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2024-2025 学年六安市毛坦厂中学教育集团高一下学期期末联考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 为虚数单位，则 2 + 3i 4 i =( )
A. 10i B. 11 + 10i C. 11i D. 10 + 11i
2.已知向量 = 1, 1 ， = (1, )，若 ⊥ ，则 2
= ( )．
A. 3 B. 2 C. 5 D. 5
3.下列说法错误的是( )
A.为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式
B.频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值
C.抽签法和随机数法是两种常用的简单随机抽样的方法
D.某种疾病的治愈率为 10%，若前 9 个病人没有被治愈，则第 10 个病人一定被治愈
4.已知水平放置的四边形 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中 ′ ′// ′ ′，∠ ′ ′ ′ =
90°, ′ ′ = 2, ′ ′ = 4，则原四边形 的面积为( )
A. 24 2 B. 12 2 C. 6 2 D. 3 2
5.已知 , 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线，则下列说法正确的是( )
A.若 ⊥ , ⊥ , // ，则 //
B.若 // , // , , ，则 //
C.若 // , , ∩ = ，则 //
D.若 ⊥ , ⊥ , ⊥ ，则 //
6.某中学高一年级有 600 名男学生，400 名女学生，现用分层随机抽样的方法调查了 50 名高一学生的身
高.若样本中男生身高的平均数和方差分别为 172 和 9，女生身高的平均数和方差分别为 162 和 14，则估计
高一年级学生的平均身高和方差分别为( )
A. 168，35 B. 168，20 C. 169.6，35 D. 169.6，20
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7.已知一组数据 1，2，3，4， (0 < < 5)的平均数与中位数相等，从这 5 个数中任取 2 个数，则这 2 个
数字之积小于 5 的概率为( )
A. 15 B.
2
5 C.
1
2 D.
3
5
8 2 7.已知三棱锥 的棱长均为 2，点 在 内，且 = 3 ，则点 的轨迹的长度( )
A. 1 1 23π B. 2π C. 3π D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一组样本数据如下：62，63，65，65，65，66，67，67，68，69，则这组数据的( )
A.众数为 65 B.极差为 7
C.平均数为 65.4 D. 80%分位数为 67.5
10.已知 ， ， 是一个随机试验中的三个事件，则下列结论一定正确的是( )
A.若事件 ， ， 两两互斥，则 ( ∪ ∪ ) = ( ) + ( ) + ( )
B.若事件 ， ， 相互独立，则 与 也相互独立
C.若 ( ) > 0， ( ) > 0，则事件 ， 相互独立与互斥能同时成立
D.若 ， ， 两两独立，则 ( ) = ( ) ( ) ( )
11.如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中，点 为 的中点，点 是正方形 1 1内的一点(包
含边界)，则下列说法正确的是( )
A.正方体 1 1 1 1的外接球的表面积为 12π
B. 5二面角 1 的正切值为 5
C. 1 的周长的最小值为 2 6 + 2 2
D.若 1 //平面 1 ，则点 的轨迹长度为 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若圆台上、下底面直径分别为 2 和 4，高为 3，则此圆台的体积为 ．
13.某高一班级有 40 名学生，在一次物理考试中统计出平均分数为 70，方差为 95，后来发现有 2 名同学
的成绩有误，甲实得 70 分却记为 50 分，乙实得 60 分却记为 80 分，则更正后的方差是 ．
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14.已知 的内角 ， π + ， 的对边分别为 ， ， ，且 = 3， = 3，则sin +sin = ； 的外
接圆的圆心是 ，则 ( + )的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知甲、乙两人进行围棋挑战赛，先胜两局的一方赢得比赛，每局比赛不考虑平局，并且前一局先手的一
2
方，下一局比赛将作为后手．在每一局比赛中若甲方先手，则该局甲获胜的概率为3；若甲方后手，则该局
