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2024-2025 学年河南省天立教育高一下学期 7 月期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 = 2 + 3i，则复平面内复数 对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知向量 = ( , 1)， = (4, 2)，若 // ，则 =( )
A. 2 B. 2 C. 1 12 D. 2
3.书架上有 2 本体育杂志和 3 本文学杂志，从中任意挑选 2 本，则挑选的杂志类型相同的概率为( )
A. 1 1 2 110 B. 5 C. 5 D. 2
4.设 的内角 , , 的对边分别为 , , ，若 = 32 , = 2 ，则 sin =( )
A. 7 3 2 2 14 B. 4 C. 3 D. 3
5.设 、 是两条不同的直线， 、 、 是三个不同的平面．下列命题中正确的命题是( )
A.若 ⊥ ， ⊥ ，则 // B.若 // ， // ，则 //
C.若 // ， ⊥ ， ⊥ ，则 // D.若 ⊥ ， // ，则 ⊥
→ → → → →
6.在 2 1中， = 3 ，点 在 上，若 = + 3 ，则 =( )
A. 23 B.
4 5 6
5 C. 6 D. 7
7.已知事件 ， 满足 ( ) = 0.5, ( ) = 0.2，则( )
A.若 ，则 ( ) = 0.5
B.若 与 互斥，则 ( + ) = 0.7
C.若 与 相互独立，则 = 0.1
D.若 ( ) + ( ) = 1，则 与 相互对立
8.已知正方体 1 1 1 1的棱长为 1， 为棱 1 1的中点，则四棱锥 的外接球表面积为( )
A. 3 2 B. 3 C.
41 41
16 D. 64
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 = (3, 1), = (1,2)，则下列选项正确的是( )
A. ⊥ B. + = 17
→ →
C.已知 = ( , 1)，若 // ，则 = 3 D. 2与 夹角的余弦值为 5
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10.某中学举行化学知识竞赛，其中 6 个小组的比赛成绩分别为：71，85，76，88，89，96，则这组数据
的( )
A.极差为 25 B.中位数大于平均数
C.方差为 65 D.百分之二十五分位数为 76
11.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 2， ， 分别是 ， 1的中点，点 是底面 内一动点，
则下列结论正确的为( )
A.存在点 ，使得 //平面 1 1
B.过 ， ， 三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形
C.异面直线 1与 所成的角的大小为60
D.若 1 //平面 1 1，则点 的轨迹的长度为 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.某大学共有教师 1000 人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为 1：4：3：2，现用分层抽样的方
法从全校所有教师中抽取一个容量为 40 的样本，讲师应抽取的人数为 ．
13.在△ 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，若( + )2 2 = 6，且 = 60°，则 的值为 ．
14.长方体 1 1 1 1中， 1 = 1 1 = 2， = 1， 是 1 1的中点，则直线 与平面 1 1所
成角的正切值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 = ( , 1)， = ( 2,3)， = (6, 1)．
(1)若 ⊥ ，求实数 的值，并求 的值；
→ → →
(2)若 4 + // ，求实数 的值．
16.(本小题 15 分)
(1)已知 ∈ ，若 = + i 2 + i 为纯虚数，求 的值．
(2)设复数 1 = 2 i ∈ R ， 2 = 1 + i.若 1 +

2是实数，求
1
；2
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(3)已知复数 满足 + = 8 + 4i，求 ．
17.(本小题 15 分)
某学校对全体高中学生组织了一次关于亚运会相关知识的测试.从全校学生中随机抽取了 100 名学生的成绩
作为样本进行统计，测试满分为 100 分，并将这 100 名同学的测试成绩分成 5 组，绘制成了如图所示的频
率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中 的值，并估计这 100 名学生的平均成绩；
(2)用样本频率估计总体，如果将频率视为概率，从全校学生中随机抽取 3 名学生，求 3 名学生中至少有 2
人成绩不低于 80 分的概率．
18.(本小题 17 分)
举办网络安全宣传周 提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容.为提高广大学生的网
络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队 2 人，每人回答一个问题，回答
