资源简介

2024-2025 学年济南西城实验中学高一下学期 7 月阶段性学情检测
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 i 4 2i是虚数单位，复数 满足 1 + 2i = ，则 的实部为( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
2.已知 , , 表示不同的直线， ， 表示不同的平面，给出下面四个命题：
(1)若 // ， ，则 // ；(2)若 ∩ = ， ， ， // ，则 // ；
(3)若 // ， ，则 // ；(4) ⊥ ， ，则 ⊥ ．
上面四个命题正确的有( )
A. (1)，(3) B. (2)，(4)
C. (1)，(2)，(4) D. (1)，(3)，(4)．
3.盒中有 5 只螺丝钉，其中有 2 只是不合格的，现从盒中随机地抽取 3 个，那么恰有两只不合格的概率是( )
A. 130 B.
3
10 C.
1 1
3 D. 2
4.一组数据 1, 2, 3, , 10满足 1 = 2(2 ≤ ≤ 10)，若去掉 1, 10后组成一组新数据.则新数据与原数
据相比( )
A.极差变大 B.平均数变大 C.方差变小 D.第 25 百分位数变小
5.如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20000m，
速度为 900km/h，飞行员先看到山顶的俯角为 30°，经过 80s 后又看到山顶的俯
角为 75°，则山顶的海拔高度为( )
A. 5000 3 + 1 m B. 5000 3 1 m
C. 5000 3 3 m D. 5000 5 3 m
6.如图， 与 的面积之比为 2，点 是 内任意一点(含边界)，且 = + ，则 +
的取值范围为( )
A. [1,3] B. [1,2] C. [2,3] D. [1,4]
第 1页，共 10页
7.如图是底面半径为 3 的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点 滚动，当这个圆锥在
平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了 3 周，则( )
A.圆锥的母线长为 18 B.圆锥的表面积为 27
C.圆锥的侧面展开图扇形圆心角为 60° D.圆锥的体积为 18 2
8 sin π = cos2 . 中， 2 ，则 的取值范围是( )
A. 1, 1 B. 1 1 1 2 1 22 3 , 2 C. 2 , 3 D. 3 , 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 1.已知事件 ， 发生的概率分别为 ( ) = 2， ( ) =
1
3，则下列说法正确的是( )
A.若 与 互斥，则 ( + ) = ( ) + ( ) = 56
B. ( + ) = 2若 与 相互独立，则 3
C.若 与 相互独立，则 = 13
D. 1若 发生时 一定发生，则 ( ) = 6
10.下列说法正确的是( )
A. = | |2， ∈
B. i2024 = 1
C. 若 1 = 1 + ，则 = 1 i，
D.若 4 + 3i 是关于 的方程 2 + + = 0( , ∈ )的根，则 = 8
11.已知圆台 1上、下底面的半径分别为 2 和 4，母线长为 4.正四棱台上底面 1 1 1 1的四个顶点在圆台
上底面圆周上，下底面 的四个顶点在圆台下底面圆周上，则( )
A. 1 ⊥
B.二面角 1 的大小为60
C.正四棱台 1 1 1 1的外接球的表面积为 64π
D.设圆台 1的体积为 1，正四棱台
1 π
1 1 1 1的体积为 2，则 =2 2
第 2页，共 10页
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知某运动员每次射击击中目标的概率都为 60%.现采用随机模拟的方法估算该运动员射击 4 次至少 3
次击中目标的概率，先由计算器给出 0 到 9 之间取整数的随机数，指定 0，1，2，3 表示没有击中目标，4，
5，6，7，8，9 表示击中目标.以 4 个随机数为一组，代表射击 4 次的结果，经随机模拟产生了 20 组如下
的随机数：
7327 0293 7140 9857
0347 4373 8636 6947
1417 4698 0371 6233
2616 8045 6011 3661
9597 7424 7610 4281
根据以上数据估计该运动员射击 4 次至少击中 3 次的概率为 ．
13.记 的三个内角 , , ，且 = 4， = 6，若 是 的外心， 是角 的平分线， 在线段
上，则 = ．
14.古希腊数学家托勒密于公元 150 年在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理：圆的内接凸四边形的
两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知平面凸四边形 外接圆半径为 1，
2
sin∠ : sin∠ : sin∠ = 3: 5: 7.则(1) = ；(2) 的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知在 中， = = 1， , 分别为边 , 上的点，且 = , 2 = ．
(1)若∠ = 90°，用向量方法求证： ⊥ ；
(2)延长 到 ，若 = + (2 ) ( 为常数)， = 6，求 的长度．
16.(本小题 15 分)
某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、
杀球以及半场计时往返跑)考核，满分 100 分.参加考核的学生有 40 人，考核得分的频率分布直方图如图所
