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2024-2025 学年山东省青岛第二中学高一下学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某学校有男生 2000 名和女生 1000 名，为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方
法从该校学生中抽取一个容量为 的样本，已知从男生中抽取 100 名学生，则 为( )
A. 150 B. 200 C. 250 D. 300
2.已知圆锥的底面周长为16π，侧面积为80π，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为( )
A. 2 B. 48 C. 50 D. 96
3.已知两个不同的平面 ， 和两条不重合的直线 ， ，则下列说法正确的是( )
A.若 // ， ∩ = ，则 //
B.若 ∩ = ，且 与平面 、 所成的角相等，则 ⊥
C.若 ⊥ ， ， ，则 ⊥
D.若 ， 为异面直线，且 ， // ， ， // ，则 //
4.抽样调查得到 20 个样本数据，记作 1, 2, , 20，样本数据的平均数为 9，方差 5.现去掉一个最大值 13
和一个最小值 5，产生一组新数据，关于这组新数据，下列说法错误的是( )
A.中位数一定不变 B.极差一定变小 C.方差一定变小 D.平均数一定不变
5.已知事件 ， ， 满足： ( ) = 0.3， ( ) = 0.5，则下列结论正确的为( )
A.若 ( ) + ( ) = 1，则 与 相互对立
B.若 ，则 ( ) = 0.5
C.若事件 与 相互独立，则 ( ∪ ) = 0.65
D.若事件 与 相互独立，则 = 0.15
6.若 , ∈ 2,3,4,8,9 ，则log 为整数的概率为( )
A. 3 3 8 225 B. 10 C. 25 D. 5
7.在复平面中， 为坐标原点， 1， 2， 所对应的复数分别为 1， 2， ，且 = 3 1 + 4 2， 1 2 的面
积为 ，则 1 2 的面积为( )
A. 18 B.
1
6 C. 6 D. 8
8.在 中，2026sin2 = sin2 + sin2 tan +tan tan ，则 tan tan =( )
A. 12026 B.
1
2025 C.
1 2
1013 D. 2025
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 1, 2 ∈ ，下列说法中正确的有( )
A. 1若 1 + ∈ ，则 = 1 B.若
2
1 1 = 22，则 1 = 2
1
C.若 1 2 = 0，则 1 = 0 或 2 = 0 D.若 1 = 2，则 1 + 2 ∈
10.如图，在 中， 是 的中点， 是 上一点，且 = 2 ，下列结论正确的有( )
A. + + = 0
B. +
2
=
C.过点 作一条直线与边 ， 分别相交于点 ， ，若 = 3 ， 5
= (0 ≤ ≤ 1)，则 = 34
D. 23若 是边长为 4 的正三角形， 是边 上的动点，则 的取值范围是 12, 4
11.在棱长为 4 的正方体 1 1 1 1中，点 为 1 1的中点，点 在线段 1上运动，点 在线段
上运动，点 在正方形 1 1 1 1内(包含边界)运动，则下列结论正确的有( )
A.直线 1 与平面 1 1所成角为定值
B.三棱锥 1
6
1外接球球心到平面 1的距离为 3
C. 2 + 2 的最小值为 8
D. 3 2 5若 //平面 1 ，则异面直线 1与 所成角的余弦值取值范围是 3 , 5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知函数 ( ) = cos(2 + )( > 0)，将曲线 = ( )向左平移 2 个单位长度后，所得图象关于原点对
称，则 的最小值为 ．
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13.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中描述了一种五面体——刍甍( ú é )，其底面为矩形，顶
棱和底面矩形的一组对边平行.现有如图所示——刍甍， // ，侧面 和 为等边三角形，且与
底面所成角相等；若 = = 4， 到底面 的距离为 3，则该刍甍的体积为 ．
14.对于没有重复数据的样本 1, 2, , ，记这 个数的第 百分位数为 (1 ≤ ≤ 99, ∈ ).若在区间
60, 80 中的样本数据有且只有 13 个，则 的所有可能值的和为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 = ( , 1)， = (1,2)
(1)若 + ⊥ 3 ，求 + 2 ；
(2)若向量 = (2,1)， // ，求 与 2 夹角的余弦值．
16.(本小题 15 分)
2 2 2
已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且(2 )cos = + 2 ．
(1)求 ；
(2)若∠ 的平分线交 于 ，且 + 3 = 0，求 的值．
17.(本小题 15 分)
某公司生产某种产品，从生产的正品中随机抽取 1000 件，测得产品质量差(质量差=生产的产品质量 标准
质量，单位： )的样本数据统计如下．
(1)求 的值：
(2)公可从生产的正品中按产品质量差进行分拣，若质量差在 , + 范围内的产品为一等品，其余为
二等品.其中 ， 分别为样本平均数和样本标准差．
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( )根据计算可得 ≈ 10，若产品的质量差为 38 ，试判断该产品是否属于一等品，并说明理由；
(ⅱ)若公司包装时要求，4 件一等品和 2 件二等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中随机摸出 2 件产
品进行检验，求摸出 2 件产品中至少有 1 件一等品的概率．
18.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形，平面 ⊥平面 ，且 = 4， = 8， = 4 5，
⊥ ．
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)当 = 4 时，求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)当 2 ≤ ≤ 4 时，求二面角 的正切值的取值范围．
19.(本小题 17 分)
给定两组数据 = 1, 2, , 与 = 1, 2, , ，称 ( , ) =

