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第10讲 一次函数的图像与性质
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一次函数的图像与性质 理解正比例函数；能画一次函数的图像，根据图像和表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k＜0时图像的变化情况.
一次函数的增减性
一次函数的图像变换
一次函数的解析式的确定 会运用待定系数法确定一次函数的表达式.
一次函数与方程（组）结合 体会一次函数与二元一次方程的关系.
一次函数与不等式（组）结合
知识导航·学法指引
分类研究·深度理解
考点一 一次函数的基础
1.一次函数的基础
正比例函数的定义：一般地，形如的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
一次函数的定义：一般地，形如的函数，叫做一次函数.
【补充】正比例函数是一次函数的特例（当b=0时），即正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数.
一次函数的一般形式：.
特征：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数.
【注意】一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定.
2.待定系数法
待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法.
用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤：
1）设：设一次函数的解析式为；
2）列：将已知条件代入解析式，列出关于k、b的二元一次方程组；
3）解：解二元一次方程组，求出k、b；
4）代：将k、b的值代回所设的函数解析式中.
【典例1】（ 2025·广西）已知一次函数y＝﹣x+b的图象经过点P（4，3），则b＝（　　）
A．3 B．4 C．6 D．7
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出3＝﹣1×4+b，解之即可得出b的值．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+b的图象经过点P（4，3），
∴3＝﹣1×4+b，
解得：b＝7．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b”是解题的关键．
【典例2】在平面直角坐标系中，点（﹣1，y1）和（2，y2）均在函数y＝﹣2x+n的图象上，则（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2
C．y1＝y2 D．以上结论都有可能
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．.
【分析】先根据函数解析式判断出函数的增减性，进而可得出结论．
【解答】解：∵函数y＝﹣2x+n中，k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵﹣1＜2，∴y1＞y2．故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的增减性是解题的关键．
【典例3】（2023·甘肃武威·统考中考真题）若直线（是常数，）经过第一、第三象限，则的值可为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】通过经过的象限判断比例系数k的取值范围，进而得出答案．
【详解】∵直线（是常数，）经过第一、第三象限，
∴，∴的值可为2，故选：D．
【点睛】本题考查正比例函数的图象与性质，熟记比例系数与图象经过的象限之间的关系是解题的关键．
考点二 一次函数的图像与性质
1.正比例函数的图像与性质
正比例函数的图像：正比例函数的图像是经过原点（0，0）的一条直线.
正比例函数的性质：
k的符号 图像 图像的位置 增减性
k＞0 图像经过原点和第一、三象限 y随x增大而增大
k＜0 图像经过原点和第二、四象限 y随x增大而减小
【补充】正比例函数必过点（0,0）、（1，k）.
2.一次函数的图像与性质
一次函数的图像：一次函数的图像是一条直线，通常也称直线.
一次函数的性质：
一次函数
k、b的符号 k＞0 k＜0
b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0
图像
趋势 从左向右看图像呈上升趋势 从左向右看图像呈下降趋势
增减性 y随x增大而增大 y随x增大而减小
与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴
经过的象限 第一、二、三象限 第一、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、四象限 第二、三、四象限
【补充说明】
1）一次函数的位置由k、b共同决定，k的符号决定一次函数的增减性，b的符号决定一次函数与y轴的交点位置.
2）的三角形面积为.
3.k，b的符号与直线的关系
在直线中，令y=0，则x=，即直线与x轴交于
1）当时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
2）当，即b=0时，直线经过原点．
3）当，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
4.正比例函数与一次函数图像的关系
图像关系：正比例函数的图像是经过原点的一条直线，一次函数的图像可由正比例函数的图像平移|b|个单位长度得到.（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移）
常见的变换方式：
平移变换 平移方式（m＞0） 函数解析式
向上平移m个单位
向下平移m个单位
向左平移m个单位
向右平移m个单位
平移口诀：左加有减（只改变x），上加下减（只改变y）.
对称变换 变换方式 变换后
关于x轴对称
关于y轴对称
关于原点对称
对称口诀：关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变.