2
甲获胜的概率为5．
(1)求双方需要进行第三局比赛的概率；
(2)若第一局比赛乙先手，求甲赢得比赛的概率．
16.(本小题 15 分)
如图，在三棱柱 1 1 1中， ， 分别是 ， 1 1的中点．
(1)证明：平面 1 //平面 1 ；
(2)若三棱柱 1 1 1为直三棱柱，且棱长均为 2，求异面直线 1 与 1所成角的正弦值．
17.(本小题 15 分)
某企业以“庆祝春节，迎接新年”为主题的职工歌手大赛决赛如期举行，满分 100 分，共有 100 人参赛，
将参赛歌手的成绩分成如下五组：第一组[50,60)，第二组[60,70)，第三组[70,80)，第四组[80,90)，第五组
[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，求 的值及参赛歌手的平均成绩(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)根据频率分布直方图，求参赛歌手成绩的 40％分位数；
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(3)从参赛成绩在[50,60)和[90,100]的歌手中，采用分层随机抽样方法抽取 6 名歌手，再从抽取的这 6 名歌
手中随机抽取 2 名歌手，求这 2 名歌手比赛成绩在[50,60)和[90,100]内各 1 人的概率．
18.(本小题 17 分)
已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且( )( + ) = ( )．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 2， = 3 3，点 是边 上的一点，且 = 2 .求 的长；
(3)若 是锐角三角形， = 1，点 为 的中点，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， // , ⊥ ， = = = 2, = 4．
(1)证明： ⊥平面 ；
(2)求二面角 的大小；
(3)点 是棱 上的动点(不包括端点)，求直线 与平面 所成角的正切值的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.7 3π3
13.85
14.2；3
15.解：(1)若双方需要进行第三局比赛，则前两局比赛中双方各胜一局，
因为前两局比赛中，双方各先手一次，
2 3 1 2 8
故双方需要进行第三局比赛的概率 = 3 × 5 + 3 × 5 = 15．
(2)记第 局甲获胜为事件 ( = 1,2,3)，甲赢得比赛为事件 ，则 包含的所有事件为 1 2, 1 2 3, 1 2 3，
且这 3 个事件之间两两互斥，
由 = 21 2 5 ×
2 4
3 = 15，
= 2 × 1 × 21 2 3 5 3 5 =
4
75，
31 2 3 = 5 ×
2 × 2 = 43 5 25，
( ) = + + = 4 + 4 + 4 = 12得 1 2 1 2 3 1 2 3 15 75 25 25．
16.解：(1)证明：因为 ， 分别是 ， 1 1的中点，所以 1 = ， 1 // ，
所以四边形 1 是平行四边形，所以 1 // ，
又 1 平面 1 ， 平面 1 ，所以 //平面 1 ，
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连接 ，由棱柱的性质，可知 // 1, = 1,所以四边形 1 为平行四边形，所以 // 1, =
1，又 1// 1, 1 = 1，
所以 // 1， = 1，
所以四边形 1 是平行四边形，所以 1// ，
又 平面 1 ， 1 平面 1 ，所以 1//平面 1 ，
因为 ∩ 1 = ， , 1 平面 1 ，所以平面 1 //平面 1 ．
(2)解：由(1)知 1 // ，所以异面直线 1 与 1所成角为∠ 1(或其补角)，
因为三棱柱 1 1 1为直三棱柱，所以 1 ⊥平面 1 1 1，
因为 1 ， 1 1 平面 1 1 1，所以 1 ⊥ 1 ， 1 ⊥ 1 1，
所以 = 22 + 12 = 5， 1 = 2 2， 1 = 3，
所以 2 + 21 = 21，即 ⊥ 1，
所以在 Rt 1中，sin∠ 1 =
6
4 ，
6
即异面直线 1 与 1所成角的正弦值为 4 ．
17.解：(1)第一至第五组对应的频率分别为 0.010 × 10 = 0.1；0.015 × 10 = 0.15；
0.040 × 10 = 0.4； × 10 = 10 ；0.005 × 10 = 0.05，
所以 0.1 + 0.15 + 0.4 + 10 + 0.05 = 1，解得 = 0.030，
所以参赛歌手的平均成绩为 0.1 × 55 + 0.15 × 65 + 0.4 × 75 + 0.3 × 85 + 0.05 × 95 = 75.5 分.
