资源简介

2024-2025学年林甸县智研团队高一下学期期末教学质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某数学竞赛小组名同学的初赛成绩分别为：，，，，，则这组数据的( )
A. 众数为 B. 平均数为 C. 方差为 D. 标准差为
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.若甲组样本数据，，，数据各不相同的平均数为，方差为，乙组样本数据，，，的平均数为，则下列说法不正确的是( )
A. 的值为 B. 乙组样本数据的方差为
C. 两组样本数据的样本极差不同 D. 两组样本数据的样本中位数一定相同
4.如图，在山脚处测得山顶的仰角为，朝山顶沿坡度为的斜坡向上走到点处，此时测得山顶的仰角为，则山高为
A. B. C. D.
5.，，为两两不重合的平面，，为不重合的直线，则( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
6.在锐角中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点除端点外，若实数，
满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.平行六面体的六个面都是菱形，那么顶点在平面上的射影一定是的( )
A. 重心 B. 外心 C. 内心 D. 垂心
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数，则( )
A.
B. 的实部与虚部之和等于的实部与虚部之和
C. 的共轭复数为
D. 在复平面内对应的点位于第四象限
10.已知事件，发生的概率分别为，，下列说法正确的是( )
A. 若，则事件，相互独立
B. 若事件，互斥，则
C. 若事件，相互独立，则
D. 若事件发生时事件一定发生，则
11.正方体棱长为，是上的一个动点，下列结论中正确的是( )
A. 当在上运动时，不一定有
B. 当在直线上运动时，三棱锥的体积不变
C. 的最小值为
D. 以点为球心，为半径的球面与平面的交线长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.甲乙两人分别独立抛掷一枚均匀的骰子，甲掷次，乙掷次，设甲投掷出现偶数点的次数为，乙投掷出现奇数点的次数为，则 ．
13.如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为 ．
14.在中，，，分别为的重心和外接圆圆心，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
不透明的袋子中装有个红球，个绿球，这些球除颜色外其他完全相同，每次从袋子中有放回地随机取出个球，且每次绿球被取出的概率为．
求袋子中绿球的个数；
若进行次取球，求这次取出的球的颜色不同的概率．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点．

证明：平面；
已知，，求与平面所成角的大小．
17.本小题分
年月下旬，的模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了名用户的每日使用时长单位：分钟，得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于分钟的用户称为“忠实粉丝”．
求图中的值，并根据频率分布直方图估计该产品用户每日平均使用时长的中位数；
采用分层抽样的方法从样本中使用时长在的用户中随机抽取人．
求应从用户中分别抽取的人数；
从选定的人中随机抽取人作进一步分析，写出这个试验的样本空间用恰当的符号表示；
在的条件下，设事件“随机抽取人中至多有一名为忠实粉丝的人数”，求事件的概率．
18.本小题分
已知在正四棱柱中，，点是的中点．

求证：平面平面；
求异面直线与所成角的余弦值；
求三棱锥的体积．
19.本小题分
如图，已知中，，，直线过的重心，与线段，分别交于点，，设，
证明：为定值，并求出此定值；
求的取值范围；
记，的周长分别为，，设，记，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】袋子中装有个红球，个绿球，从中有放回地随机取出个球，
则绿球被取出的概率为．
由题可知，解得，
故袋子中绿球的个数为．
由题可知，每次绿球被取出的概率为，则每次红球被取出的概率为，
且次取出的球的颜色相互独立．
第一次取出红球，第二次取出绿球的概率为；
第一次取出绿球，第二次取出红球的概率为．
故次取出的球的颜色不同的概率为．

16.【详解】连结，交于点，连结，
因为点分别是的中点，所以，
平面，平面，
所以平面；

因为，，
所以，所以，
如图，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
，，，，
，，，
设平面的法向量为，
所以，令，则，，
所以平面的法向量为，
设与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的大小为．

17.【详解】，解得，
由图可知中位数在内，设中位数为，
则有，
故，即中位数估计为分钟．
时长在内的有人，
时长在内的有人，
由分层随机抽样可知，在区间应抽取人，在区间应抽取人．
设在区间抽取样本记为，，，
在区间抽取样本，记为，，，，
从中任取人，试验的样本空间为：
，
也可这样表示
共个样本点．
设事件“随机抽取人中至多有一名为忠实粉丝的人数”
，
也可这样表示
共个样本点．
，
随机抽取人中至多有一名为忠实粉丝人数的概率为．

18.【详解】由题可得，又平面，平面，故，
而平面，且，
平面，又平面，
所以平面平面．
由知，，

所以为异面直线与所成角或其补角，
正四棱柱中，，
由勾股定理得，
在中，，
由余弦定理，得，
故异面直线与所成角的余弦值为．
因为正方形，所以，，
又在正四棱柱中，平面，
因为平面，所以，
因为平面，所以平面，
所以．
或．

19.【详解】因为，，则，，
因为点是的重心，所以，
因为在直线上，所以，
所以．
在中，由余弦定理，得，
所以．
因为，，，，
由知，所以，则．
因为，所以，
因为，所以当时，的最小值为，当或时，的最大值为，
所以，即的取值范围为．
，
所以，．
设，又，所以，
所以
．
由知，
因为的对称轴为，在上单调递增，
又因为在上也是单调递增，
所以在上单调递增，
所以当时，，当时，，
所以的取值范围为．

第2页，共2页

展开更多......

收起↑