【典例1】（2025·安徽）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点M（1，2），且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（　　）
A．（﹣2，2） B．（2，1） C．（﹣1，3） D．（3，4）
【解答】解：根据题意，得k＞0，
把M点和（﹣2，2）代入y＝kx+b得，
解得k＝0，
故A选项不符合题意；
把M点和（2，1）代入y＝kx+b得，
解得k＝﹣1，故B选项不符合题意；
把M点和（﹣1，3）代入y＝kx+b得，
解得k，故C选项不符合题意；
把M点和（3，4）代入y＝kx+b得，
解得k＝1，故D选项符合题意．
故选：D．
【典例2】若b＜0，则一次函数y＝﹣x+b的图象大致是（　　）
A．B． C．D．
【考点】一次函数的图象．.
【专题】一次函数及其应用．
【答案】C
【分析】根据一次函数的k、b的符号确定其经过的象限即可确定答案．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+b中k＝﹣1＜0，b＜0，
∴一次函数的图象经过二、三、四象限，
故选：C．
【点评】要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．
【典例3】对于一次函数y＝2x﹣1，下列结论正确的是（　　）
A．它的图象与y轴交于点（0，﹣1） B．y随x的增大而减小
C．当时，y＜0 D．它的图象经过第一、二、三象限
【考点】一次函数的性质．.
【分析】根据一次函数的性质即可作答．
【解答】解：A．当x＝0时，y＝﹣1，则它的图象与y轴交于点（0，﹣1），故本选项符合题意；
B．y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；
C．当时，y＞0，故本选项不符合题意；
D．它的图象经过第一、三、四象限，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
考点三 一次函数与方程（组）、不等式
1.一次函数与一元一次方程
从“数”上看：方程的解 函数中，y=0时对应的x的值
从“形”上看：方程的解 函数的图像与x轴交点的横坐标.
【补充】对于一次函数，已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解.
2.一次函数与二元一次方程组
从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；
从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标.
【补充】
1）二元一次方程组的图像解法：画出两个一次函数的图像，找出它们的交点坐标，即得相应的二元一次方程组的解.
2）确定两条直线交点坐标的方法：联立两个一次函数的解析式，构建二元一次方程组，通过解方程组，即可确定两条直线的交点坐标.
3.一次函数与一元一次不等式
从“数”的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从“形”的角度看：就是确定直线在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件.
利用解一元一次不等式可确定相应的函数值对应的自变量的取值范围，具体的对应关系如下：
1）不等式的解集直线在x轴上方的部分所对应的x的取值范围；
2）不等式的解集直线在x轴下方的部分所对应的x的取值范围；
3）不等式的解集直线在直线上方的部分所对应的x的取值范围；
4）不等式的解集直线在直线下方的部分所对应的x的取值范围.
【补充】不解不等式而直接写出不等式解集的方法：
1）根据图像，求出两直线的交点的横坐标;
2）交点是分水岭，交点左右，哪个图像在上方哪个图像就大，反之亦然.
【典例1】（2023·江苏苏州·统考中考真题）已知一次函数的图象经过点和，则________________．
【答案】
【分析】把点和代入，可得，再整体代入求值即可．
【详解】解：∵一次函数的图象经过点和，
∴，即，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，利用平方差公式分解因式，熟练的利用平方差公式求解代数式的值是解本题的关键．
【典例2】如图，直线y＝kx+b（k、b是常数k≠0）与直线y＝2交于点A（4，2），则关于x的不等式kx+b＜2的解集为　x＜4　．
【分析】结合函数图象，写出直线y＝kx+2在直线y＝2下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：∵直线y＝kx+b与直线y＝2交于点A（4，2），
∴x＜4时，y＜2，
∴关于x的不等式kx+b＜2的解集为x＜4．
故答案为x＜4．
【典例3】（ 2025·北京）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（1，3）和（2，5）．
（1）求k，b的值；