(2)由 0.1 + 0.15 = 0.25 < 0.4，0.1 + 0.15 + 0.4 = 0.65 > 0.4，
40 70 + 0.4 0.25得参赛歌手成绩的 ％分位数为 0.4 × 10 = 73.75 分.
(3)由 0.1: 0.05 = 2: 1 2，得这 6 人中参赛成绩在[50,60)的人数为 6 × 3 = 4 人，分别记为 ， ， ， ；
在[90,100]的人数为 6 4 = 2 人，分别记为 ， ．
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在这 6 个人中抽取 2 个人，共( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，
( , )，( , )，( , )，( , )，15 个基本事件，
这 2 名歌手比赛成绩在[50,60)和[90,100]内各 1 人，共( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，
( , )，8 个基本事件，
故这 2 8名歌手比赛成绩在[50,60)和[90,100]内各 1 人的概率为15．
18.解：(1)在 中，由( )( + ) = ( )，得 2 + 2 2 = ，
2+ 2 2
由余弦定理得 cos = 2 =
1
2，而 0 < < π，
= π所以 3．
(2)由(1)得 = 2 + 2 = 22 + 32 2 × 3 = 7，
由点 3 3是边 上的一点，且 = 2，得 = 5 =
3 7
5 ，
2 2 2 2 2 2
在 , △ + + 中，由余弦定理得 cos = 2 = 2 ，
7[32 + ( 3 7 )2 2] = 3 7即 2 2 2 6 35 5 [3 + ( 7) 2 ]，所以 = 5 ．
0 < < π
(3) 2 π π 3在锐角 中， 2π π，则6 < < ，tan > ，0 < < 2 33 2
sin sin( +
π
3)由正弦定理得 = = 1 3 cos 1 3 1 1sin sin = 2+ 2 sin = 2 + 2 tan ∈ ( 2 , 2)，
= 1在 中，点 为 的中点， 2 ，
1 1 1 1
由余弦定理得 = ( 2 2 22 ) + 1 2 2 1 2 = 2 ( 1) + 3 ∈ [
3
2 , 1),
3
所以 的取值范围是[ 2 , 1)．
19.解：(1) /\ !/ , ⊥ , = = 2，
所以∠ = ∠ = ∠ = π4 , = 2 2，
所以在 中，由余弦定理得
= 2 + 2
π 2
2 cos 4 = 8 + 16 4 2 × 4 × 2 = 2 2
所以 2 + 2 = 2，所以 ⊥
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因为 ⊥底面 ， 平面 ，所以 ⊥ ．
又 ∩ = , , 平面 ，所以 ⊥平面 ．
(2)取 的中点 ，过点 作 ⊥平面 ， 交平面 于点 ，连接 ．
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以平面 ⊥平面 ．
因为平面 ∩平面 = , ⊥ ，所以 ⊥平面 ．
因为 平面 ，所以 ⊥ ．
因为 = = 2, = ，所以 ⊥ , = 2
又 ， 平面 ， ∩ = ，所以 ⊥平面 ．
因为 /\ !/ , 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ，
所以点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，所以 = 2
由(1)知 ⊥平面 ，因为 平面 ，所以 ⊥ ．
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ．
又 ， 平面 ， ∩ = ，所以 ⊥平面 ．
因为 平面 ，所以 ⊥ ．
由 ⊥ , ⊥ ，平面 ∩平面 = ，知∠ 是二面角 的平面角的补角．
由 = 2, = 2 2, ⊥ ，得∠ = π6．
5π
所以二面角 的大小为 6．
(3)过点 作 平行于 ，交 于点 ，连接 ．
因为 ⊥平面 ， ， 平面 ，所以 ⊥ , ⊥ ．
因为 /\ !/ ，所以 ⊥ , ⊥ ．
因为 ∩ = ， ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
所以 与底面 所成的角为∠ ．
设 = 0 < < 2 2 2 ，所以 2 = ，即 2 = 2 2，所以 = 2 , = + 8．
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2
1
所以 tan∠ = 2 = = ． 2+8 2 1+ 8
2
由函数 = 1 1单调递增，得 0 < tan∠ < ：
2 1+ 8 2
2
1
所以直线 与平面 所成角的正切值的取值范围为 0, 2 ．
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