示．
(1)由频率分布直方图，求出图中 的值，并估计考核得分的第 60 百分位数：
第 3页，共 10页
(2)为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，
从得分在[70,90)内的学生中抽取 5 人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自[70,80)和[80,90)
的概率：
(3)现已知直方图中考核得分在[70,80)内的平均数为 75，方差为 6.25，在[80,90)内的平均数为 85，方差为
0.5，求得分在[70,90)内的平均数和方差．
17.(本小题 15 分)
为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投 1 个球．先由其中一人投篮，若投
篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，
1
则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为2，乙每次投篮命
1
中的概率为3，且两人每次投篮的结果均互不干扰．
(1)求甲、乙投篮总次数不超过 4 次时，乙获胜的概率；
(2)求比赛结束时，甲恰好投了 2 次篮的概率．
18.(本小题 17 分)
在锐角 中， ， ， 分别是内角 ， ， 的对边，且 = 2．
(1)若 = π3，求 周长的最大值．
(2)设 cos = cos + 63 ，sin( ) =
10
10 ．
(ⅰ)求 外接圆的半径 ；
(ⅱ)求 的面积．
19.(本小题 17 分)
空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 2π与多面
体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个
π π
顶点均有 3 个面角，每个面角均为3，故其各个顶点的曲率均为 2π 3 × 3 = π.如图，在直三棱柱
1
2π
1 1中，点 的曲率为 3， ， 分别为 ， 1的中点，且 = ．
第 4页，共 10页
(1)证明： ⊥平面 1 1；
(2)若 1 = 2 ，求二面角 1 1的余弦值；
(3)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面
体的顶点数为 ，棱数为 ，面数为 ，则有： + = 2.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率(多
面体有顶点的曲率之和)是常数．
第 5页，共 10页
参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12. 7【答案】20/0.35
13.【答案】12
14.【答案】 3； ； ； ；
60
； 49
15.【答案】解：(1)证明：因为 = ，所以 = + = + 1 2 ．
又因为 2 = ，所以 = + 1 1 3 = + 3
= 1 + 2 3 3 ．
因为∠ = 90°, = = 1，所以 = 0．
所以 = + 1 1 + 2 = 1
2
1 + 1
2
2 3 3 3 2 3 = 0，
即 = 0，得证．
(2)因为 , , 三点共线，
设 = ( > 0)，
又因为 = + (2 ) ，
所以 = + (2 ) ，可得 = 2 + ．
+ 2 由 在 边上，可得 = 1，即 = 2．
又 = 6，则 = 3．
第 6页，共 10页
16.【答案】解：(1)由题意得：10 × (0.01 + 0.015 + 0.020 + + 0.025) = 1，解得 = 0.03，
设第 60 百分位数为 ，则 0.01 × 10 + 0.015 × 10 + 0.02 × 10 + 0.03 × ( 80) = 0.6，
解得 = 85，第 60 百分位数为 85．
(2) 8由题意知，抽出的 5 位同学中，得分在[70,80)的有 5 × 20 = 2
12
人，设为 、 ，在[80,90)的有 5 × 20 = 3
人，设为 、 、 ．
则样本空间为 = {( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )}, ( ) = 10．
设事件 =“两人分别来自[70,80)和[80,90)，则 = {( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )}, ( ) = 6，
( ) = ( ) = 6 = 3因此 ( ) 10 5，
3
所以两人得分分别来自[70,80)和[80,90)的概率为5．
(3)由题意知，落在区间[70,80)内的数据有 40 × 10 × 0.02 = 8 个，
落在区间[80,90)内的数据有 40 × 10 × 0.03 = 12 个.
记在区间[70,80)的数据分别为 1, 2, , 8，平均分为 ，方差为 2 ；
在区间[80,90)的数据分别为为 1, 2, , 212，平均分为 ，方差为 ；
这 20 个数据的平均数为 ，方差为 2．
由题意， = 75, = 85, 2 = 6.25, 2 = 0.5 =
18 , = 1 12 = 8 +12 = 8×75+12×85 ，且 8 =1 12 =1 ，则 20 20 = 81．
根据方差的定义， 2 = 1 8 2 12 2 1 8 2 1220 =1 + =1 = 20 =1 + + =1 +
2
1 8 8 8 12 12
= 220 + ( )
2 + 2( ) +
2 + ( )2 + 2(
=1 =1 =1 =1 =1
12
)
=1
由8 8 =1 = =1 8 = 0,
12
=1 =
12
=1 12 = 0，
1
可得 2 = 820 =1