（2）当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既小于函数y＝kx+b的值，也小于函数y＝x+k的值，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）由（1）可得函数y＝kx+b（k≠0）的解析式为y＝2x+1，函数y＝x+k的解析式为y＝x+2，当mx＜2x+1时，则（m﹣2）x＜1，当mx＜x+2时，则（m﹣1）x＜2，根据当x＜1时，两个不等式都成立可得m≥2；当m＝2，x＜1时，2x＜2x+1和x＜2恒成立；当m＞2时，则且，再分当时，则，当时，则，两种情况分别解不等式即可得到答案．
【解答】解：（1）∵在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（1，3）和（2，5），
∴，
解得；
（2）由（1）可得函数y＝kx+b（k≠0）的解析式为y＝2x+1，函数y＝x+k的解析式为y＝x+2，
当mx＜2x+1时，则（m﹣2）x＜1，
当mx＜x+2时，则（m﹣1）x＜2，
∵当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既小于函数y＝kx+b的值，也小于函数y＝x+k的值，
∴m﹣2≥0，且m﹣1≥0，
∴m≥2，
当m＝2，x＜1时，2x＜2x+1和x＜2恒成立，故m＝2符合题意；
当m＞2时，则，
当时，则．
解不等式得m≤3，解不等式m≤3，
∴2＜m≤3；
当时，则，
解不等式得m＞3，解不等式得m≤3，此时不符合题意；
综上所述，2≤m≤3．
【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．
专项训练·深度理解
专项训练十：
（时间：60分钟，总分100分）
一、选择题（本题共10题，每题3分，共30分）
1. （2025·上海·中考真题）下列函数中，为正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数；根据此定义逐一验证各选项是否符合该形式即可．
【详解】解：A：，该函数含常数项“”，不符合正比例函数的形式，不符合题意；
B：，该函数为二次函数（最高次数为2），而正比例函数为一次函数，不符合题意；
C：，该函数可写为，属于反比例函数，不符合一次函数的形式，不符合题意；
D：，该函数可化简为，符合（）的形式，是正比例函数，符合题意；
故答案为：D．
2. 一个矩形的长为3，宽为a，面积为S，则S与a之间的函数关系式为（　　）
A．S＝3a B．S＝6+2a C． D．S＝3a2
【分析】利用矩形的面积＝矩形的长×矩形的宽，可找出S与a之间的函数关系式，此题得解．
【解答】解：∵矩形的长为3，宽为a，面积为S，
∴S与a之间的函数关系式为S＝3a．
故选：A．
【点评】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出S与a之间的函数关系式是解题的关键．
3. 下面四个点中有一个点和其它三个点不在同一个正比例函数图象上，这个点是（　　）
A．（0，0） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（1，2）
【分析】设正比例函数解析式为y＝kx，则：k，然后再利用点的坐标进行判断即可．
【解答】解：设正比例函数解析式为y＝kx，
则：k，
A、∵A（0，0），∴k不受取值影响，
B、∵B（﹣1，2），∴k＝﹣2，
C、∵C（1，﹣2），∴k＝﹣2，
D、∵D（1，2），∴k＝2，
故ABC三点横纵坐标的商相等，因此这三点在同一正比例函数图象上，
故选：D．
【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，关键是掌握正比例函数图象上点的横纵坐标的商等于k．
4. （2025·吉林长春·中考真题）已知点、在同一正比例函数的图象上，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质判断即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵点、在同一正比例函数的图象上，
∴，，
∴，
∵，
∴正比例函数的图象经过二、四象限，当时，当时，
∵，
∴，，
∴选项正确，选项错误，
故选：．
5. 点P（x，y）在直线yx+4上，坐标（x，y）是二元一次方程5x﹣6y＝33的解，则点P的位置在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据一次函数与方程组的关系，列方程组求解．
【解答】解：解方程组得：，∴P（15，），
∴P在第四象限，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与方程组的关系，理解一次函数与方程组的关系是解题的关键．
6. （2025·山东东营·中考真题）一次函数的函数值随的增大而减小，当时的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的增减性可得k的取值范围，再把代入函数，从而判断函数值y的取值范围，即可得出结果．
【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而减小，
∴，
∴当时，，
选项中只有3符合要求，
故选：A．
7. 已知（x1，y1），（x2，y2）是直线y＝﹣2x+2上的两个点，且x1＜x2，下列说法正确的是（　　）
