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2024-2025 学年河南省项城市第三高级中学高一下学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数 满足 + = 8 4i，那么 =( )
A. 3 + 4i B. 3 4i C. 3 + 4i D. 3 4i
2.已知点 ( 4,3)是角 终边上的一点，则 sin( ) =
A. 35 B.
3 4 4
5 C. 5 D. 5
3.“ = ”是“| | = | |”的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件
4.在 中，内角 , , 的对边分别为 , , 7， = 2, = 3, cos = 4 ，则 =( )
A. π π 5π π 5π6 B. 3 C. 6 D. 6或 6
5.若一圆弧的长等于其所在圆的内接正三角形的边长，那么其圆心角的弧度数是
A. B. 2 3 3 C. 3 D. 2
6.要得到函数 = 2cos 的图象，只需将函数 = 2cos 2 + π4 的图象上所有的点作( )
A. π横坐标伸长到原来的 2 倍，再向右平行移动4个单位长度；
B. π横坐标伸长到原来的 2 倍，再向右平行移动8个单位长度；
C. 1 π横坐标缩短到原来的2倍，再向右平行移动4个单位长度；
D. 1 π横坐标缩短到原来的2倍，再向左平行移动8个单位长度
7.函数 = 2| |的图象大致是( )
A. B. C. D.
8.化橘红具有散寒燥湿，利气消疾，止咳、健脾消食等功效．如图，小明为了测量一棵老橘红树的高度，
他选取与树根部 在同一水平面的 、 两点，在 点测得树根部 在西偏北 30°的方向上，沿正西方向步行 20
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米到 处，测得树根部 在西偏北 75°的方向上，树梢 的仰角为 30°，则树的高度是( )
A. 10 6 B. 10 3 10 3 10 6米 米 C. 3 米 D. 3 米
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若 1, 2 是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是( )
A. 1 2, 2 1 B. 2 1 2, 1
1
2 2
C. 2 2 3 1, 6 1 4 2 D. 1 + 2, 1+ 3 2
10.(多选)已知函数 ( ) = 1 + 1( > 0, ≠ 1)的图象恒过点 ，则下列函数图象也过点 的是( )
A. = 1 + 2 B. = | 2| + 1 C. = log2(2 ) + 1 D. = 2 1
11.下列各式中，计算结果为 1 的是( )
A. sin75 cos15 + cos75 sin15 B. cos222.5 sin222.5

C. 3 tan151+ 3tan15 D.
tan22.5
1 tan222.5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 1.已知角 为第二象限角，且满足 sin + cos = 2，则 sin cos 的值为 ．
→
13.已知向量 = 1, 3 ，向量 在 1上的投影向量为 2 ，则 =
14 ∠ = π.在 中， 4， = 2， = 2，若 为 中点，则 长为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 = 7 + 8 是关于 的方程 2 + + = 0 的一个根，其中 ， 为实数．
(1) 求 的值；
(2)设复数 1 = + 4 满足 1 是纯虚数，求实数 的值．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2sin + 1．
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(1)求不等式 ( ) > 0 的解集；
(2)若不等式 ≤ ( ) ≤ 对 ∈ + 恒成立，求 1 21 2 2 ．
17.(本小题 15 分)
如图，在 中， = 4， = 2， 为 边上一点，且 = 2 ．
(1)设 = + ，求实数 ， 的值；
(2)若 与 π的夹角为 3，求 的值．
18.(本小题 17 分)
→ →
在 中，角 ， ， 所对的分别为 ， ， .向量 = 3 , ， = sin , cos ，且 /\ !/ ．
(1)求 的大小；
(2)若 = 3，sin = 2sin ，求 ， 的值．
(3)若 = 2， = 7，求 的面积
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = log 4 2 +4 ( > 0, ≠ 1, ≠ 2)是定义在( 2,2)上的奇函数．
(1)求 (0)和实数 的值；
(2)当 > 1 时，若 ( )满足 ( 2 2) + (3 2) < 0，求实数 的取值范围；
(3)若 0 < < 1，问是否存在实数 ，使得对定义域内的一切 ，都有 ( + 2) + (1 + 2) > 0 恒成立？
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 7 12 /2 7
13. 2
14. 262
15.解：(1)对于实系数一元二次方程 2 + + = 0( ≠ 0)，若复数 是方程的根，则其共轭复数 也是方
程的根．
已知 = 7 + 8 是方程 2 + + = 0( , 为实数)的一个根，
那么 的共轭复数 = 7 8 也是该方程的根．
根据韦达定理，在一元二次方程 2 + + = 0 中，两根之和 + = ，两根之积 · = ．
计算 的值： + = 7+ 8 7 8 = 14，所以 = 14，即 = 14．
计算 的值： · = ( 7 + 8 )( 7 8 ) = 49 64 2，
因为 2 = 1，所以 · = 49 + 64 = 113，所以 = 113．
113
所以 = 14．
(2)已知 1 = + 4 ，计算 1· ：
1· = ( + 4 )( 7 + 8 ) = 7 32 + (8 28)
因为 1· 是纯虚数，根据纯虚数的定义：实部为 0，虚部不为 0．
7 32 = 0
则有 8 28 ≠ 0
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解 7 32 = 0 32，可得 = 7
= 32 8 × 32 28 = 452当 7时， 7 7 ≠ 0，满足条件．
32
所以实数 的值为 7．
16. 1 π 7π解：(1)令 ( ) = 2sin + 1 > 0，即 sin > 2，可得 2 π 6 < < 2 π + 6 , ∈ ，
π 7π
所以不等式 ( ) > 0 的解集为 2 π 6 , 2 π + 6 , ∈ ．
(2)因为 1 ≤ ( ) ≤ 2 对 ∈ 恒成立，
可知 1 , 2 分别为 ( )的最小值和最大值，
2 π π+2 π+π
则 1 = 2
π
1π 2 , 2 = 2 2π +
π
2 , 1, ∈
1+ 2 = 1 22 ，可得 2 22 2 = 1 + 2 π, 1, 2 ∈ ，