=1 为这两组数据之间的“差异
量”.在一次比赛中， 位选手的实际排名为 = (1,2, , ).同学们在不知道选手实际排名的前提下，根据自
己的经验预测选手们的排名为 1, 2, , ，其中集合 1, 2, , = 1,2, , .记 = 1, 2, , ，用
与 的差异量 ( , ) = =1 来反映预测的准确程度．
(1)当 = 3 时，写出满足 ( , ) = 4 的 的所有可能情况；
(2)甲、乙两位同学同时预测，甲的预测结果为 ，乙的预测结果为 ，已知 ( , ) = ， ( , ) = ，则 ( , )
是否可能大于 + 若可能，请给出一个例子，若不可能，请说明理由：
(3)证明：对于任意 ∈ +， ( , )的值一定为偶数．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. π10
13.16 3
14.345
15.解：(1)由于向量 = ( , 1)， = (1,2)，故 + = ( + 1,1)，3 = (3,6)，
由 + ⊥ 3 ，得 + 3 = 0，
即 3( + 1) + 6 = 0，解得 = 3，则 + 2 = ( 1,3)，
故 + 2 = 10，
(2)由于向量 = ( , 1)， = (2,1)， // ，则 + 2 = 0, ∴ = 2，
则 2 = ( 4, 5)，故| | = 4 + 1 = 5, | 2 | = 16 + 25 = 41，
2

2 = 13 = 13 205故 与 夹角的余弦值为 ．
| || 2 | 5× 41 205
2+ 2 216. (1) (2 )cos = (2 )cos = 2 cos 解： 由 2 ，得 2 ，
即(2 )cos = cos ，则 2sin sin cos = sin cos ，
则 2sin cos = sin cos + sin cos ，即 2sin cos = sin( + ) = sin ，
由于 ∈ 0, π , sin ≠ 0 cos = 1，故 2，
∈ 0, π π，故 = 3；
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(2)由∠ 的平分线交 于 ，可得 = + ，
1
即2 sin =
1 × sin∠ + 12 2 × sin∠ ，
即 sin π π3 = × sin 6 + × sin∠
π
6，则 3 = ( + )，
结合 + 3 = 0，得 + = ( + ), ∴ = 1．
17.解：(1)由图可知，(0.01 + 0.02 + + 0.02 + 0.005) × 10 = 1，解得 = 0.045；
(2)( )该产品属于一等品，理由如下：
由图可得， = (11 × 0.01 + 21 × 0.02 + 31 + 41 × 0.02 + 51 × 0.005) × 10 = 30，
所以一等品的质量差为 , + = (30 10,30 + 10) = (20,40)，
因为 20 < 38 < 40，所以该产品属于一等品；
(ⅱ)设 4 件一等品为 , , , ，2 件二等品为 1，2，
则质检员从箱子中随机摸出 2 件产品的样本空间为
= ( , ), ( , ), ( , ), ( , 1), ( , 2), ( , ), ( , ), ( , 1), ( , 2), ( , ), ( , 1), ( , 2), ( , 1), ( , 2), (1,2) 共 15 个
样本点，
设 =“摸出的 2 件产品中至少有 1 件一等品”，
则 = ( , ), ( , ), ( , ), ( , 1), ( , 2), ( , ), ( , ), ( , 1), ( , 2), ( , ), ( , 1), ( , 2), ( , 1), ( , 2) 共 14 个样本
点，
所以 ( ) = 1415．
18.解：(1)由 = 4， = 8， = 4 5，可知 2 + 2 = 2，
故 ⊥ ；
又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
故 ⊥平面 ， 平面 ，故 ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = , , 平面 ，
故 ⊥平面 ， 平面 ，
故平面 ⊥平面 ；
(2)由(1)知 ⊥平面 ， 平面 ，
故 ⊥ ，而 ⊥ ，底面 是平行四边形，
= 4， = 8，故 = = 82 42 = 4 3，
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1 1 = 2 = 2 × 4 × 8 = 16；
设点 到平面 的距离为 ，
由 1 = = 2 ，
1
得3 × 16 =
1
2 ×
1 1 1
3 = 2 × 3 × 4 × 4 × 4 3 =
32 3
3 ，
解得 = 2 3，

