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2024-2025 学年上海市复旦大学附属中学高一下学期期末考试
数学试卷（B 卷）
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 1， 2是复数，则“ 1 + 2 = 1 2 ”是“ 1 2 = 0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.已知向量 , 满足 2 = 0，则 在 上的投影向量为( )
A. 2 B. 12 C. 2 D. 2 2
3.如图，在正方体 1 1 1 1中， 为 的中点，对于下列两个命题：①平面 1 1上存在一条直
线，与平面 1 1 平行；②平面 1 1上存在一条直线，与平面 1 1 垂直．则( )
A.①对，②对 B.①对，②错 C.①错，②对 D.①错，②错
4.正方体 ′ ′ ′ ′中，直线 平面 ，直线 平面 ′ ′，记该正方体的 12 条棱所在
的直线构成的集合为 .给出下列四个命题：
① 中可能恰有 2 条直线与 异面； ② 中可能恰有 4 条直线与 异面；
③ 中可能恰有 8 条直线与 异面； ④ 中可能恰有 10 条直线与 异面．
其中，正确命题的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
5.已知 是虚数单位，复数 满足 (1 + 3 ) = 1，则| | = ．
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6 1.已知 sin( + ) = 3 , = sin , sin ,
= cos , cos ，则 = ．
7.在 中，角 , , 所对的边分别是 , , ，若 2 + 2 = 2 + ，且 = 8，则 的面积等于 ．
8 5.一个圆锥的表面积为 ，母线长为6，则其底面半径为 ．
9.已知 是虚数单位，若 ∈ ，且| 2 2 | = 3，则| |的取值范围为 ．
10 1 9.如图，在 中，点 是线段 上动点，且 = + ，则 + 的最小值为 ．
11.已知正三棱锥底面的边长为 6，高为 3，则该正三棱锥的侧面积为 ．
12.如图，甲站在水库底面上的点 处，乙站在水坝斜面上的点 处．已知水库底面与水坝斜面所成的二面角
的大小为 150°，测得从 、 两点到水库底面与水坝斜面的交线的距离分别为 = 20 3 、 = 40 ，
且 = 20 ，则甲乙两人相距_ _ ．
13.如图，已知平行六面体 1 1 1 1的体积为 4，若将其截去三棱锥 1 1 1，则剩余几何体的
体积为 ．
14.已知 ( ) = sin + π4 ( > 0)，如果存在实数 ，使得对任意的实数 ，都有 ( ) ≤ ( ) ≤ ( + 1)
成立，则 的最小值为 ．
15.关于 的实系数方程 2 4 + 5 = 0 和 2 + 2 + = 0 有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应
的点共圆，则 的取值范围是 ．
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16.如图，正方体 1 1 1 1中，四分之一圆柱 1 1 1 1与四分之一圆柱 1 1 1 1公共
部分是八分之一的“牟合方盖”.已知这个正方体的棱长为 2，利用祖暅原理，该八分之一“牟合方盖”的
体积为 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
已知向量 = sin , 3 , = cos , 1 ．
(1)若 // sin + 3cos ，求 3sin cos 的值；
2
(2)设 ( ) = 3 , ∈ 0, π2 ，若关于 的不等式 ( ) =
2 1 有解，求实数 的取值范围．
18.(本小题 14 分)
如图，四边形 是矩形， = 2, = 1， ⊥平面 ， = 3, = 1.点 为线段 的中点．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求异面直线 与 所成的角的大小．
19.(本小题 14 分)
i , ≥ 0已知 是虚数单位，设 ( ) = , < 0 , ∈ C．
(1)已知 ∈ C，且 2 ( ) + ( ) = 9 2i，求 的值；
(2)求证： ( ) = | |2．
20.(本小题 14 分)
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用一个与圆柱底面不平行的平面去截圆柱可得到一个斜截面．若沿着圆柱的母线将其剪开并展开成平面图，
通过观察，发现此截口曲线展开后，与正弦函数或余弦函数的图像相近．设圆柱的底面半径为 ，斜截面与
底面所成的二面角的大小为 ．
(1)某班的同学们尝试研究上述截口曲线的形状问题．他们自制了 与 不同的三个斜截圆柱，如图 1 所示，
并沿着斜截圆柱的母线将其剪开后展开成平面图．然后他们分为三组，进行了如下操作：首先把截口曲线
描到白纸上，通过合理地建立平面直角坐标系，再选取一些点并测量其坐标，最后由形如 = sin( +