2 + 8 2 12 =1 ( ) + =1
2 + 12 =1 ( )
2
1
= 8 2 + 8( )220 + 12
2 2
+ 12( )
2 3
= 2 2 2 25 + ( ) + 5 + ( )
第 7页，共 10页
2 3
= 5 6.25 + (75 81)
2 + 5 0.5 + (85 81)
2 = 26.8
故得分在[70,90)内的平均数为 81，方差为 26.8．
17.【答案】解：(1)若甲、乙投篮总次数为 2 次，则乙不可能获胜；
若甲、乙投篮总次数为 3 次且乙获胜，则第一次甲未投中，乙投中第 2、3 次，
= 1 1 × 1 1 1所以 1 2 3 × 3 = 18；
若甲、乙投篮总次数为 4 次乙获胜，则第一次甲投中、第二次甲未投中，乙投中第 3、4 次，
1 1 1 1 1所以 2 = 2 × 1 2 × 3 × 3 = 36；
1 1 1
记甲、乙投篮总次数不超过 4 次时且乙获胜为事件 ，则 ( ) = 1 + 2 = 18 + 36 = 12，
1
所以甲、乙投篮总次数不超过 4 次时，乙获胜的概率为12；
(2) 1 1 1若比赛结束时甲赢得比赛且甲恰好投了 2 次篮，则甲连续投中 2 次，则概率 3 = 2 × 2 = 4；
若比赛结束时乙赢得比赛，又甲恰好投了 2 次篮，
1 1 1 1 1
①甲投中第一次，第二次甲未投中，乙投中第 3、4 次，则 4 = 2 × 1 2 × 3 × 3 = 36；
②甲第一次未投中，第二次乙未投中，第 3 次甲未投中，第 4、5 次乙投中，
则 5 = 1
1
2 × 1
1 1 1 1 1
3 × 1 2 × 3 × 3 = 54；
④甲第一次未投中，第二次乙投中，第 3 次乙未投中，第 4 甲未投中，第 5、6 次乙投中，
则 6 = 1
1 × 1 × 1 1 × 1 1 × 1 × 1 12 3 3 2 3 3 = 162；
1 1 1 1 49
综上可得比赛结束时，甲恰好投了 2 次篮的概率 = 3 + 4 + 5 + 6 = 4 + 36 + 54 + 162 = 162．
18.【答案】解：(1)由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos ，即 4 = 2 + 2 2 cos π3，
所以 4 = ( + )2 3 ，
2
因为 ≤ + 2 ，
2
4 = ( + )2 3 ≥ ( + )2 3 + = 1所以 22 4 ( + ) ，
则 + ≤ 4，当且仅当 = = 2 时，等号成立，
所以 周长的最大值为 6．
第 8页，共 10页
(2)(ⅰ)由正弦定理得 = 2 sin ， = 2 sin ，
代入 cos = cos + 63 ，得 2 (sin cos sin cos ) =
6
3 ，
即 2 sin( ) = 63 ．
因为 sin( ) = 10 1510 ，所以 = 3 ．
(ⅱ) 的面积 = 1 12 sin = 2 2 sin sin =
2 15
3 sin sin ．
15 10
因为 sin = 2 = 5 ，所以cos
2 = 1 sin2 = 25．
因为 是锐角，所以 cos > 0，则 cos = 105 ，所以 cos( + ) = cos =
10
5 ．
10
因为 sin( ) = 10 ，所以cos
2( ) = 1 sin2( ) = 910．
又因为 , π π是锐角，所以 ∈ 2 , 2 ，
所以 cos( ) > 0，所以 cos( ) = 3 1010 ，
则 cos( ) cos( + ) = 2sin sin = 10 102 ，所以 sin sin = 4
= 2 15 5 6故 3 sin sin = 6 ．
19.【答案】解：(1)证明：因为在直三棱柱 1 1 1中， 1 ⊥平面 ， , 平面 ，
所以 1 ⊥ , 1 ⊥ ，
π 2π
所以点 的曲率为 2π 2 × 2 ∠ = 3 ，得∠ =
π
3，
因为 = ，所以 为等边三角形，
因为 为 的中点，所以 ⊥ ，
因为 1 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 1 ⊥ ，
因为 1 ∩ = ， 1, 平面 1 1，所以 ⊥平面 1 1；
(2)解：取 1 1的中点 ，连接 1 , ，
因为 1 1 1为等边三角形，所以 1 ⊥ 1 1，
因为三棱柱 1 1 1为直三棱柱，所以平面 1 1 ⊥平面 1 1 1，
因为平面 1 1 ∩平面 1 1 1 = 1 1， 1 平面 1 1 1，
所以 1 ⊥平面 1 1 ，
第 9页，共 10页
因为 , 平面 1 1 ，所以 1 ⊥ , 1 ⊥ ，
设 = 2，则 1 = 2, = 1 = 3, 1 = 6，
所以 2 + 2 21 = 1，所以 ⊥ 1 ，
因为 1 ∩ 1 = 1， 1 , 1 平面 1 ，
所以 ⊥平面 1 ，
因为 平面 1 ，所以 ⊥ ，
所以∠ 1为二面角 1 1的平面角，
= 2
2
因为 2 + 1
2 = 62 , 1 = 3，
所以在 Rt 1中，cos∠ =
= 21 2 ，1
2
所以二面角 1 1的余弦值为 2 ；
(3)证明：设多面体有 个面，给组成多面体的多边形编号，分别为 1,2, , 号，
设第 号(1 ≤ ≤ )多边形有 条边，
+ + +
则多面体共有 = 1 2 2 条棱，
由题意，多面体共有 = 2 + = 2 + 1+ 2+ + 2 个顶点，
号多边形的内角之和为π 2π，
所以所有多边形的内角之和为π( 1 + 2 + + ) 2π ，
所以多面体的总曲率为 2π [π( 1 + 2 + + ) 2π ]
+ + +
= 2π 2 + 1 2 2 [π( 1 + 2 + + ) 2π ]
= 4π
所以简单多面体的总曲率为 4π．
第 10页，共 10页

展开更多......

收起↑