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2024-2025学年河南省信阳市固始县永和高中联考高一下学期期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数是虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，，则( )
A. B. C. D.
3.已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，且该圆锥的母线是底面半径的倍，若的面积为，则该圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
4.已知随机事件和相互独立，且，则( )
A. B. C. D.
5.在中，角，，的对边分别是，，，且，，则的面积为 ．
A. B. C. D.
6.在平行四边形中，，，，是以为圆心，为半径的圆上一动点，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.若是定义在上的偶函数，对，当时，都有，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.给白炽灯加上一个不透光材料做的灯罩，可以降低或消除白炽灯对眼睛造成的眩光，某一灯罩的防止眩光范围，可用遮光角来衡量遮光角是指灯罩边沿和发光体边沿的连线与水平线所成的夹角，图中灯罩的遮光角满足若图中，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图是某企业年至年的污水净化量单位：吨的折线图，则( )
A. 这组数据的中位数等于平均数
B. 这组数据的第百分位数是
C. 污水净化量逐年递增
D. 去掉年的污水净化量数据后，新数据的标准差会变小
10.函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 在上单调递减
C. 直线为的一条对称轴
D. 若为偶函数，则
11.如图，在正方形中，点分别是线段上的动点不含端点，且与交于点现将四边形沿直线折起，使平面平面，则( )
A.
B. 与所成角为定值
C. 为定值
D. 存在点，使得直线与平面所成角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.甲、乙两名射手射击同一目标，且命中目标与否相互独立，已知甲、乙击中目标的概率分别为和，若他们各射击一次，则目标被击中的概率是 ．
13.向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则 ．
14.已知是边长为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上．若球心到平面的距离为，则球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，，，为坐标原点．
求向量与的夹角；
求的面积．
16.本小题分
五一期间昆明蓝花楹盛开，吸引了很多游客，现随机采访了名来欣赏蓝花楹的游客，并将这人按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示：
求样本数据的第百分位数；
估计这名游客的平均年龄同一组中的数据用该组中的中点值代表．
17.本小题分
如图，在正三棱柱中，已知，，是棱的中点．

求证：平面；
该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积．
18.本小题分
已知函数．
当取什么值时，函数取得最大值，并求其最大值
若为锐角，且，求的值．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，底面，，点在棱上．

求证：平面平面；
若平面，求；
当取得最小值时，求二面角的余弦值．
参考答案
1.
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4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】由题意，因为，
所以，解得，
所以，
所以向量与的夹角的余弦值为，
故向量与的夹角为；
因为，与的夹角为，
所以的面积为．

16.【详解】由频率分布直方图可知，
样本中数据落在的频率为，
设第百分位数为，易得位于和之间，
则有：，解得．
设名游客的平均年龄为，由图可知，
，
故这名游客的平均年龄约为岁．

17.【详解】证明：连接，交于点，则为中点，连接，如图所示，

在中，因为分别为的中点，所以，
又因为面，且面，所以平面；
解：在正三棱柱中，因为，且，
可得正三棱柱的体积为，
又由三棱锥的体积为，
所以剩余部分的体积为．

18.【详解】，
，
．
当，即时，函数取得最大值，其值为．
，．
．
为锐角，
．
．

19.【详解】因为平面，平面，所以．
因为四边形为菱形，所以．
又因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面．
连接，如图所示：

因为平面，平面，平面平面，
所以．
因为是中点，所以是中点．
因为平面，，
所以到平面的距离．
因为在菱形中，，，
所以，
所以．
由知：平面，
因为平面，平面，平面，
得，，，
故即为二面角的平面角．
当取得最小值时，有，
又因为，所以平面，
又因为平面，所以．
又因为在菱形中，，，
所以，，
又因为，
所以，
又因为在中，，
所以．
则在中，，
所以二面角的余弦值为．

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