) + π的函数表达式进行拟合，并求出对应的拟合结果．拟合的结果如下表所示，因为2 ≈ 1.57，所以表格
π中 都可以近似地看作2，再作适当的上下平移，则 可化为 0，故得到表格中对应的近似结果．请将表格中
序号③的近似结果补充完整，将答案直接写在答．题．纸．上的相应位置(无需过程)；
序号 拟合结果 近似结果
① 3.3 22.5° = 1.33sin(0.32 + 1.56)+ 0.14 = 1.33cos(0.32 )
3.3 45° = 3.26sin 0.31 + 1.61② 0.03 = 3.26cos(0.31 )
2 45° = 1.91sin(0.54 + 1.52)③ + 1.90
(2)如图 2，已知 1、 2分别是圆柱的上、下底面的圆心，圆柱的一个斜截面所在的平面 与上底面所在平
面的交线是⊙ 1在点 的切线 ，又平面 过线段 1 2的中点 且平行于底面．设平面 与斜截面相交于⊙
的直径 ，并与圆柱的母线 的公共点为 ．
如图 3，现只考虑该圆柱在斜截面下方的部分．对于斜截面边界上的一点 ，点 在平面 上的投影为点 .已
⌒ π
知圆柱 1 2的底面半径为 ，二面角 的大小为 .设⊙ 上的 的长度为 ，∠ = ， ∈ 0, 2 ，
试用 表示 ，并求∠ ；
(3)在(2)的条件下，设 = ，试求 关于 的函数表达式．
21.(本小题 14 分)
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如图，圆台 1 2的一个轴截面为等腰梯形 1 1, = 2 1 = 2 1 1 = 4， 为底面圆周上异于 、 的点．
(1)求该圆台的侧面积 ；
(2)若 是线段 的中点，求证：直线 1 //平面 1 ；
(3)若 = ，设直线 为平面 1 与平面 1 的交线，设 ∩平面 1 1 = ，点 在线段 上(不含端
点)，直线 1与平面 所成的角大小为 ，求 sin 的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.12 .
6.13
7.2 3
8.23
9. 3 2 2, 2 2 + 3
10.16
11.18 3
12.20 14
13.103
14.
15.(0,1) ∪ { 1}
16.163
17.解：(1)由 // ，则 sin = 3cos ，即 tan = 3，
sin + 3cos tan + 3 3+ 3
所以 3sin cos = 3tan 1 = 3× 3 1 = 3．
(2)由 = sin , 3 , = cos , 1 ，
则 3 = sin 3cos , 0 = 2sin π3 , 0 ，
2
所以 ( ) = 3 = 4sin2 π3 = 2 2cos 2
2π
3 ，
当 ∈ 0, π2 时，2
2π
3 ∈
2π
3 ,
π
3 ，则 cos 2
2π 1
3 ∈ 2 , 1 ，
则 ( ) = 2 2cos 2 2π3 ∈ [0,3]，
要使关于 的不等式 ( ) = 2 1 有解，
则 2 1 ∈ [0,3]，则 0 ≤ 2 1 ≤ 3，解得 ∈ [ 2, 1] ∪ [1,2]．
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18.解：(1)由 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又四边形 是矩形， = 2，所以 = = 2，又 = 3, = 1，
所以 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ，又 ∩ = , , 平面 ，
所以 ⊥平面 ；
(2)将四棱锥 放到长方体中，如图：
取 2 的中点为 ，连接 1 , 1 , , ，由 // 1, = 1，
所以四边形 1为平行四边形，所以 1// ，
又 为 的中点，所以 // 2, = 2，又 1// 2, 1 = 2，
所以 1// , 1 = ，所以四边形 1为平行四边形，
所以 // 1 ，所以∠ 1 为异面直线 与 所成的角或其补角，
又由 = = 2, = = 1，所以 = 2 2 = 3，
= 1 = 3 = 2 + 2 = 7所以 2 2 2 ，所以 2 2 2 ，
= = 7所以 , = 21 2 1 2 + 1
2
2 = 2，
2 2 2 2+7 7 + 14
由余弦定理有 cos∠ 1 1 4 41 = 2 = = ，1 1 2× 2× 7 72
14
所以异面直线 与 所成的角为 arccos 7 ．
19.解：(1)设 = + i( , ∈ )，
若 ≥ 0，则 ( ) = + i，
故 2 ( ) + ( ) = 2 + i + i = 3 + i = 9 2i，
即 = 3， = 2，即 = 3 2i；
若 < 0，则 ( ) = i，
故 2 ( ) + ( ) = 2 i + i = 3 i = 9 2i，
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即 = 3， = 2，即 = 3 + 2i；
综上所述， = 3 2i 或 = 3 + 2i；
(2)设 = + i( , ∈ )，
