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2024-2025 学年河北省雄安新区雄安十校高一下学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数 = 2 + 3i，则复数 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.样本数据 3,6,9,8,4,5 的中位数为( )
A. 5.5 B. 6 C. 6.5 D. 7
3.若 sin(5π ) = 23 ，则 sin =( )
A. 7 2 2 73 B. 3 C. 3 D. 3
4 3.已知事件 ， 互斥， ( ∪ ) = 5，且 ( ) = 3 ( )，则 ( ) =( )
A. 17 B. 11 9 320 20 C. 20 D. 20
5.已知正四棱台的上、下底面边长分别为 2，4，体积为 28，则该正四棱台的侧棱长为( )
A. 7 B. 10 C. 11 D. 13
6.已知 ， ， 的平均数与方差均为 3，则 2， 2， 2的平均数为( )
A. 9 B. 12 C. 15 D. 20
7.已知圆 为 的外接圆，且 + = 2 π，∠ = 3， = 2，则 =( )
A. 1 B. 2 C. 2 3 D. 4
8.已知 的内角 , , ，的对边分别为 ， ， ，内角 的平分线 交 边于点 .若 = 2， = 1，( + +
)( + ) = ，则 =( )
A. 7 B. 3 73 7 C. 2 D.
7
3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 3.某 机器人投送包裹，成功投放一次包裹的概率为7 .若它连续尝试投送两次，则( )
A.事件“两次都成功投放”与“恰好成功一次”是互斥事件
B.事件“两次都未成功投放”与“至少成功一次”是对立事件
C.事件“第一次成功投放”与“两次都成功投放”相互独立
D. 33该机器人至少成功投放一次的概率为49
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10.函数 ( ) = sin( + )( > 0, > 0,0 < < π)在一个周期内的图象如图所示，且函数 ( )过点
(0, 3)，则( )
A. = 1 B. = π3
C. ( )在区间[ 5π12 ,
π π
12 ]上单调递增 D. 3 为奇函数
11.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 2，点 在线段 1 上运动，则( )
A.三棱锥 1 的体积为定值
B. 1与平面 1 所成角的正弦值随着点 从 1移动到 越来越大
C. 1 + 的最小值为 6 + 2
D.当点 为 1 的中点时，过点 作正方体外接球的截面，所得截面面积的最小值为 2π
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = ( ,3)， = ( 1,2)，若 ⊥ ，则 = ．
13 5i.已知复数 = 2+i，则| | = ．
14.已知正三棱锥的底面边长为 3 3，侧棱长 2 3，则该三棱锥的外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 3sin2 12 cos2 cos
2 + 12．
(1)求函数 ( )的单调递增区间；
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(2) ( ) [0, 3π求函数 在区间 4 ]上的值域．
16.(本小题 15 分)
某学校为保障校园科创社团成员以良好身体素质开展创新实践，对“航模社”和“建模社”进行专项体能
训练.学期末，从两个社团各随机抽取 100 人进行“障碍跑”成绩测试(成绩单位：秒)，依据测试结果得到
如下频率分布直方图．
(1)分别计算航模社测试的平均成绩、建模社测试成绩的 72％分位数(同一组中数据用该组区间中点值近似
代替)；
(2)若测试成绩在 70 秒以内(含 70 秒)为“体能合格”，从两社团“体能合格”成员中按分层随机抽样选 5
人分享“科创+体能”训练经验，再从这 5 人中选 2 人担任经验分享会主持人，求 2 人都来自“建模社”
的概率．
17.(本小题 15 分)
如图，在圆锥 中， 为底面圆 的直径， ， 为圆 上不与 ， 重合的点，且 = = 2， = 3，
⊥ ．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求异面直线 与 所成角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
2 2 2
已知 的内角 ， ， cos cos + 的对边分别为 ， ， .若 cos = 2 2 ．
(1)判断 的形状，并说明理由；
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(2)若 是斜三角形， 是 的中点，且 = 6， = 4，求 sin ．
19.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中，底面四边形 为菱形，∠ = 60°， 与 交于点 ， ⊥平面 ，
= 3，点 为 的中点，点 是线段 上的动点.当 //平面 时， = 1．
(1)求 ；
(2)求点 到平面 的距离；
(3) 设 = ，探究当 为何值时，直线 与平面 所成的角最大．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.6
13. 5
14.48π
15. (1) 1 1解： 因为 ( ) = 3sin2 2 cos2 cos
2 + 2
1 1+ cos2 1
= 3sin2 2 cos2 2 + 2
= 3sin2 cos2
3 1
= 2 2 sin2 2 cos2
= 2sin 2 π6 ，
由 2 π π2 ≤ 2
