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18.5 分式方程
第1课时 解分式方程
1. 理解分式方程的概念，掌握分式方程的解法，会检验一个数是不是分式方程的解.（重点）
2. 体会分式方程通过去分母转化为整式方程中的转化思想.（难点）
为解决章引言中提出的问题，我们通过设未知数，用分式表示问题中的量，根据问题中的等量关系得到了方程
方程①的分母中含有未知数，像这样分母中含未知数的方程叫作分式方程 . 我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中.
①
分式方程的特征:
分母中含有未知数的方程叫作分式方程.
(1)是方程；
(2)方程中含有分母；
(3)分母中含有未知数.
分式方程的概念:
如何解分式方程①呢？
利用去分母将分式方程转化为整式方程求解.
我们已经熟悉一元一次方程等整式方程的解法，但是分式方程的分母中含未知数，因此解分式方程是一个新的问题. 能否将分式方程化为整式方程呢 我们自然会想到通过“去分母”实现这种转变.
分式方程①中各分母的最简公分母是(30+v)(30－v). 把方程①的两边乘最简公分母可化为整式方程，得
90(30－v)=60(30+v).
解得
v =6
检验：将v=6代入①中，左边= ，右边= ，这时左、右两边的值相等，因此v=6是分式方程①的解.
由此可知，江水的流速为6 km/h.
“利用最简公分母去分母”
将方程①化成
整式方程的关键
步骤是什么？
运用上述“去分母化为整式方程”的方法解分式方程
你发现了什么问题？
类似于解分式方程①，在分式方程②的两边乘最简公分母(x－5)(x+5)，去分母得整式方程
x＋5=10.
解得
x=5.
, ②
将x=5代入②，分母x－5和x2－25的值都为0，相应的分式无意义. 因此，x=5虽然是整式方程x+5=10的解，但不是分式方程 = 的解. 实际上，这个分式方程无解.
比较解分式方程①和②的过程，为什么分式方程①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而分式方程②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢
分式方程 = 中隐含条件x2－25≠0，当将分式方程转化为整式方程时，这一条件就不存在了，实际上，在将方程 = 转化为整式方程时，将原来分式方程的解的范围扩大了，会产生所得整式方程的解不是分式方程的解的情况，也就是分式方程无解.
解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子 (最简公分母). 方程①两边乘 (30＋v) (30－v)，得到整式方程，它的解为v=6. 当v=6时，最简公分母(30＋v) (30－v)≠0，这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同.
方程②两边乘(x－5)(x+5)，得到整式方程，它的解为x=5. 当x=5时，最简公分母(x－5)(x+5)=0，这就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②分母为0，因此这样的解不是②的解.
将分式方程转化为整式方程，若整式方程的解使分式方程的最简公分母为0，则这个解叫作原分式方程的增根.
一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
1.在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化成
整式方程；
2.解这个整式方程；
3.把整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母
的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解,
否则需舍去；
4.写出原方程的解.
简记为:“一化二解三检验”.
“去分母法”解分式方程的步骤:
例1 解方程.
解：方程两边乘 x(x-3)，得
2x = 3x-9.
解得x = 9.
检验：当x = 9时， x(x-3) ≠ 0.
所以，原分式方程的解为x = 9.
检验是必不可少的一步.
例2 解方程.
解:方程两边乘(x-1)(x+2)，得
x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.
解得 x=1.
检验:当 x=1时，(x-1)(x+2)=0，因此 x=1不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
解方程:
解:
（1）
方程两边乘2(x－1),得
2x+4(x－1)=3.
解得 x=.
检验:当x=时,2(x－1)≠0.
因此x=是原分式方程的解.
解方程:
解:
（2）
方程两边乘(x－3),得
2-x=-1+6(x－3).
解得 x=.
检验:当x=时,x－3=0.
因此x=不是原分式方程的解.
所以原方程无解.
解分式方程的一般步骤如下：
分式方程
去分母
整式方程
解整式方程
x=m
最简公分母为0
x=m是分式方程的解
最简公分母不为0
x=m不是分式方程的解
目标
检验
D
2.要把方程化为整式方程,方程两边可以同乘以( )
A.3y-6 B.3y C.3(3y-6) D.3y(y-2)
1.下列关于x的方程中，是分式方程的是(　　)
A. B. C. D.
D
3.解方程:
(1); (2).
解:(1)方程两边乘x(x-2),得
2x=3x-6.
解得
x=6.
检验:当x=6时,x(x-2)≠0.
所以,原分式方程的解为x=6.
(2)去分母，得
解得x=.
检验:把x=代入x(x+1)=.
所以原方程的解为x=.
x2+(x+1)(x-1)=2x(x+1).
4.若关于x的方程无解，求m的值.
解：方程两边同乘以x-2,得
2-x+m=2x-4.
合并同类项，得3x=6+m，
∴m=3x-6.
∵该分式方程无解，
∴x=2，
∴m=0.
5.若关于x的方程解为正数，求m的取值范围.
解：方程两边同乘以（x-2）,得2-x+m=2x-4.
合并同类项，得3x=6+m，
∴x=.
由题意得，该分式方程有解，且解为正数，
＞0且.
∴m＞-6且m≠0.
定义
分式方程
分母中含有未知数的方程叫作分式方程
一化（分式方程转化为整式方程）；
二解（解整式方程）；
三检验（代入最简公分母看是否为零）
解法

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