设直线 与平面 所成角为 ，则 sin = ，而 =
2 + 2 = 8，
故 sin = 2 3 38 = 4 ；
(3)作 ⊥ 于 ，作 ⊥ 于 ，连接 ，
由于平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
平面 ，故 ⊥平面 ， 平面 ，
故 ⊥ ，而 ⊥ ， ∩ = , , 平面 ，
故 ⊥平面 ，则∠ 即为二面角 的平面角；
设 = ，2 ≤ ≤ 4，则 2 ≤ ≤ 4，
= 2 + 2 = 16 + 2，
1 1 4 由于 = 2 × = 2 × ，可得 = ，16+ 2
1 1 × 4×8 8 5又 = 2 × = 2 × ，则 = = 4 5 = 5 ，
2
故在 Rt 中， = 2 2 = 4 64 5 16+ 2 ，
2
设∠ = ，则 tan = 4 1 5 16+ = ×16+ 2 4 64 2
= 5 = 5 ，
64 2 64
2
1
2 ≤ ≤ 4 4 ≤ 64 ≤ 16 3 5 15由于 ，故 2 ，则 3 ≤ ≤ 3 ，64
2 1
即二面角 3 15的正切值的取值范围为 3 , 3 ．
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19.解：(1)当 = 3 时， = (1,2,3)；
当 = (1,2,3)时， ( , ) = |1 1| + |2 2| + |3 3| = 0，不合题意；
当 = (1,3,2)时， ( , ) = |1 1| + |3 2| + |2 3| = 2，不合题意；
当 = (2,1,3)时， ( , ) = |2 1| + |2 2| + |3 3| = 1，不合题意；
当 = (2,3,1)时， ( , ) = |2 1| + |3 2| + |1 3| = 4，符合题意；
当 = (3,2,1)时， ( , ) = |3 1| + |2 2| + |1 3| = 4，符合题意；
当 = (3,1,2)时， ( , ) = |3 1| + |1 2| + |2 3| = 4，符合题意；
故满足 ( , ) = 4 的 的所有可能情况为(2,3,1)、(3,2,1)、(3,1,2)；
(2)由题意知 ( , ) = =1 = ， ( , ) = =1 = ，
( , ) = =1 ，
由于 + = + ≥ ，
故 =1 + =1 ≥ =1 ，即 ( , ) + ( , ) ≥ ( , )，
即 + ≥ ( , )，即 ( , )不可能大于 + ；
(3)由题意知 = 1, 2, , 为 1,2, , 的一个排列，
, 均为正整数，定义 = ，
则 = =1 =1

=1 = 0；(因为

=1 , =1 皆为 1,2,3, , 的和)
考虑 ( , ) = =1 =

=1 的奇偶性，
当 ≥ 时， = ；当 < 时， = ；
故 与 具有相同的奇偶性，
故 =1 和 =1 除以 2 的余数相同，而

=1 = 0，
故 =1 必为偶数，即对于任意 ∈ +， ( , )的值一定为偶数．
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