π
6 ≤ 2 π +
π
2 , ∈ Z ，
π
即 π 6 ≤ ≤ π +
π
3 , ∈ Z ，
π π
所以函数 ( )的单调递增区间为：[ π 6 , π + 3 ] ∈ Z ．
(2) 3π π因为 0 ≤ ≤ 4，所以 6 ≤ 2
π 4π
6 ≤ 3 ，
sin 2 π 3所以 6 ∈ 2 , 1 ，
所以 2sin 2 π6 ∈ 3, 2 ，
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( ) [0, 3π所以函数 在区间 4 ]上的值域为：[ 3, 2]．
16.解：(1)根据题意，(0.016 + 0.024 + 0.032 + + 0.008) × 10 = 1，解得 = 0.020，
(0.002 + 0.058 + 0.024 + + 0.006) × 10 = 1，解得 = 0.010，
则航模社测试的平均成绩 = 0.16 × 55 + 0.24 × 65 + 0.32 × 75 + 0.20 × 85 + 0.08 × 95 = 73，
设建模社测试成绩的 72％分位数为 ，又[50,60)的频率为 0.02，
[60,70)的频率为 0.58，[70,80)的频率为 0.24，
其中 0.02 + 0.58 = 0.6 < 0.7，0.02 + 0.58 + 0.24 = 0.84 > 0.7，
所以 在[70,80)之间，
则( 70) × 0.024 = 0.72 0.02 0.58 = 0.12，解得 = 75，
所以建模社测试成绩的 72％分位数为 75．
(2)根据题意，航模社“体能合格”的人数为(0.16 + 0.24) × 100 = 40 人，
建模社“体能合格”的人数为(0.02 + 0.58) × 100 = 60 人，
故航模社“体能合格”与建模社“体能合格”的人数之比为 40: 60 = 2: 3，
则按分层随机抽样从航模社抽取 2 人，分别为 1, 2 ，建模社抽取 3 人，分别为 1, 2, 3 ，
再从这 5 人中选 2 人担任经验分享会主持人共有：
1, 2 , 1, 1 , 1, 2 , 1, 3 , 2, 1 ，
2, 2 , 2, 3 , 1, 2 , 1, 3 , 2, 3 ，共 10 种选择，
其中 2 人都来自“建模社”有 1, 2 , 1, 3 , 2, 3 3 种选择，
2 3人都来自“建模社”的概率为10．
17.解：(1)连接 ，延长 交 于点 ，由 为底面圆 的直径，得 ⊥ ，
由 = 2, = 3，得 = 1，∠ = 30 , ∠ = 60 ，
又 ⊥ ，则 平分 ，∠ = 2∠ = 60 ，
又 = ，则 为正三角形， 是其中心，
于是 是 中点， ⊥ ，
而 ⊥平面 ， 平面 ，则 ⊥ ，
又 ∩ = , , 平面 ，所以 ⊥平面 ．
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(2)由(1)知， 是 中点，取 的中点 ，连接 , ，则 // , // ，
∠ 是异面直线 与 所成的角或其补角， = = 2 + 2 = 5，
1 1
= 1 = 5 , = 1 = 5 , = 1 = 1，cos∠ = 2 = 4 52 2 2 2 2 2 = ，5 10
2
所以异面直线 5与 所成角的余弦值为10．
18.解：(1)由余弦定理得 2 + 2 2 = 2 cos ，
cos cos 2 cos cos
故 cos = 2 2 = ，
即 cos cos = cos cos ，由正弦定理得 sin cos cos = sin cos cos ，
即 cos sin cos sin cos = 0，即 cos sin( ) = 0，
π
所以 cos = 0 或 sin( ) = 0，所以 = 2或 = ，
所以 为等腰三角形或直角三角形；
(2)因为 是斜三角形，由(1)知 = ，即 = ，
设 = ，由题意可得 = = 2 ，
2 2 2 2 2
在 中，由余弦定理可得 cos = + 16+4 4 12 = 2×4×2 = ，
cos =
2+ 2 2 16+ 2 36 2 20
由 中，由余弦定理可得 2 = 2×4× = 8 ，
1 2= 20 7所以 8 ，解得 = 2 7，负值舍去，所以 cos = 14，
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又 0 < < π，可得 sin = 1 cos2 = 3 2114 ．
19.解：(1)在四棱锥 中，取 中点 ，连接 , ，由点 为 的中点，
得 // , = 12 ，点 在菱形 边 上，则 // // ，
平面 ∩平面 = ，而 //平面 ， 平面 ，
1
因此 // ，四边形 为平行四边形，2 = = = 1，
所以 = = 2．
(2)在菱形 中，∠ = 60°，则 = = 3 = ，由 ⊥平面 ，
, 平面 ，得 ⊥ , ⊥ ， = 2 + 2 = 6，
= = 2 + 2 = 2 1 1 1 1 15， = 2 ( )2 2 2 = 2 6 2 10 = 2 ，
3 2 = 4 = 3，设点 到平面 的距离为 ，由 = ，
1
得3 =
1 15
3 ，即 2 = 3 3 =
2 15
，解得 5 ，
2 15
所以点 到平面 的距离为 5 ．
(3)设直线 与平面 所成的角为 ，由 // ， 平面 ， 平面 ，
得 // 2 15平面 ，则点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离 5 ，
2 15
因此 sin = 5 = 2 15 5 ，函数 = sin 对锐角是递增的，要使 最大，当且仅当 最小，即 ⊥ ，
而 ⊥平面 ， 平面 ，则 ⊥ ，又 ∩ = ，
, 平面 ，于是 ⊥平面 ，而 平面 ，则 ⊥ ，
= cos60 = 12， =
= 1 4，
所以当 = 14时，直线 与平面 所成的角最大．
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