若 ≥ 0，则 ( ) = + i， = i，
则 ( ) = + i i = 2 + 2，
2
| |2 = 2 + 2 = 2 + 2，故 ( ) = | |2；
若 < 0，则 ( ) = i， = + i，
( ) = i + i = 2 + 2，
2
| |2 = 2 + 2 = 2 + 2，故 ( ) = | |2；
故 ( ) = | |2恒成立，即得证．
20. π解：(1)根据题意，由 都可以近似地看作2，且作适当的上下平移，则 可化为 0，
则根据拟合结果 = 1.91sin(0.54 + 1.52) + 1.90，
由 = 1.91sin 0.54 + π2 + 0 = 1.91cos0.54 ，
故序号③的近似结果为 = 1.91cos0.54 ．
(2)如图 2 中，连接 1 , , , 2．
由题意， 为圆柱母线， 1 2为上、下底面中心连线，
则 // 1 2，又 = 1 2，
故四边形 1 2是平行四边形，则 1 // 2 ，
由平面 过线段 1 2的中点 且平行于底面，
且平面 与上底面所在平面的交线是⊙ 1在点 的切线 ，
则 在上底面所在平面内，且 ⊥ 1 ，
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故 // ，又 ，且 ∩ = ，则 // ，
同理，由 1 //平面 ， 1 平面 1 2， ∩平面 1 2 = ，
则 1 // ，则 ⊥ ，又 1 2与上底面垂直，故 1 2 ⊥ ，
因为 ∩ 1 2 = ，且 , 1 2 平面 1 2，
所以 ⊥平面 1 2，则 ⊥平面 1 2，又 , 平面 1 2，
所以 ⊥ ，且 ⊥ ，故∠ 即为二面角 的平面角，
则∠ = ；
⌒
如图 3 中，由⊙ 上的 的长度为 ，且⊙ 的半径为 ，
且∠ = ， ∈ 0, π2 ，则 = ．
故 = ，且∠ = ．
(3)
在图 3 中，由题意可知∠ = ， = ， = ，

且由第(2)问求解可知 tan = ，故 = tan ，
以 为坐标原点，以 , , 1所在直线分别为 , , 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ( , 0, tan )， (0, , 0)， ( cos , sin , )，
由题意 , , , 四点共面，
故存在实数 , ，使得 = + ，
cos =
则 sin = ，可得 = cos tan ，又 = ，
= tan
则 = cos tan ．
21.解：(1)因为 = 2 1 = 2 1 1 = 4，
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1
所以圆台的侧面积为2 2π × 2 + 2π × 1 × 2 = 6π；
(2)取 中点 ，连接 1 , ，如图，
1因为 为 中点，所以 // , = 2 ，
在等腰梯形 1 1中， 1 1// , 1 1 =
1
2 ，
所以 // 1 1, = 1 1，
所以四边形 1 1 为平行四边形，
所以 1 // 1 ，又 1 平面 1 ， 1 平面 1 ，
所以 1 //平面 1 ；
(3)延长 1, 1交于点 ，作直线 ，
因为 , 两点分别在平面 1 与平面 1 内，
所以直线 即为直线 ，
又 ∩平面 1 1 = ，
所以 点，即为点 ，
∵ = ，则 2 ⊥ ，
以直线 2 , 2 , 2 分别为 , , 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
在等腰梯形 1 1中， = 2 1 = 2 1 1 = 4，
2
此梯形的高为 = 21 1 12 = 3，
因为 1 1 =
1
2 , 1 1// ，所以 1 1为 的中位线，
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则 2(0,0,0), 0,0,2 3 , (2,0,0), (0,2,0), 1 1,0, 3 ，
所以 1 = 1, 2, 3 , = ( 2,2,0), = 0, 2,2 3 , 2 = (2,0,0)，
设 = ，则 = + = + = 2,2 2 , 2 3 ，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
2 = 2 = 0则 ,
= 2 + (2 2 ) + 2 3 = 0
令 = 3 ，得 = 0, 3 , 1 ，

sin = cos , = 1

= 2× 3 + 3( 1) 3| +1|则有： 1 = ，1 23 2+( 1)2 2× ( 1)2+( 2)2+ 3 2 2× 4 2 +1
令 = + 1，则 sin = 3| | ，
2 2× 4 2 10 +7
当 = 0 时，sin = 0，此时 = 1，
当 ≠ 0 时，0 < sin = 3 = 3 ≤ 14，
2 2× 7 102 +4 2
4
2 2× 7 1 5 3 7 +7
7 2
当且仅当 = 5，即 = 5时取等号，
14
综上所述，sin 的最大值为 4 ．
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