A．若x2＞0，则y1＞0 B．若x2＞0，则y1＜0
C．若x2＜0，则y1＞0 D．若x2＜0，则y1＜0
【分析】根据一次函数的性质和（x1，y1），（x2，y2）是直线y＝﹣2x+2上的两个点，且x1＜x2，可以判断各个选项中的说法是否正确．
【解答】解：∵直线y＝﹣2x+2，
∴y随x的增大而减小，当x＝1时，y＝0，
∵（x1，y1），（x2，y2）是直线y＝﹣2x+2上的两个点，且x1＜x2，
∴若x2＞0，则x1可能大于1，也可能小于1，故无法判断y1的正负，选项A、B均不符合题意；
若x2＜0，则x1＜0，故y1＞0，故选项C符合题意，选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
8. （2025·安徽·中考真题）已知一次函数的图象经过点M，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数过点得出与的关系，再结合随增大而增大得，然后将各选项坐标代入函数，判断是否符合条件 ．本题主要考查了一次函数的性质与图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数中的意义及点坐标与函数解析式的关系是解题的关键．
【详解】∵一次函数过，
把代入得，即．
又随的增大而增大，
．
选项A：点，代入得，
把代入得，
化简得，解得，不满足，舍去．
选项B：点，代入得，
把代入得，
化简得，不满足，舍去．
选项C：点，代入得，
把代入得，
化简得，解得，不满足，舍去．
选项D：点，代入得，
把代入得，
化简得，解得，满足．
综上，只有选项D符合条件，
故选：．
9. （2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键．先根据可得，从而可得，再可得，然后根据一次函数的图象特点即可得．
【详解】解：∵，
∴，
当时，，，与矛盾，
当时，， ，与矛盾，
当时，，，与矛盾，
当时，，，与矛盾，
∴，
∴，
∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：D．
10. （2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，直线分别与轴，轴交于点，，将绕着点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据一次函数解析式求得点的坐标，进而根据旋转的性质可得，，，进而得出，结合坐标系，即可求解．
【详解】解：∵直线分别与轴，轴交于点，，
∴当时，，即，则，
当时，，即，则，
∵将绕着点顺时针旋转得到，
又∵
∴，，，
∴，
延长交轴于点，则，，
∴，

故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，旋转的性质，坐标与图形，掌握旋转的性质是解题的关键．
二、填空题（本题共6题，每题3分，共18分）
11. （2025·湖北）已知一次函数y＝kx+b，y随x的增大而增大．写出一个符合条件的k的值是　1（答案不唯一）　 ．
【解答】解：由题意，∵一次函数y随x的增大而增大，
∴k＞0．
∴不妨设k＝1．
故答案为：1（答案不唯一）．
12. （2025·湖南）甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程s（米）与时间t（秒）的函数关系如图所示，填 　甲　 （“甲”或“乙”先到终点）．
【解答】解：由图象可知，甲用了12秒，乙用了14秒，所以甲先到终点．故答案为：甲．
13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为正方形，点A的坐标为（5，0）．若直线l1：y＝﹣x+b1和直线l2：y＝﹣x+b2（b1≠b2）被正方形OABC的边所截得的线段长度相等，请写出一组满足条件的b1与b2的值 　2与8（答案不唯一）　．
【分析】根据直线l1：y＝﹣x+b1和直线l2：y＝﹣x+b2（b1≠b2）被正方形OABC的边所截得的线段长度相等，可得直线l1：y＝﹣x+b1和直线l2：y＝﹣x+b2（b1≠b2）关于直线AC对称，依此写成一组满足条件的b1与b2的值．
【解答】解：∵据直线l1：y＝﹣x+b1和直线l2：y＝﹣x+b2（b1≠b2）被正方形OABC的边所截得的线段长度相等，
∴直线l1：y＝﹣x+b1和直线l2：y＝﹣x+b2（b1≠b2）关于直线AC对称，
找两点M（1，1）、N（4，4）关于直线AC对称，将坐标代入求出b值即可．
∴满足条件的b1与b2的值为2与8．
故答案为：2与8（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一次函数的性质、正方形的性质，关键是得到直线l1：y＝﹣x+b1和直线l2：y＝﹣x+b2（b1≠b2）关于直线AC对称．
14. 已知一次函数y＝ax+b（a、b是常数，且a≠0），函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … c c+1 c+2 …
y … n ﹣n2﹣n﹣2 m …
则m 　＜　n．（填“＞”、“＝”或“＜”）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质．.
