资源简介

2024-2025学年湖南省岳阳市岳阳县第一中学高一下学期7月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则复数( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
3.函数的定义域为，则的定义域是( )
A. B. C. D.
4.已知点在平面上，其法向量，则下列点不在平面上的是( )
A. B. C. D.
5.在中，，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，，，是棱的中点，以为折痕把折叠，使点到达点的位置，则当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.已知随机事件和互斥，和对立，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，是异面直线，，是两个不重合的平面，，，那么( )
A. 当，或时，
B. 当时，，或
C. 当，且时，
D. 当，不平行时，与不平行，且与不平行
10.在直角坐标系中，已知点，且，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若点在直线上，则
D. 若在方向上的投影向量的坐标是，则
11.将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，下列说法正确的是( )
A. 当时，为偶函数
B. 当时，在区间上单调递增
C. 当时，在区间上的值域为
D. 当时，函数在区间上有个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，四边形是边长为的正方形，平面，平面，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
13.在中，，，若存在且唯一，则的一个取值为 ．
14.如图，点是棱长为的正方体上底面的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点，，：
若中点为，求过点与的直线方程；
求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程．
16.本小题分
我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年位居民每人的月均用水量单位：吨，将数据按照，，，分成组，制成了如图所示的频率直方图．
求直方图中的值；
设该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数；
估计居民月均用水量的中位数．
17.本小题分
对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．
已知二次函数，，试判断是否为“局部奇函数”，并说明理由；
若为定义在上的“局部奇函数”，求函数在的最小值．
18.本小题分
如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，为底面圆周上异于，的点．
在平面内，过作一条直线与平面平行，并说明理由；
设平面平面，与平面所成角为，当四棱锥的体积最大时，求的取值范围．
19.本小题分
设数列是的一个排列．由中连续项组成的集合称作“的长为的子列集”，其中任取不大于的正整数，当时，若数列的任意长为的子列集和数列的任意长为的子列集，都有，则称数列为“好数列”．
判断下列数列是否为“好数列”：
，，，，；，，，，，．
证明：由的排列构成的所有“好数列”中，存在首项不超过的“好数列”表示不超过的最大整数；
若数列为“好数列”，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.答案不唯一
14.
15.【详解】由题意，的中点，即，由两点式直线方程得直线的方程为：，即；
当过点，且在，轴上的截距为时，直线方程为，即；
设当在，上截距不等于时直线方程为，
将点坐标代入得，即；
综上，直线方程为，过点并且在，轴上截距相等的直线方程为或．

16.【详解】由频率直方图可知，月均用水量在的频率为．
同理，在，，，，，的频率分别为，，，，，．
由，解得．
由知，位居民月均用水量不低于吨的频率为．
由以上样本的频率分布，可以估计万居民中月均用水量不低于吨的人数为．
设中位数为，
因为前组的频率之和为．
而前组的频率之和为，
所以，由，解得，
故可估计居民月均用水量的中位数为．

17.【详解】当时，方程，即有解，
解得，
所以为“局部奇函数”．
当时，可化为
，
令，则，
从而关于的方程在上有解即可保证为“局部奇函数”，
令，
当时，在上有解，
由，即，解得；
当时，在上有解等价于
此时无解．
则所求实数的取值范围是．
令，因为，所以，
则，
令，对称轴为，
当时，在单调递增，所以时，取得最小值，，即时；
当时，时，取得最小值，，
即时，．
综上，当时，；
当时，．

18.【详解】取中点，作直线，则直线即为所求，
取中点，连接，则有，如图，
在等腰梯形中，，有，则四边形为平行四边形，
即有，又平面，平面，
所以平面．
延长交于点，作直线，则直线即为直线，如图，
过点作于，因为平面平面，平面平面，平面，
因此平面，即为四棱锥的高，在中，，
，当且仅当时取等号，此时点与重合，
梯形的面积为定值，四棱锥的体积，
于是当最大，即点与重合时四棱锥的体积最大，，
以为原点，射线分别为轴的非负半轴建立空间直角坐标系，
在等腰梯形中，，此梯形的高，
显然为的中位线，则，
，
设，则
设平面的一个法向量，则，令，得，
则有，
令，则，当时，，
当时，，当且仅当，即时取等号，
综上得，
所以的取值范围是．
【点睛】思路点睛：求空间角的最值问题，根据给定条件，选定变量，将该角的某个三角函数建立起选定变量的函数，求出函数最值即可．

19.【详解】对于：检验可知是“好数列”；
对于：例如，取长为的子列集和长为的子列集，
此时，所以不是“好数列”．
若是“好数列”，可知存在．
令与，
于是集合和也分别是数列和数列的子列集，
又存在，得．
因此．
所以，数列也是“好数列”．
设与中较小者为，则且，
因此，即，于是，
所以存在首项不超过的“好数列”．
的最大值为．
先考虑．
假设存在“好数列”由可知，不妨设．
若，则由长为的子列集和与集合的交集非空，知，
即此“好数列”为：．
又，长为的子列集和与集合的交集非空．
所以且，与矛盾．
若，则由长为的子列集和与集合的交集非空，知；
又与集合的交集非空，知，矛盾；
再考虑假设存在“好数列”．
由可知，不妨设．
若，则由长为的子列集和
与集合的交集非空，知．
又，长为的子列集和与集合的交集非空．
所以且，与矛盾．
若，则由长为的子列集和
与集合的交集非空，知；
又与集合的交集非空，知，
此时，长为的子列集，矛盾．
所以，当时，不存在“好数列”．
又数列，，，，，，是“好数列”．
综上，的最大值为．

第1页，共1页

展开更多......

收起↑