所以 1+ 22 = 2sin 1 + 2 π + 1 = 1, 1, 2 ∈ ．
17.解：(1)因为 = 2 ，所以 = 2 ，
2
所以 = 3
+ 1 2 13 ，故 = 3， = 3．
(2) = ，
故 = 23
+ 1 3

2 2 2= + 1 + 1 3 3 3
= 2 × 42 + 1 2 1 π3 3 × 2 + 3 × 4 × 2 × cos 3 = 8．
18.解：(1)因为 = ( 3 , )， = (sin , cos )，且 // ，
所以 3 cos sin = 0，
由正弦定理，得 3sin cos sin sin = 0，
又 ∈ (0, π), sin ≠ 0，
所以 3cos sin = 0，从而 tan = 3，
因为 0 < < π π，所以 = 3．
(2) 2 = 2 + 2 2 cos = 2 + 2 = 9，
又 sin = 2sin ，即 = 2 ，
3 2 = 9，解得 = 3, = 2 3．
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(3)由余弦定理，得 2 = 2 + 2 2 cos ，
π
而 = 2， = 7， = 3，得 7 = 4 +
2 2 ，即 2 2 3 = 0，
因为 > 0，所以 = 3，
1 1
故 的面积 = 2 sin = 2 × 2 × 3 ×
3 = 3 32 2 ．
19. (1) 4 2×0解： 依题意， (0) = log ×0+4 = log 1 = 0，
又 ( )是( 2,2)上的奇函数，则 ( ) = ( ) log 4 2( ) 4 2 ，即 ( )+4 = log +4，
4+2
亦即log +4 = log
+4 2 2 2
4 2 ，整理得 16 4 = 16 ，于是
2 = 4，而 ≠ 2，
所以 = 2．
(2) 4 2 4 2 +8 8由(1)知， ( ) = log 2 +4 = log 2 +4 = log ( 2 +4 1)( > 0, ≠ 1)，
显然函数 = 82 +4 1 在( 2,2)上单调递减，
由奇函数性质及 ( 2 2) + (3 2) < 0，得 ( 2 2) < (3 2) = (2 3 )，
当 > 1 时，函数 = log 在(0, + ∞)上单调递增，则 ( )在( 2,2)上单调递减，
不等式化为 2 < 2 3 < 2 2 < 2 4，解得 1 < < 3，
(3)假定存在实数 ，对定义域内的一切 ，都有 ( + 2) + (1 + 2) > 0 恒成立，
即 (1 + 2) > ( + 2) = ( 2)恒成立，
当 0 < < 1 时，由(2)知函数 ( )在( 2,2)上单调递增，
1 + 2 > 2 2 + + 3 > 0
不等式化为 2 < 1+ 2 < 2，整理得 3 < 2 < 1 ,
2 < 2 < 2 4 < < 0
于是有 3 < 2 < 1 对任意 4 < < 0 恒成立，则 3 2 < <
1
2，
4 < < 0 3 3 1 1 3 1当 时， 2 ∈ ( ∞, 16 ), 2 ∈ ( 16 , + ∞)，因此 16 ≤ ≤ 16；
有 2 + + 3 > 0 对任意 4 < < 0 恒成立，设 ( ) = 2 + + 3，
①当 > 0 时，函数 ( ) = 2 + + 3 1的图象开口向上，对称轴 = 2 < 0，
( 4) = 16 1 ≥ 0
( )当 = 1 12 > 0 1 1 1，即 < 12时，必有 12 ≤ 4
，则16 ≤ < 12；
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( )当 = 1 12 = 0，即 = 112时， ( ) =
1
12
2 + + 3 = 112 ( + 6)
2 > 0 在 ∈ ( 4,0)上恒成立，则 =
1
12；
( )当 = 1 12 < 0 1 1，即 > 12时， ( ) > 0 在 ∈ ( 4,0)上恒成立，则 > 12；
②当 ≤ 0 时， ( 4) = 16 1 ≤ 1 < 0，不满足 ( ) > 0 在 ∈ ( 4,0)上恒成立，
3 1 1
综上得 16 ≤ ≤ 16且 ≥ 16，
1
所以存在 = 16使得对定义域内的一切 ，都有 ( + 2) + 1 +
2 > 0 恒成立．
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