥的重合度．
因为，所以，所以，
所以，解得或或．
因为，所以．

19.解：，则，
结合，故，
又，，故，
故面积为；
由于是锐角三角形，故，结合且，
，
由于对勾函数在单调递减，在单调递增，
或
，当且仅当时取等号，
故当时，，
故，因此，
由于，故
由于，其中为三角形的面积，
同理可得，
因此，
由于，故，
由于，所以，
故

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