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】＜．
【分析】将n，﹣n2﹣n﹣2作差后，可得出n＞﹣n2﹣n﹣2，即y随x的增大而减小，结合c＜c+2，即可得出m＜n．
【解答】解：n﹣（﹣n2﹣n﹣2）＝n2+2n+2＝（n+1）2+1，
∵（n+1）2≥0，
∴（n+1）2+1＞0，即n＞﹣n2﹣n﹣2，
∴y随x的增大而减小，
又∵当x＝c时，y＝n；当x＝c+2时，y＝m，且c＜c+2，
∴m＜n．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，作差后，找出y随x的增大而减小是解题的关键．
15. 已知函数y，且关于x、y的二元一次方程ax﹣2a﹣y＝0有两组解则a的取值范围是 　﹣1＜a　．
【答案】﹣1＜a．
【分析】通过数形结合，观察图象和函数式进行作答．
【解答】解：∵ax﹣2a﹣y＝0可化简为y＝a（x﹣2），
∴无论a取何值，恒过（2，0），
∴该函数图象随a值不同绕（2，0）旋转，
作出题中所含两个函数图象如下：
经旋转可得：当﹣1＜a时，关于x，y的二元一次方程ax﹣2a﹣y＝0有两组解．
故答案为：﹣1＜a．
【点评】本题考查数形结合，画出图象并分析是本题解题的关键．
16. （2023·浙江杭州·统考中考真题）在“ “探索一次函数的系数与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图像，并得到对应的函数表达式．分别计算，的值，其中最大的值等于_________．

【答案】5
【分析】分别求出三个函数解析式，然后求出，进行比较即可解答．
【详解】解：设过，则有：
，解得：，则；
同理：，
则分别计算，的最大值为值．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，掌握待定系数法是解答本题的关键．
三、解答题（本题共7题，共52分）
17. （6分）已知一次函数y＝kx+b的图象经过（1，5）和（﹣1，1）两点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＝﹣4时，求y的值．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．.
【专题】待定系数法；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把（1，5）和（﹣1，1）两点坐标代入y＝kx+b中，建立方程组，求出k，b的值即可得结果．
（2）令（1）中求得的解析式中x＝﹣4，求出y即可．
【解答】解（1）把（1，5）和（﹣1，1）两点坐标代入y＝kx+b中得，
，解得，
∴一次函数的解析式为：y＝2x+3．
（2）当x＝﹣4时，y＝2×（﹣4）+3＝﹣5，
∴当x＝﹣4时，y的值为﹣5．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及知自变量的值求函数值，熟练掌握待定系数法是解题关键．
18. （6分）（2024 凉山州）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过A（3，6）、B（0，3）两点，交x轴于点C，求△AOC的面积．
【分析】先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出点C坐标，根据三角形面积公式计算面积即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过A（3，6）、B（0，3）两点，
∴，解得，
∴一次函数解析式为y＝x+3，
当y＝0时，x＝﹣3，
∴C（﹣3，0），
∴S△AOC＝＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求解析式关键．
19. （6分）（2024 滨州）如图，四边形AOBC四个顶点的坐标分别是A（﹣1，3），O（0，0），B（3，﹣1），C（5，4），在该平面内找一点P，使它到四个顶点的距离之和PA+PO+PB+PC最小，求P点坐标．
【分析】根据两点之间线段最短，连接OC和AB，它们的交点P即为所求，然后求出直线OC和直线AB的解析式，将它们联立方程组，求出方程组的解，即可得到点P的坐标．
【解答】解：连接OC、AB，交于点P，如图所示，
∵两点之间线段最短，
∴PO+PC的最小值就是线段OC的长，PA+PB的最小值就是线段AB的长，
∴到四个顶点的距离之和PA+PO+PB+PC最小的点就是点P，
设OC所在直线的解析式为y＝kx，AB所在直线的解析式为y＝ax+b，
∵点C（5，4）在直线OC上，点A（﹣1，3），B（3，﹣1）在直线AB上，
∴4＝5k，，
解得k＝，，
∴直线OC的解析式为y＝x，直线AB的解析式为y＝﹣x+2，
∴，解得，
∴点P的坐标为（，），
故答案为：（，）．
【点评】本题考查一次函数的应用、最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，找出点P所在的位置．
20. （8分）表格中的两组对应值满足一次函数，现画出了它的图象为直线，如图．而某同学为观察，对图象的影响，将上面函数中的与交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线．
－1 0
－2 1
（1）求直线的解析式；
（2）请在图上画出直线（不要求列表计算），并求直线被直线和轴所截线段的长；
（3）设直线与直线，及轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出的值．
【答案】（1）：；（2）作图见解析，所截线段长为；（3）的值为或或7
【分析】（1）根据待定系数法即可求解；
（2）根据题意得到直线，联立两直线求出交点坐标，再根据两点间的距离公式即可求解；