正确积 1 分，回答错误积 0 分.甲 乙两个班级的代表队在决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率均为
1 2 1
2，乙队两人回答问题正确的概率分别为3 , 3，且两队每个人回答问题正确的概率相互独立．
(1)求甲队总得分为 1 分的概率；
(2)求两队积分相同的概率．
19.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中，四边形 为正方形， ⊥平面 ，且 = = 2， 为 中点．
(1)证明： //平面 ；
(2)证明：平面 ⊥平面 ；
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(3)求二面角 的正弦值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.12
13.2
14.2 1717 /
2
17 17
15.【详解】(1)由 ⊥ ，得 2 + 3 = 0 3，解得 = 2，
∴ = 32 , 1 ，
∴ = 32 × 6 1 = 8．
(2) ∵ 4 + = 4( , 1) + (6, 1) = (4 + 6,3)，
又 4 + // ，则(4 + 6) × 3 = ( 2) × 3，
解得 = 2．
所以实数 的值为 2．
16.【详解】(1)因为 = ( + i)( 2 + i) = 2 + 2i 2i + i2 = 3 + 2 2 i 为纯虚数，
所以 3 = 0 且 2 2 ≠ 0，解得 = 0；
(2)因为 1 = 2 i ∈ R ， 2 = 1 + i，
所以 1 + 2 = 3 + (1 )i，又∵ 1 + 2是实数，
∴ 1 = 0，即 = 1，则 1 = 2 i，
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所以 1
2 i 2 i 1 i 1 3i
=2 1+i
= 1+i 1 i = 2 ；
(3)因为 ∈ R，且 + = 8 + 4i，因此可设 = + 4i, ∈ R，
则 = 4i, ∈ R，
由题意可得 + 4i + 2 + ( 4)2 = 8 + 4i，所以 + 2 + 16 = 8，
解得 = 3，即 = 3 + 4i．
17.【详解】(1)由频率分布直方图可得每组的频率依次为 0.15,10 , 0.2,0.35,0.05，
0.25
则 0.15 + 10 + 0.2 + 0.35 + 0.05 = 1，解得 = 10 = 0.025，
设平均成绩的估计值为 ，
则 = 55 × 0.15 + 65 × 0.25 + 75 × 0.2 + 85 × 0.35 + 95 × 0.05 = 74(分)，
所以这 100 名学生的平均成绩估计值为 74 分．
(2)每个学生成绩不低于 80 分的概率为 0.4．
3 名学生中恰有 2 人成绩不低于 80 分的概率 1 = 3 × 0.42 × (1 0.4) = 0.288；
3 名学生中恰有 3 人成绩不低于 80 分的概率 32 = 0.4 = 0.064；
3 名学生中至少有 2 人成绩不低于 80 分的概率 = 1 + 2 = 0.352．
18.【详解】(1)记“甲队总得分为 1 分”为事件 ，甲队得 1 分，则一人回答正确，另一人回答错误，
所以 ( ) = 1 1 12 × 1 2 + 1 2 ×
1 = 12 2；
(2)由题意可知：甲队积 0 分，1 2 1 1 1分， 分的概率分别为4 , 2 , 4，
2 5 2
乙队积 0 分，1 分，2 分的概率分别为9 , 9 , 9，
记两队积分同为 0 分，1 分，2 分的分别为事件 , , ，
因为两队得分相互独立，互不影响，
1 2 1 1 5 5 1 2 1
则 ( ) = 4 × 9 = 18 , ( ) = 2 × 9 = 18 , ( ) = 4 × 9 = 18，
7
所以两队积分相同的概率为 ( ∪ ∪ ) = ( ) + ( ) + ( ) = 18．
19.【详解】(1)如图，连接 交 于 ，连接 ，
是正方形，则 是 中点，又 为 中点，
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所以 // ，又因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ；
(2)因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = , , 平面 ，
所以 ⊥平面 ，而 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ；
(3)分别以 , , 为 , , 轴建立空间直角坐标系，如图，
(0,0,0), (2,2,0), (0,2,0), (0,0,2)，从而 (0,1,1)，
所以 = (0,1,1)， = (2,2,0)，
设平面 的一个法向量是 = ( , , )，
= + = 0
则 ，取 = 1 得 = (1, 1,1)， = 2 + 2 = 0
易知平面 的一个法向量是 = (0,0,1)，
cos , = 1 3 = 3×1 = 3 ，
3 3 6
所以二面角 的余弦值为 3 ，从而正弦值为 1 (
2
3 ) = 3 ．
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