（3）分对称点在直线l，直线和y轴分别列式求解即可．
【详解】（1）依题意把（-1，-2）和（0,1）代入，
得，解得，∴直线的解析式为，
（2）依题意可得直线的解析式为，
作函数图像如下：
令x=0，得y=3，故B（0,3），令，解得，∴A（1,4），
∴直线被直线和轴所截线段的长AB=；
（3）①当对称点在直线上时，
令，解得x=,令，解得x=,
∴2×=a-3，解得a=7；
②当对称点在直线上时，则2×（a-3）=，解得a=；
③当对称点在y轴上时，则+（）=0，解得a=；
综上：的值为或或7．
【点睛】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知待定系数法、一次函数的图像与性质及坐标的对称性．
21. （8分）（2023·浙江温州·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点．

(1)求m的值和直线的函数表达式．
(2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值．
【答案】(1)，；(2)
【分析】（1）把点A的坐标代入直线解析式可求解m，然后设直线的函数解析式为，进而根据待定系数法可进行求解函数解析式；
（2）由（1）及题意易得，，则有，然后根据一次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：把点代入，得．
设直线的函数表达式为，把点，代入得
，解得，
∴直线的函数表达式为．
（2）解：∵点在线段上，点在直线上，
∴，，
∴．
∵，
∴的值随的增大而减小，
∴当时，的最大值为．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
22.（8分）（2025·浙江模拟）如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点．
（1）求m的值和直线的函数表达式．
（2）若点在线段上，点在直线上，求的最大值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）把点A的坐标代入直线解析式可求解m，然后设直线的函数解析式为，进而根据待定系数法可进行求解函数解析式；
（2）由（1）及题意易得，，则有，然后根据一次函数的性质可进行求解．
【小问1详解】
解：把点代入，得．
设直线的函数表达式为，把点，代入得
，解得，
∴直线的函数表达式为．
【小问2详解】
解：∵点在线段上，点在直线上，
∴，，
∴．
∵，
∴的值随的增大而减小，
∴当时，的最大值为．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
23. （10分）（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．
(1)求k，b的值；
(2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为，当时，则，当时，则，根据当时，两个不等式都成立可得；当，时，和恒成立；当时，则且，再分当时，则，当时，则，两种情况分别解不等式即可得到答案．
【详解】（1）解：∵在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，∴，解得；
（2）解：由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为，
当时，则，
当时，则，
∵当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，
∴，且，
∴，
当，时，和恒成立，故符合题意；
当时，则且，
当时，则，
解不等式得，解不等式，
∴；
当时，则，
解不等式得，解不等式得，此时不符合题意；
综上所述，．
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第10讲 一次函数的图像与性质
考点展示·课标透视
中考考点 新课标要求
一次函数的图像与性质 理解正比例函数；能画一次函数的图像，根据图像和表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k＜0时图像的变化情况.
一次函数的增减性
一次函数的图像变换
一次函数的解析式的确定 会运用待定系数法确定一次函数的表达式.
一次函数与方程（组）结合 体会一次函数与二元一次方程的关系.
一次函数与不等式（组）结合
知识导航·学法指引
分类研究·深度理解
考点一 一次函数的基础
1.一次函数的基础
正比例函数的定义：一般地，形如的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
一次函数的定义：一般地，形如的函数，叫做一次函数.
【补充】正比例函数是一次函数的特例（当b=0时），即正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数.
一次函数的一般形式：.
特征：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数.
【注意】一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定.
2.待定系数法
待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法.
用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤：
1）设：设一次函数的解析式为；
2）列：将已知条件代入解析式，列出关于k、b的二元一次方程组；
3）解：解二元一次方程组，求出k、b；
4）代：将k、b的值代回所设的函数解析式中.
【典例1】（ 2025·广西）已知一次函数y＝﹣x+b的图象经过点P（4，3），则b＝（　　）
A．3 B．4 C．6 D．7
【典例2】在平面直角坐标系中，点（﹣1，y1）和（2，y2）均在函数y＝﹣2x+n的图象上，则（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2
C．y1＝y2 D．以上结论都有可能
【典例3】（2023·甘肃武威·统考中考真题）若直线（是常数，）经过第一、第三象限，则的值可为（ ）
A． B． C． D．2
考点二 一次函数的图像与性质
1.正比例函数的图像与性质
正比例函数的图像：正比例函数的图像是经过原点（0，0）的一条直线.
正比例函数的性质：
k的符号 图像 图像的位置 增减性
k＞0 图像经过原点和第一、三象限 y随x增大而增大
k＜0 图像经过原点和第二、四象限 y随x增大而减小
【补充】正比例函数必过点（0,0）、（1，k）.
2.一次函数的图像与性质
一次函数的图像：一次函数的图像是一条直线，通常也称直线.
一次函数的性质：
一次函数
k、b的符号 k＞0 k＜0
b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0
图像
趋势 从左向右看图像呈上升趋势 从左向右看图像呈下降趋势
增减性 y随x增大而增大 y随x增大而减小
与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴
经过的象限 第一、二、三象限 第一、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、四象限 第二、三、四象限
【补充说明】
1）一次函数的位置由k、b共同决定，k的符号决定一次函数的增减性，b的符号决定一次函数与y轴的交点位置.
2）的三角形面积为.
3.k，b的符号与直线的关系
在直线中，令y=0，则x=，即直线与x轴交于
1）当时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
2）当，即b=0时，直线经过原点．
3）当，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
4.正比例函数与一次函数图像的关系
图像关系：正比例函数的图像是经过原点的一条直线，一次函数的图像可由正比例函数的图像平移|b|个单位长度得到.（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移）
常见的变换方式：
平移变换 平移方式（m＞0） 函数解析式
向上平移m个单位
向下平移m个单位
向左平移m个单位
向右平移m个单位
平移口诀：左加有减（只改变x），上加下减（只改变y）.
对称变换 变换方式 变换后
关于x轴对称
关于y轴对称
关于原点对称
对称口诀：关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变.
【典例1】（2025·安徽）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点M（1，2），且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（　　）
A．（﹣2，2） B．（2，1） C．（﹣1，3） D．（3，4）
【典例2】若b＜0，则一次函数y＝﹣x+b的图象大致是（　　）
A．B． C．D．
【典例3】对于一次函数y＝2x﹣1，下列结论正确的是（　　）
A．它的图象与y轴交于点（0，﹣1） B．y随x的增大而减小
C．当时，y＜0 D．它的图象经过第一、二、三象限
考点三 一次函数与方程（组）、不等式
1.一次函数与一元一次方程
从“数”上看：方程的解 函数中，y=0时对应的x的值
从“形”上看：方程的解 函数的图像与x轴交点的横坐标.
【补充】对于一次函数，已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解.
2.一次函数与二元一次方程组
从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；
从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标.
【补充】
1）二元一次方程组的图像解法：画出两个一次函数的图像，找出它们的交点坐标，即得相应的二元一次方程组的解.
2）确定两条直线交点坐标的方法：联立两个一次函数的解析式，构建二元一次方程组，通过解方程组，即可确定两条直线的交点坐标.
3.一次函数与一元一次不等式
从“数”的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从“形”的角度看：就是确定直线在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件.
利用解一元一次不等式可确定相应的函数值对应的自变量的取值范围，具体的对应关系如下：
1）不等式的解集直线在x轴上方的部分所对应的x的取值范围；
2）不等式的解集直线在x轴下方的部分所对应的x的取值范围；
3）不等式的解集直线在直线上方的部分所对应的x的取值范围；
4）不等式的解集直线在直线下方的部分所对应的x的取值范围.
【补充】不解不等式而直接写出不等式解集的方法：
1）根据图像，求出两直线的交点的横坐标;
2）交点是分水岭，交点左右，哪个图像在上方哪个图像就大，反之亦然.
【典例1】（2023·江苏苏州·统考中考真题）已知一次函数的图象经过点和，则________________．
【典例2】如图，直线y＝kx+b（k、b是常数k≠0）与直线y＝2交于点A（4，2），则关于x的不等式kx+b＜2的解集为　 　．
【典例3】（ 2025·北京）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（1，3）和（2，5）．
（1）求k，b的值；
（2）当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既小于函数y＝kx+b的值，也小于函数y＝x+k的值，直接写出m的取值范围．
专项训练·深度理解
专项训练十：一次函数的图像与性质
（时间：60分钟，总分100分）
一、选择题（本题共10题，每题3分，共30分）
1. （2025·上海·中考真题）下列函数中，为正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2. 一个矩形的长为3，宽为a，面积为S，则S与a之间的函数关系式为（　　）
A．S＝3a B．S＝6+2a C． D．S＝3a2
3. 下面四个点中有一个点和其它三个点不在同一个正比例函数图象上，这个点是（　　）
A．（0，0） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（1，2）
4. （2025·吉林长春·中考真题）已知点、在同一正比例函数的图象上，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
5. 点P（x，y）在直线yx+4上，坐标（x，y）是二元一次方程5x﹣6y＝33的解，则点P的位置在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6. （2025·山东东营·中考真题）一次函数的函数值随的增大而减小，当时的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
7. 已知（x1，y1），（x2，y2）是直线y＝﹣2x+2上的两个点，且x1＜x2，下列说法正确的是（　　）
A．若x2＞0，则y1＞0 B．若x2＞0，则y1＜0
C．若x2＜0，则y1＞0 D．若x2＜0，则y1＜0
8. （2025·安徽·中考真题）已知一次函数的图象经过点M，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
9. （2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10. （2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，直线分别与轴，轴交于点，，将绕着点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本题共6题，每题3分，共18分）
11. （2025·湖北）已知一次函数y＝kx+b，y随x的增大而增大．写出一个符合条件的k的值是　 　 ．
12. （2025·湖南）甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程s（米）与时间t（秒）的函数关系如图所示，填 　 　 （“甲”或“乙”先到终点）．
13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为正方形，点A的坐标为（5，0）．若直线l1：y＝﹣x+b1和直线l2：y＝﹣x+b2（b1≠b2）被正方形OABC的边所截得的线段长度相等，请写出一组满足条件的b1与b2的值 　 　．
14. 已知一次函数y＝ax+b（a、b是常数，且a≠0），函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … c c+1 c+2 …
y … n ﹣n2﹣n﹣2 m …
则m 　 　n．（填“＞”、“＝”或“＜”）
15. 已知函数y，且关于x、y的二元一次方程ax﹣2a﹣y＝0有两组解则a的取值范围是 　 ．
16. （2023·浙江杭州·统考中考真题）在“ “探索一次函数的系数与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图像，并得到对应的函数表达式．分别计算，的值，其中最大的值等于_________．

三、解答题（本题共7题，共52分）
17. （6分）已知一次函数y＝kx+b的图象经过（1，5）和（﹣1，1）两点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＝﹣4时，求y的值．
18. （6分）（2024 凉山州）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过A（3，6）、B（0，3）两点，交x轴于点C，求△AOC的面积．
19. （6分）（2024 滨州）如图，四边形AOBC四个顶点的坐标分别是A（﹣1，3），O（0，0），B（3，﹣1），C（5，4），在该平面内找一点P，使它到四个顶点的距离之和PA+PO+PB+PC最小，求P点坐标．
20. （8分）表格中的两组对应值满足一次函数，现画出了它的图象为直线，如图．而某同学为观察，对图象的影响，将上面函数中的与交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线．
－1 0
－2 1
（1）求直线的解析式；
（2）请在图上画出直线（不要求列表计算），并求直线被直线和轴所截线段的长；
（3）设直线与直线，及轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出的值．
21. （8分）（2023·浙江温州·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点．

(1)求m的值和直线的函数表达式．
(2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值．
22.（8分）（2025·浙江模拟）如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点．
（1）求m的值和直线的函数表达式．
（2）若点在线段上，点在直线上，求的最大值．
23. （10分）（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．
(1)求k，b的值；
(2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围．
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